Учебное пособие 161
.pdfФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра прикладной математики и механики
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
квыполнению типового расчёта по дисциплине «Математический анализ» раздела «Ряды»
для студентов специальности 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей» очной формы обучения
=
Воронеж 2017
0
Составитель канд. физ.- мат. наук В. А. Шаруда
УДК 517.2
Учебно-методическое пособие к выполнению типового расчёта по дисциплине «Математический анализ» раздела «Ряды» для студентов специальности 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей» очной формы обучения / ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; сост. В.А. Шаруда. Воронеж, 2017. 31 с.
Пособие содержит 30 вариантов заданий типового расчёта по разделу «Ряды», справочные материалы с набором основных теорем и формул, которые могут быть использованы при выполнении типового расчёта, а также список рекомендуемой к изучению литературы.
Предназначено для организации самостоятельной работы студентов на втором курсе.
Учебно-методическое пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе MS Word XP и содержится в файле «Типовой расчёт МАРД.pdf».
Библиогр.: 3 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.И. Кузнецова
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. В.И. Ряжских
Издается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета
©ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2017
0
ВВЕДЕНИЕ
Учебно-методическое пособие содержит 30 вариантов заданий типового расчёта по разделу «Ряды». Задания охватывают основные типы задач по указанному разделу, а именно: числовые ряды знакопостоянные и знакочередующиеся, степенные ряды и их приложения, ряды Фурье.
В пособии приводятся справочные материалы, используемые при выполнении заданий, формулируются основные теоремы курса.
Номера вариантов определяются по порядковому номеру студентов в журнале посещаемости, находящемуся у преподавателя или у старосты.
Типовой расчёт рекомендуется делать в отдельной тетради. На обложке указывается тема типового расчёта, номер варианта, ФИО и группа студента, выполнившего работу. Каждое задание нужно начинать с условия, затем приводить решение со ссылками на используемые теоремы и заканчивать ответом.
1
ЗАДАНИЯ ТИПОВОГО РАСЧЁТА
I.Исследовать на сходимость следующие числовые ряды
1. |
|
) |
|
∞ |
|
|
+1 |
|
|
; |
|
|||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
∞ |
|
|
+2 |
|
|
|
||||||||
|
б |
) |
|
|
2 |
|
− 1 |
|
|
; |
||||||
|
|
|
∞ |
|
+1 |
|
||||||||||
2.а) ∞ |
|
√ |
|
|
+1 |
|
; |
|
|
|||||||
|
б |
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
; |
|||||
|
|
) |
|
∞ |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|||||
3.а) |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||
|
|
|
1 |
+1 |
|
|
||||||||||
|
б) |
∞ |
|
2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
а |
) |
|
√ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
+1; |
|
|
|
|||||||||
|
|
б |
) |
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
∞ |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
+3 |
|
||||||||||||
5. |
а |
) |
|
√ |
; |
|||||||||||
|
|
√ |
+2 |
в) |
|
∞ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г |
) |
|
|
|
|
|
(−1) |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
2 |
+2 |
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
|
|
∞ |
|
|
|
! |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г |
) |
|
|
|
|
|
(−1) |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∞ |
|
2 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
г) |
∞ |
(−1) |
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
в |
) |
∞ |
|
|
√ |
5 |
+1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∞ |
|
( +1)!; |
|
|
|
||||||||||||
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
|
|||||||||
|
|
|
) |
|
|
∞ |
|
|
|
√ |
|
+2 |
|
. |
|
|||||
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2
|
в) |
∞ |
( +2)! |
; |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
6. |
а |
) |
∞ |
2 +2 |
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
) |
∞ |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
; |
|||
7. |
а |
) |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
+1; |
|
|
|
|
||||
б) |
∞ |
1+ 1 |
|
|
|
|
; |
|
||||||
∞ |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
8. |
а |
) |
|
( |
|
+1) |
|
|
; |
|
||||
|
∞ |
( |
|
+2) |
|
|
|
|||||||
|
б |
|
|
3+ |
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
) ∞ |
3 |
+1 |
|
||||||||
9. |
а |
) |
|
( |
|
−2 |
; |
|
||||||
|
∞ |
|
+1) |
|
|
|
||||||||
|
б |
|
|
2+ |
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
) ∞ |
2 |
−1 |
|||||||||
10. |
а |
) |
|
( |
|
|
+2 |
|
|
; |
|
|||
|
|
|
|
+1) |
|
|
|
3
г) |
|
|
∞ |
|
(−1) |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∞ |
√ |
+1 |
|
|
|
|
|||
в |
) |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
( +1)!; |
|
|
|||||||||
г) |
|
(−1) |
. |
|
|
||||||||
в |
) |
∞ |
( |
|
+2)! |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
∞ |
|
|
2 |
; |
|
|
|||||
г |
) |
|
|
(−1) |
|
||||||||
|
|
|
∞ |
( |
+1)! |
. |
|
|
|||||
в) |
∞ |
3 |
! |
; |
|
|
|
|
|
||||
г |
) |
|
(−1) |
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
∞ |
|
|
3 |
|
|
|
|||||
в |
) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
; |
|||
|
|
∞ |
|
|
( |
+1) |
|||||||
г |
) |
|
(−1) |
. |
|
||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
3 |
|
||||||
б |
|
( |
10 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
) |
|
+1) ; |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∞ |
|
|
|
|
( |
+1) |
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11. |
а |
) |
|
|
|
|
|
|
√ |
+1 |
; |
|
||||||
|
|
∞ |
|
|
+3 |
|
||||||||||||
|
б |
) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|||
12. |
а |
) |
|
|
√ +1 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
+3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
б |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
) |
|
∞ |
1− |
2+1 |
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
13. |
а |
) |
|
|
+1 |
|
; |
|
|
|
||||||||
|
|
∞ |
+1000 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
б |
|
|
|
|
2 |
|
−1 |
|
|
|
; |
|
|||
|
|
|
а |
) ∞ |
|
|
|
+3 |
|
|
|
|
||||||
14. |
)∞ |
|
|
+100 |
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|||||||
|
б) |
|
|
|
|
2 |
− 1 |
|
|
|
; |
|
√+3
4
г |
) |
∞ (−1) √ |
|
. |
|
||||
|
+1 |
∞
1 в) ( +1) ( +1);
г) ∞ (−1) √ +1.
|
) |
|
∞ |
|
|
2 |
|
|
|
; |
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∞ |
( +1)( ( +1)) |
||||||||
г |
) |
|
|
(−1) |
2 |
. |
|
|
|||
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|||||
в) |
|
∞ |
( +3) |
( +3) |
; |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
г |
) |
∞ |
|
(−1) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∞ |
5 . |
|
|
|
|
||||
|
в |
) |
|
|
( +1)! |
|
|
|
|
||
г |
|
∞ |
( +3)!; |
|
|
|
|
||||
) |
|
|
(−1) 100 |
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
! |
|
|
15.а) |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
√ |
+100 |
|
||||||||||||
б) |
∞ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
а |
|
∞ |
+2 |
|
|
|
|||||||||||
16. |
|
)∞ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
; |
|
|
||||
б |
|
|
|
2 |
|
|
|
+1 |
|
; |
|
|||||||
|
) |
|
|
+3 |
|
|
||||||||||||
17.а) |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
+1 |
|
|
|
||||||||||||||
б |
|
|
|
|
+1 |
|
; |
|||||||||||
|
) |
∞ |
+2 |
|
||||||||||||||
|
а |
|
|
+1 |
|
|
|
|||||||||||
18. |
|
) |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) |
∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
а |
|
|
√ |
+2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
19. |
|
) |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
5
в |
∞ |
3 |
|
|
) |
; |
|||
|
( +2)! |
г) ∞ (−1) √ +1.
√+1
в) |
∞ |
2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
г |
) |
∞ |
(−1) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
|
+3. |
|
|
|
|||||
в) |
∞ |
2 |
! |
; |
|
|
|
|
|
|||
г) |
∞ |
(−1) |
2 |
( +1) |
. |
|||||||
в |
) |
|
( |
+1)! |
; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
||||
г) |
∞ |
(−1) ( +1) |
. |
|||||||||
б |
∞ |
|
3 |
|
|
; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
в |
) |
|
∞ |
( +1)! |
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
20.а) |
|
|
|
|
|
|
|
+2 |
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
3 |
|
|
|
|
; |
|||||||
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
||||||
21. |
а |
) |
∞ |
|
− 2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+2; |
|
||||||||||
|
|
б) |
∞ |
|
|
−1 |
|
|
; |
||||||||||
|
|
∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
22.а) |
|
|
|
|
|
|
+1 |
; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
|
|
|
|
; |
|||||||
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
23. |
а |
) ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
√ |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||
б |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
; |
|
|||
|
) |
|
|
|
+3 |
|
|
|
|
|
6
г |
|
|
∞ |
(−1) ( |
+2) |
||||||
|
) |
|
|
5 |
|
√ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
в) |
∞ |
|
! |
; |
|
|
|
|
|||
∞ |
|
|
|
|
|
||||||
г |
) |
|
(−1) |
|
. |
|
|||||
|
|
|
( |
+1) |
|
∞
∙5 в) ( +1)!;
г |
) |
∞ |
(−1) |
|
. |
|
|
|
5 |
|
|||
в |
) |
∞ |
+5 |
; |
||
|
|
|
! |
г) ∞ (−1) ( +2).
|
∞ |
|
2 |
√ |
|
в |
) ∞ |
|
|
|
|
|
( +2) !; |
|
|||
г) |
(−1) ! |
5 |
. |
24.а) |
∞ |
|
( |
+1) |
; |
|||||||
|
|
|||||||||||
б |
|
∞ |
5 |
+1 |
|
|
||||||
|
) |
|
2 |
+5 |
|
; |
||||||
25.а) |
∞ |
+2 |
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
б |
∞ |
3 |
4 |
|
|
|
; |
|||
|
|
|
( |
|
|
|
||||||
|
|
)∞ |
+2 |
) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
√ +3 |
|
|||||||||
26. |
а |
) |
|
|
|
|||||||
|
∞ |
|
|
+1 ; |
|
|||||||
|
б |
|
( |
+1) |
; |
|||||||
|
|
) ∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
27. |
а |
) |
|
|
√ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
+2; |
|
|||||||
|
|
|
∞ |
|
1− |
|
|
|
|
|||
|
б |
|
|
3− |
|
|
|
; |
||||
|
|
) |
∞ |
|
|
2 |
|
|
|
|||
28.а) |
|
|
|
+1 |
; |
|
7
в |
) |
∞ |
( ( |
+1)) |
|
; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||
г |
) |
|
|
(−1) |
|
|
|
2 |
. |
|
|||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
) |
( |
+1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
+1 |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||
г |
) |
|
(−1) |
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) |
∞ |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
|
( +2) |
( |
|
+2) |
|||||||||||||
г |
) ∞ |
(−1) √ |
|
|
+2 |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
||||||||
в) |
|
( +1) |
3 |
( |
|
+1) |
; |
||||||||||
г |
) |
|
(−1) |
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∞ |
|
|
√ |
+1 . |
|
|
|
|||||||
б |
|
|
3 |
− 1 |
|
; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
) |
|
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
) |
∞ |
( |
|
|
1 |
+2) |
; |
|
) |
|
(−1) |
∙ |
. |
|
|
||||||
|
в |
|
|
|
г |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
∞ |
|
+2) |
|
( |
|
∞ |
|
2 |
|
|
|
||||||||||
29. |
а |
) |
|
( |
|
|
+2 |
; |
|
в |
) |
|
( +1)! |
; |
|
|
|||||||
б |
∞ |
|
+2) |
|
+2 |
|
|
|
|
|
∙2 |
|
|
|
|||||||||
|
) |
|
|
|
⁄ |
+2 |
; |
|
|
г |
|
|
(−1) |
∙3 |
|||||||||
|
|
∞ |
|
|
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
) |
∞ |
( |
(2 |
)! |
. |
|
|||||
|
а |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 ∙2 |
|||||||
30. |
|
) ∞ |
( |
|
+1) |
|
+1 |
; |
|
|
|
) |
|
|
|
! |
|
; |
|||||
б |
|
|
2 |
+3 |
|
; |
|
|
г |
) |
|
(−1) ( |
+2) |
|
|||||||||
|
) |
|
+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 . |
II.Найти область сходимости степенного ряда
1. |
∞ |
(−1) |
2. |
∞ (−1) ( +1) |
|||||||||
∞ |
+3 |
∞ |
2 |
||||||||||
3. |
|
+1 |
|
4. |
|
+2 |
|
||||||
∞ |
|
|
|
∞ |
|
√ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
|
( +2) |
|
6. |
|
(−1) |
|||||||
∞ |
|
∞ |
|
|
√ |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
7. |
|
(−1) |
8. |
|
|
(−1) |
|||||||
|
+2 |
|
|
|
√ |
+2 |
|||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|