Методическое пособие 825

Научный журнал строительства и архитектуры

При трапециевидном законе развития деформации (рис. 2б) напряжения в уплотняемом слое определяются по следующим выражениям:

при 0 t t1:

при t2 t t3:

Выводы. Разрабатываемые на основе представленного методологического подхода математические модели процессов взаимодействия грунтов земляного полотна и дорожных асфальтобетонных смесей с различными уплотнителями позволяют проводить оперативные расчеты по выбору оптимальных технологических режимов работы и параметров применяемых средств уплотнения, обеспечивая при этом высокое качество уплотнения.

На основании разработанных принципов построения реологических моделей грунтов земляного полотна и дорожных асфальтобетонных смесей и классификационных признаков уплотняющих воздействий установлено, что рассматриваемая проблема повышения качества и эффективности уплотнения дорожно-строительных материалов может быть решена путем применения новых прогрессивных методов изучения характеристик материалов уплотняемых слоев автодорог с использованием одного из традиционных подходов к исследованию реологических свойств деформируемых сред с применением теории наследственной ползучести упруго-вязко-пластичных материалов. При этом неизвестные закономерности структурных изменений уплотняемого материала закладываются в функции подобия, основанные на уравнениях регрессии, а в качестве функций скоростей ползучести и релаксации в обязательном порядке должны приниматься экспоненциально-степенные ядра.

Показано, что моделируя процесс нагружения слоя дорожной асфальтобетонной смеси или грунта посредством плоского штампа, получаем реальную возможность перехода к описанию процесса деформирования при взаимодействии его с различными уплотнителями выбранных средств уплотнения. Уравнения сдвигов и объемного деформирования, включающие компоненты девиаторов тензоров деформаций и напряжений, представленные в матричном виде, а также функции скоростей сдвиговой и объемной ползучести, позволяют выйти на определение коэффициента поперечной деформации через функции объемной и сдвиговой ползучести при деформировании уплотняемого слоя посредством штампа, когда имеется возможность определить функции скоростей продольной и поперечной ползучести. При этом расчетные значения параметров материала уплотняемого слоя (модули сдвиговой и линейной деформации, а также коэффициент поперечной деформации) инвариантны методам их определения для получения универсальной модели, пригодной для моделирования процессов взаимодействия земляного полотна и дорожных одежд с уплотняющими элементами машин.

На основе использования нелинейной теории наследственной ползучести упруго-вязко- пластичных материалов выявлена взаимосвязь между развивающейся деформацией и основными законами нагружения уплотняемого слоя грунта или асфальтобетонной смеси, которые

80

с достаточной степенью точности можно заменить на прямоугольный, трапециевидный и треугольный.

Установлено, что распределение напряжений в уплотняемом слое дорожностроительного материала должно определяться, учитывая его реологические свойства, через релаксационные процессы, происходящие во времени. При этом представляется возможным, используя взаимосвязь процессов ползучести и релаксации, определять расчетным путем величины действующих напряжений в любой момент времени в соответствии с различными законами деформирования материала.

Библиографический список

1.Альберт, И. У. Теоретические основы динамических методов поверхностного уплотнения грунтов / И. У. Альберт. — Л.: ВНИИГ им. Б. Е. Веденеева, 1974. — 67 с.

2.Баловнев, В. И. Моделирование процессов взаимодействия со средой рабочих органов дорожностроительных машин / В. И. Баловнев. — М.: Высш. шк., 1981. — 335 с.

3.Белоусов, Л. И. Исследование дорожных катков в связи с необходимостью получения высокой ровности дорожных покрытий: автореф. дис. … канд. техн. наук /Л. И. Белоусов. — Л., 1974. — 22 с.

4. Калужский, Я. А. Уплотнение земляного полотна и дорожных одежд / Я. А. Калужский, О. Т. Батраков. — М.: Транспорт, 1971. — 160 с.

5.Коваленко, Ю. Я. Исследование самоходных вибрационных катков для уплотнения асфальтобетонных смесей: автореф. дис. … канд. техн. наук / Ю. Я. Коваленко. — Л., 1979. — 23 с.

6.Колтунов, М. А. Ползучесть и релаксация / М. А. Колтунов. — М.: Высш. шк., 1976. — 278 с.

7.Носов, С. В. Выбор функции влияния при исследовании реологических свойств опорного основания / С. В. Носов // Тракторы и сельскохозяйственные машины. — 2006. — № 10. — С. 19—21.

8.Носов, С. В. Динамическая модель вибрационного катка с вакуумным устройством. / С. В. Носов, В. В. Носов // Известия вузов. Строительство и архитектура. — 1991. — № 7. — С. 101—107.

9.Носов, С. В. К вопросу по определению модуля деформации уплотняемых слоев дорожностроительных материалов / С. В. Носов, В. В. Носов // Известия вузов. Строительство. — 1991. — № 10. — С. 104—108.

10.Носов, С. В. Математическая модель взаимодействия гусеничного движителя с опорным основанием / С. В. Носов, Н. Е. Перегудов // Тракторы и сельскохозяйственные машины. — 2006. — № 11. — С. 29—33.

11.Носов, С. В. Математическое моделирование динамики наземных транспортно-технологических средств при взаимодействии с деформируемым опорным основанием / С. В. Носов. — Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2016. — 164 с.

12.Носов, С. В. Методология совершенствования технологий уплотнения дорожно-строительных материалов / С. В. Носов, М. А. Гончарова. — Липецк: ЛГТУ, 2015. — 166 с.

13.Носов, С. В. Мобильные энергетические средства: выбор параметров и режимов работы через реологические свойства опорного основания / С. В. Носов. — Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2006. — 228 с.

14.Носов, С. В. Разработка технологий уплотнения дорожных асфальтобетонных смесей и грунтов на основе развития их реологии: дис. … д-ра техн. наук / С. В. Носов. — Воронеж, 2013. — 366 с.

15.Першин, М. Н. Дорожное грунтоведение / М. Н. Першин, А. М. Кулижников, В. П. Радов. — СПб: СПбГАСУ, 1998. — 153 с.

16.Сиденко, В. М. Технология строительства автомобильных дорог: в 2 ч. Ч. 1: Технология строительства земляного полотна / В. М. Сиденко, О. Т. Батраков, А. И. Леушин. — Киев: Вища школа, 1970. — 236 с.

17.Хархута, Н. Я. Вопросы теории уплотнения дорожных покрытий / Н. Я. Хархута // Уплотнение земляного полотна и дорожных одежд: тр. СоюздорНИИ. — М., 1980. — С. 64—71.

18.Хархута, Н. Я. Прочность, устойчивость и уплотнение грунтов земляного полотна автомобильных дорог / Н. Я. Хархута, Ю. М. Васильев. — М.: Транспорт, 1975. — 286 с.

19.Angst, Ch. Der Einflu der Vtrdichtung auf die mechanischen Eigen-Schaften bituminöser Schichten / Ch. Angst // Bitumen 2. — 1982. — S. 75—84.

20.Development of machines for compacting soil and pavement. A decade of developments // Constr. Plant and Equip. — 1979. — Vol. 7, № 5. — P. 29—30.

21.Forssblad, L. Vibrorollers operation test. Vibratory compaction of asphalt pavements-experimences from different ports of the world / Lanz Forssblad // Project. — 1979. — P. 25—28.

22.Methodology of Ensuring Road Traffic Safety with Respect to Road-Building Materials Compaction Efficiency Factor / S. Nosov, V. Kuzmichev, S. Repin [et al.] // Transportation Research Procedia 12th International Conference «Organization and Traffic Safety Management in Large Cities» (SPbOTSIC—2016). — Saint-Petersburg, 2017. — P. 450—454.

81

Научный журнал строительства и архитектуры

23. Nosov S. V. Determination of Rational Contact Pressure under a Roller When Compacting Asphalt Concrete Mixes / S. V. Nosov // Russian Journal of Building Construction and Architecture. — 2017. — № 2 (34). —

P.45—53.

24.Nosov S. V. Generalized Dynamic Model of the Interaction of Compactors with Road Construction Materials / S. V. Nosov // Russian Journal of Building Construction and Architecture. — 2017. — № 2 (34). — P. 35—44.

References

1. Al'bert, I. U. Teoreticheskie osnovy dinamicheskikh metodov poverkhnostnogo uplotneniya gruntov /

I.U. Al'bert. — L.: VNIIG im. B. E. Vedeneeva, 1974. — 67 s.

2.Balovnev, V. I. Modelirovanie protsessov vzaimodeistviya so sredoi rabochikh organov dorozhnostroitel'nykh mashin / V. I. Balovnev. — M.: Vyssh. shk/, 1981. — 335 s.

3.Belousov, L. I. Issledovanie dorozhnykh katkov v svyazi s neobkhodimost'yu polucheniya vysokoi rovnosti dorozhnykh pokrytii: avtoref. dis. … kand. tekhn. nauk /L. I. Belousov. — L., 1974. — 22 s.

4. Kaluzhskii, Ya. A. Uplotnenie zemlyanogo polotna i dorozhnykh odezhd / Ya. A. Kaluzhskii,

O.T. Batrakov. — M.: Transport, 1971. — 160 s.

5.Kovalenko, Yu. Ya. Issledovanie samokhodnykh vibratsionnykh katkov dlya uplotneniya asfal'tobetonnykh smesei: avtoref. dis. … kand. tekhn. nauk / Yu. Ya. Kovalenko. — L., 1979. — 23 s.

6.Koltunov, M. A. Polzuchest' i relaksatsiya / M. A. Koltunov. — M.: Vyssh. shk., 1976. — 278 s.

7. Nosov, S. V. Vybor funktsii vliyaniya pri issledovanii reologicheskikh svoistv opornogo osnovaniya /

S.V. Nosov // Traktoryi sel'skokhozyaistvennye mashiny. — 2006. — № 10. — S. 19—21.

8.Nosov, S. V. Dinamicheskaya model' vibratsionnogo katka s vakuumnym ustroistvom. / S. V. Nosov,

V.V. Nosov // Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo i arkhitektura. — 1991. — № 7. — S. 101—107.

9.Nosov, S. V. K voprosu po opredeleniyu modulya deformatsii uplotnyaemykh sloev dorozhno-stroitel'nykh materialov / S. V. Nosov, V. V. Nosov // Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo. — 1991. — № 10. — S. 104—108.

10.Nosov, S. V. Matematicheskaya model' vzaimodeistviya gusenichnogo dvizhitelya s opornym osnovaniem / S. V. Nosov, N. E. Peregudov // Traktoryi sel'skokhozyaistvennye mashiny. — 2006. — № 11. — S. 29—33.

11.Nosov, S. V. Matematicheskoe modelirovanie dinamiki nazemnykh transportno-tekhnologicheskikh sredstv pri vzaimodeistvii s deformiruemym opornym osnovaniem / S. V. Nosov. — Lipetsk: Izd-vo LGTU, 2016. — 164 s.

12.Nosov, S. V. Metodologiya sovershenstvovaniya tekhnologii uplotneniya dorozhno-stroitel'nykh materialov / S. V. Nosov, M. A. Goncharova. — Lipetsk: LGTU, 2015. — 166 s.

13.Nosov, S. V. Mobil'nye energeticheskie sredstva: vybor parametrov i rezhimov raboty cherez reologicheskie svoistva opornogo osnovaniya / S. V. Nosov. — Lipetsk: Izd-vo LGTU, 2006. — 228 s.

14.Nosov, S. V. Razrabotka tekhnologii uplotneniya dorozhnykh asfal'tobetonnykh smesei i gruntov na osnove razvitiya ikh reologii: dis. … d-ra tekhn. nauk / S. V. Nosov. — Voronezh, 2013. — 366 s.

15.Pershin, M. N. Dorozhnoe gruntovedenie / M. N. Pershin, A. M. Kulizhnikov, V. P. Radov. — SPb: SPbGASU, 1998. — 153 s.

16.Sidenko, V. M. Tekhnologiya stroitel'stva avtomobil'nykh dorog: v 2 ch. Ch. 1: Tekhnologiya stroitel'stva zemlyanogo polotna / V. M. Sidenko, O. T. Batrakov, A. I. Leushin. — Kiev: Vishcha shkola, 1970. — 236 s.

17.Kharkhuta, N. Ya. Voprosy teorii uplotneniya dorozhnykh pokrytii / N. Ya. Kharkhuta // Uplotnenie zemlyanogo polotna i dorozhnykh odezhd: tr. SoyuzdorNII. — M., 1980. — S. 64—71.

18.Kharkhuta, N. Ya. Prochnost', ustoichivost' i uplotnenie gruntov zemlyanogo polotna avtomobil'nykh dorog / N. Ya. Kharkhuta, Yu. M. Vasil'ev. — M.: Transport, 1975. — 286 s.

19.Angst, Ch. Der Einflu der Vtrdichtung auf die mechanischen Eigen-Schaften bituminöser Schichten / Ch. Angst // Bitumen 2. — 1982. — S. 75—84.

20.Development of machines for compacting soil and pavement. A decade of developments // Constr. Plant and Equip. — 1979. — Vol. 7, № 5. — P. 29—30.

21.Forssblad, L. Vibrorollers operation test. Vibratory compaction of asphalt pavements-experimences from different ports of the world / Lanz Forssblad // Project. — 1979. — P. 25—28.

22.Methodology of Ensuring Road Traffic Safety with Respect to Road-Building Materials Compaction Efficiency Factor / S. Nosov, V. Kuzmichev, S. Repin [et al.] // Transportation Research Procedia 12th International Conference «Organization and Traffic Safety Management in Large Cities» (SPbOTSIC—2016). — Saint-Petersburg, 2017. — P. 450—454.

23.Nosov S. V. Determination of Rational Contact Pressure under a Roller When Compacting Asphalt Con-

crete Mixes / S. V. Nosov // Russian Journal of Building Construction and Architecture. — 2017. — № 2 (34). —

P.45—53.

24.Nosov S. V. Generalized Dynamic Model of the Interaction of Compactors with Road Construction Materials / S. V. Nosov // Russian Journal of Building Construction and Architecture. — 2017. — № 2 (34). — P. 35—44.

82

MODELING THE EVOLUTION OF DEFORMATIONS

AND STRESSES IN ROAD CONSTRUCTION MATERIALS

BASED ON THE RHEOLOGICAL APPROACH

S. V. Nosov 1

Lipetsk State Technical University 1

Russia, Lipetsk

1 D. Sc. in Engineering, Prof. of the Dept. of Building Materials Science and Road Technologies, tel.: +7-903-699-31-80, e-mail: nosovsergej@mail.ru

Statement of the problem. The correct choice of sealing in the construction of highways as a fundamental factor in high-quality compaction of road construction materials requires consideration of the operating stresses and rates of their changes under the working bodies as well as those in the stress within a material layer at a relevant level of kinetics of the deformation development in the material. Different approaches and methods that exist show the ambiguity and inconsistency of some data, which is explained bythe lack of consideration of factors that had not previously been given due attention.

Results. The problems of the analytical description of deformation development of road construction materials under a load and stresses occurring in them under certain deformation laws are considered, which is an important factor in the development of compaction technologies. It is shown that the application of the theory of hereditary creep for such a description allows us to take into account additional factors that had not previously been treated with due attention, which led to significant inaccuracies in determining the stresses in time and the development of deformation of materials.

Conclusions. The problem of improving the quality and efficiency of compaction of road construction materials can be solved by applying cutting-edge methods for studying the characteristics of the materials of the compaction layers of roads. The development of deformations and distribution of stresses in the compaction layer of the road-building material should be determined taking into account its rheological properties while using the relaxation processes occurring in time. At the same time by employing the interrelation between creep and relaxation processes, it is possible to calculate the magnitude of deformations and acting stresses at anytime in accordance with various laws of loading and deformation of the material.

Keywords: road construction materials, design model, deformation, stresses, rheological properties.

РФФИОБЪЯВЛЕН КОНКУРС НА ЛУЧШИЕ НАУЧНЫЕ ПРОЕКТЫ,

ВЫПОЛНЯЕМЫЕ МОЛОДЫМИ УЧЕНЫМИ ПОД РУКОВОДСТВОМ КАНДИДАТОВ И ДОКТОРОВ НАУК В НАУЧНЫХ ОРГАНИЗАЦИЯХ РФ («МОБИЛЬНОСТЬ»)

Заявки принимаются до: 01.08.2019 23:59 Код конкурса: мол_нр

Задача конкурса – привлечение молодых ученых из России и других стран для участия в научных исследованиях, проводимых в российских научных организациях, создание молодым ученым условий для получения результатов, необходимых для завершения диссертации на соискание ученой степени PhD или кандидата наук.

Срок реализации проекта: от 1 до 6 месяцев. Размер гранта: 120 000 рублей в месяц.

На конкурс могут быть представлены проекты фундаментальных научных исследований по следующим научным направлениям: математика, механика, химия и науки о материалах, инфокоммуникационные технологии и вычислительные системы, фундаментальные основы инженерных наук, экономика и др.

Подробнее см. на официальном сайте РФФИ: https://www.rfbr.ru.

83

Научный журнал строительства и архитектуры

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

DOI 10.25987/VSTU.2019.53.1.008

УДК 624.04

РАСЧЕТ Г-ОБРАЗНОЙ ФЕРМЫ КРЕПЛЕНИЯ ДОРОЖНЫХ ЗНАКОВ И ОБОРУДОВАНИЯ

М. Н. Кирсанов 1

Национальный исследовательский университет «МЭИ» 1 Россия, г. Москва

1 Д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры робототехники, мехатроники, динамики и прочности машин,

тел.: (495)362-73-14, e-mail: c216@Ya.ru

Постановка задачи. Рассматривается возможная схема плоской внешне статически неопределимой шарнирно-стержневой конструкции с консолью. Стойка и консоль фермы имеют периодическую структуру. Выводится аналитическая зависимость деформаций фермы при различных нагрузках от числа панелей в вертикальной стойке и в консоли.

Результаты. Для трех типов нагрузок по формуле Максвелла-Мора найдены аналитические зависимости прогибов фермы от числа панелей, размеров и нагрузки. Решение имеет полиномиальный по числу панелей вид. При обобщении частных решений на произвольное число панелей применен индуктивный метод и операторы системы компьютерной математики Maple. Найдено распределение усилий в стержнях фермы и аналитические выражения для реакций опор. Обнаружены асимптотические свойства решений.

Выводы. Предлагаемая схема консоли с крестообразной решеткой в опорной части допускает точное решение задачи о прогибе при произвольных пропорциях конструкции. Найденные формулы компактны и позволяют оценивать жесткость, прочность и устойчивость конструкции.

Ключевые слова: консольная ферма, прогиб, двойная индукция, внешняя статическая неопределимость, аналитическое решение.

Введение. В одном из вариантов крепления дорожных знаков, указателей и различного электрического (освещение) и электронного оборудования (информационного, контролирующего) используются Г-образные кронштейны, устанавливаемые на обочине дорог [7, 8, 13]. Как правило, это решение применяется в тех случая, когда ширина дороги не допускает использование балочной фермы над всеми полосами движения. Кронштейн может быть выполнен в виде фермы. Расчет деформаций такой конструкции не менее важен, чем расчет прочности, особенно если на кронштейне закреплены какие-либо считывающие или регистрирующие устройства. Целью настоящей работы является вывод аналитических зависимостей деформаций конструкции (рис. 1) от ее размеров, нагрузок и числа панелей в вертикальной части (стойке) и горизонтальной (ригеле). Подобные задачи для балочных [1, 9, 20], арочных [5, 21] и решетчатых [3, 15, 16] ферм ранее уже решались с применением системы компьютерной математики и метода индукции. Здесь задача усложняется за счет наличия двух независимых числовых параметров, каждый из которых весьма важен при решении задачи о деформациях фермы и внешней статической неопределимости конструкции с двумя неподвижными шарнирными опорами.

© Кирсанов М. Н., 2019

84

Помимо размеров и нагрузок основные параметры задачи — это число m панелей в стойке и число n панелей в ригеле. Решение такой задачи требует значительно более трудоемкой двойной индукции для обобщения частных решений на общий случай и вывода достаточно универсальной формулы, пригодной как для высоких кронштейнов с малым выносом консоли, так и для больших консолей с низкой опорой. В практической реализации это сдвоенные фермы (рис. 2) с горизонтальными связями.

1. Конструкция. Исследуемая плоская модель фермы (рис. 1) имеет 2(n + m)+1 шарниров и s = 4(n + m)+2 стержней. Очевидно, ферма статически определима, стержни принимаются упругими, шарниры идеальными. Две неподвижные шарнирные опоры делают конструкцию внешне статически неопределимой. Обычных для таких задач уравнений равновесия всей фермы недостаточно для определения четырех реакций опор. Вертикальные компоненты реакций опор из условия равновесия всей системы еще можно найти, но горизонтальные уже нет. Для их определения надо использовать либо универсальный в таких случаях принцип возможных перемещений, либо рассчитывать равновесие всех узлов фермы с определением усилий во всех стержнях, включая и четыре опорные. Именно так и будет сделано ниже. Для этого лучше всего использовать хорошо зарекомендовавшую себя программу расчета усилий в системе компьютерной математики Maple [4]. Эта система дает аналитические выражения усилий, необходимые для использования формулы Максвелла-Мора и получения решения в виде формулы. В программе использован метод вырезания узлов. Стержни и узлы нумеруются (рис. 3). В цикле по стержням фермы заполняется матрица уравнений равновесия узлов, состоящая из направляющих косинусов усилий. Эти значения (также в аналитической форме) определяются по координатам узлов и структуре.

Начало координат выбирается в левой шарнирной опоре. Ввод координат производится в циклах параметрически заданной длины:

85

Научный журнал строительства и архитектуры

Рис. 3. Нумерация стержней и узлов, n = 4, m = 3

стержни стойки и пояса ригеля задаются, например, векторами:

Vi [i,i 1], i 1,...,n m 1,

Vi n m 1 [i n m,i n m 1], i 1,...,n m.

2. Решение. Система уравнений равновесия узлов в проекциях на оси координат записывается в матрицу G с направляющими косинусами усилий в стержнях, которые вычисляются по координатам узлов и согласуются с векторами Vi, i 1,...,s . В нечетных строках матрицы

размещаются направляющие косинусы с горизонтальной осью x, в четных — с осью y. В случае равномерного загружения узлов ригеля правая часть системы уравнений, содержащая нагрузки в четных строках, имеет вид вектора B2i P, i 2m n 1,..,2(n m) 1. Остальные

компоненты этого вектора равны нулю.

Прогиб фермы (вертикальное смещение шарнира n + 1 нижнего пояса) определяется по формуле Максвелла-Мора:

где Ni — усилия в i-м стержне фермы от приложенной нагрузки; ni — усилие в этом же стержне от единичной вертикальной силы; li — длина стержня; EFi — жесткость стержней. В сумму не входят четыре жесткие опорные стержня. Жесткость всех стержней, кроме вертикальных стоек, принята равной EF, жесткость стоек EFγ, где γ > 1.

Усилия ni определяются из системы уравнений с правой частью B2i 1, i m n.

Решая в аналитической форме задачу о прогибе последовательно для ферм с различным числом панелей, получаем, что во всех случаях выражение прогиба имеет один и тот же вид:

86

Зависимости коэффициентов от числа панелей получены как решения рекуррентных уравнений с помощью операторов rgf_findrecur и rsolve системы Maple. Для нахождения коэффициента An,1 по данным расчетов десяти ферм оператор rgf_findrecur дает линейное рекуррентное уравнение пятого порядка, которому удовлетворяют члены последовательности коэффициента при a3:

An,1 5An 1,1 10An 2,1 10An 3,1 5An 4,1 An 5,1 .

Решение этого уравнения дает зависимость для An,1 (3) при m = 1. Уравнение для коэффициента Cn,1 имеет меньший порядок:

Вид коэффициента Hn,1 оказался достаточно простым, и для его получения не потребовались операторы системы Maple. Для того чтобы обобщить решение и на параметр m, необходимо повторить решение для m = 2, 3, 4…. При m = 2 имеем:

An,2 2n2(n2 3n 3),

Cn,2 4n3 (31/2)n2 17n 1/2,

Hn,2 4n3 12n2 14n 2.

Здесь для коэффициента Hn,2 было получено рекуррентное уравнение четвертого порядка вида (4). При m = 3 из решения тех же рекуррентных соотношений, но с другими начальными данными получим:

An,3 2n2(n2 3n 3),

Cn,3 6n3 (49/2)n2 26n 1/2,

Hn,3 8n3 18n2 18n.

Для получения последовательностей необходимой длины процедуру вывода необходимо проделать при m = 1, 2, 3, …, 10. Как оказывается, коэффициент An,m не зависит от m. Чтобы получить зависимость Cn,m и Hn,m от m, необходимо обобщить вид их коэффициентов при различных степенях n. Последовательность коэффициентов cm в Cn,m при n2 имеет вид

cm = 13/2, 31/2, 49/2, 67/2, 85/2, 103/2…. Рекуррентное уравнение для этой последовательно-

сти дает оператор rgf_findrecur cm 2cm 1 cm 2. Решение этого уравнения: cm (18m 5)/2.

Аналогично находятся и другие коэффициенты. В итоге получаем окончательный вид искомых выражений:

An,m 2n2(n2 3n 3),

Cn,m 2mn3 (18m 5)n2 /2 (9m 1)n 1/2,

Hn,m 4(m 1)n3 3(( 1)m 6m 5)n2 /2 2n(( 1)m 4m 2) 3(( 1)m 1)/2 m.

Вместе с (2) эти зависимости для случая равномерной нагрузки по верхнему поясу консоли дают решение поставленной задачи.

Одновременно с решением задачи о прогибе в тех же циклах по числу панелей методом индукции можно получить и выражения для реакций опор (рис. 1). Вертикальные реакции, как и следовало предполагать, не зависят от числа панелей m:

YA P(n 1)(n 2)/2, YB Pn(n 1)/2.

87

Научный журнал строительства и архитектуры

Горизонтальные реакции равны между собой по модулю, а их направление зависит от четности m:

3. Другие нагрузки. Описанный алгоритм поиска аналитического решения имеет то достоинство, что его несложно настроить на другую нагрузку [14]. Для этого достаточно изменить вид правой части Bj , j 1,...,s системы линейных уравнений. В случае загружения

консоли вертикальной силой (рис. 4) формулы для коэффициентов в (2) получаются проще. Опуская выкладки, запишем:

An,m 2n(8n2 18n 13)/3,

Cn,m 4mn2 4n(3m 1)n 9m 2,

Hn,m 8(m 1)n2 2n(( 1)m 5 6m) 5 10m 3( 1)m.

Боковая горизонтальная нагрузка (рис. 5) также вызывает вертикальный прогиб консоли.

Формула для прогиба в этом случае имеет несколько иную форму, также полученную методом индукции

EF PCn,mc3 Hn,mh3 / , EFah

где

Cn,m (2(3 2m ( 1)m )n 1 6m 3( 1)m )/4,

Hn,m (n(4m3 6m2 3( 1)m 4m 3) 3 3( 1)m 6m)/6.

4. Анализ. Рассмотрим некоторые примеры применения полученных формул. Пусть длина консоли и высота стойки фиксированы, a жесткость всех стержней одинакова 1.

Размеры панели a L/(2n 2) и h h0 /(2m) зависят от n и m. Зафиксируем также нагрузку

88

Операторы Maple позволяют оценить асимптотику решения

lim '/n2 h0(3m 2)/(mL).

n

На рис. 7 отражена зависимость вертикального прогиба консоли при действии горизонтальной нагрузки в зависимости от числа панелей по вертикали сооружения. Принимаются те же предположения о неизменности длины консоли и высоты стойки. Отличие только в выражении суммарной нагрузки P0 = Pm. Приняты размеры L = 5 м, h0 = 8 м и одинаковая жесткость стержней γ = 1. Кривые, несмотря на значительную их немонотонность, имеют наклонные асимптоты. Угол наклона отрицательный:

lim '/m L(2n 3)/(4(n 1)2h0).

m

Графические средства Maple помимо аналитического решения позволяют дать наглядно представление о распределении усилий в стержнях фермы. На рис. 8 толщина линий стержней пропорциональна относительному усилию Si/P. Сжатые стержни выделены синим, растянутые — красным цветом. Рисунок выполнен для случая равномерного нагружения по консоли (см. рис. 1) при a/h 2/5, 1. Интересно отметить, что наиболее сжатые и растянутые стержни находятся не в основании стойки, а на втором ее уровне. Далее по высоте усилия в стойках чередуются по величине, а в решетке и по знаку. Такое чередование характерно для крестообразных решеток и согласуется с чередованием знака реакций (5). На этой же ферме видно, что в консоли с обычной треугольной решеткой этого нет. Аналогичный рисунок для нагрузки в конце ригеля (рис. 4) не отличается качественно.

Обзоры некоторых работ, использующих описанный метод индукции при выводе конечных зависимостей прогиба фермы от числа панелей с применением системы Maple, даны

в[5, 6]. Общие же проблемы возможности анализа регулярных ферм впервые были подняты

в[11, 12]. Формулы зависимостей прогиба регулярных ферм от числа панелей и общая методика их исследования приводятся в монографии В. А. Игнатьева [2]. Динамика колебания кронштейнов с указателями от порывов ветра и потока проезжающего транспорта с учетом накопления повреждений численными методами изучалась в [7, 8, 13].

Выводы. Для Г-образного кронштейна выбрана шарнирно стержневая статически определимая схема конструкции с крестообразной решеткой в стойке. Несмотря на внешнюю статическую неопределимость фермы [2, 6] методом индукции при поддержке операторов системы компьютерной математики Maple получена компактная аналитическая зависимость прогиба от числа панелей и размеров фермы при трех видах нагрузок.

89