Методическое пособие 544

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3 x 4sin12 x 8sin2

3 x sin 3 x 4sin12 x

4sin 3 x 4sin 3 x cos 6 x 4sin12 x

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Таким образом, зависимости ют собой решения пары задач:

а)	X		x X x 0, X 0

X x X 3

T t

представля-

б) T t

T t 0.

2. Найдѐм решение задачи а).

X x X x 0;

1, 2

X x C1 cos

Общее решение:

x C2 sin

x. Исполь-

зуя граничные данные, будем иметь:

X 0 C 0,

X 3 C2 sin 3

, n N;

C sin

x C sin

x, C

, n N.

3. Найдѐм решение задачи б). Для

получим

2n2

t 81 T t 0;

2n2

dt;

2n2

dt;

ln T

t ln An

;

ln T

t ln An

;

ln e

ln T

ln An

;

ln T

An e

2n2

t , n N.

Общее решение данного уравнения: T An e

4. Таким образом, вспомогательные решения заданного уравнения представляются в форме

v x, t C

sin

x A e

sin

An e

где

Cn An .

5. Решение

исходного

уравнения

теплопроводности

ищем в виде

u x, t

x, t

sin

A e

n 1

Эта функция является решением исходного уравнения и удо-

влетворяет исходным граничным условиям при любых	An ,
при которых ряд для функции u x, t сходится.

6. Находим коэффициенты

A	,
n

такие, что

u x, t

удо-

влетворяет исходному начальному условию, которое запишем в виде:

4sin 3 x 4	1	sin 9 x sin 3 x 4sin12
	2

4sin 3 x 2sin 9 x 2sin 3 x 4sin12 x

6sin 3 x 2sin 9 x 4sin12 x.

С другой стороны,

		sin n x 6sin 3 x 2sin 9 x 4sin12 x
u t 0	An	sin n x 6sin 3 x 2sin 9 x 4sin12 x
	n 1		3
	n 1
	6sin		9	x 2sin		27	x 4sin	36	x.
	6sin			x 2sin			x 4sin		x.
			3		3			3
Отсюда	A9 6,	A27	2,		A36 4, все остальные коэффици-

енты равны нулю. Подставляя эти коэффициенты в формулу

для решения исходного уравнения теплопроводности из пункта 5, получаем:

	9	2	2		27	2	2		36	2	2
u x, t 6e			t				t				t
		81		sin 3 x 2e	81			sin 9 x 4e	81			sin12 x

	2	t		2	t		2	t
6e		t	sin 3 x 2e	9	t	sin 9 x 4e	16	t
6e			sin 3 x 2e			sin 9 x 4e

sin12 x.

Неоднородное уравнение теплопроводности.

Требуется найти решение неоднородного уравнения

удовлетворяющее начальному условию

u	t 0	0
	t 0

и однородным краевым условиям

u	x 0	0, u	x l	0.
	x 0		x l

135136137

При этом предполагается, что				непрерывная функция
f x, t имеет кусочно-непрерывную				частную производную
первого порядка по	x и что при всех			t 0 удовлетворяются
граничные данные f		x 0 f	x l 0.

Определим решение u x,

ряда Фурье

u x, t Tn t sin

n 1

задачи

nx l

135

- 137

в форме

138

по собственным функциям задачи 126 . Раскладывая зави-

симость

здесь

x, t в ряд Фурье по синусам, получим
					nx
f x, t fn t sin					l	,
			n 1		l
			n 1
fn t	2	l	f x, t sin	nxdx.
fn t	l		f x, t sin	nxdx.
	l				l
		0
			83

139

140

После подстановки ряда

138

в уравнение

135

и принимая

во внимание

139 , получаем

a n

sin

n 1

Отсюда

T t

t x, n N.

Пользуясь начальным условием для u x, t

t 0 sin nx

u t 0

n 1

Tn t :

получаем начальное условие для

t 0

0, n N.

Решение уравнения

141

при начальном условии

ет вид:

142

141

142

име-

	l		na			2
						t
n
		e				f
T t				l

	0
Подставляя выражение					143
решение задачи 135				–	137
l		na 2			t

u x, t e			l			fn

n 1 0

n	d .

для Tn t в форме

d sin

в ряд

nx . l

138 ,

143

получаем

144

Замечание. При условии неоднородности начальных данных, в решение 144 нужно присоединить частное решение однородного уравнения теплопроводности, удовлетворяющее исходным начальным данным u t 0 x и u x l 0.

Общая первая краевая задача.

Изучим общую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности: решить уравнение

u a	u	f x, t
2
t	xx

145

с дополнительными начальным и граничными условиями

u	t 0	x	,	146
u		x	,

	x 0 1 t ,

u
u			t .

	x l	2

147

Определим новую подлежащую нахождению зависи-

мость

v x, t :

u x, t U x, t v x, t ,

148

являющуюся смещением от некоторой заданной зависимости

U x, t .

Данная

зависимость

v x, t находится

как

решение

, f

x, t f x, t

уравнения vt

a vxx f x, t

a Uxx с

дополнительными условиями

t 0

, x x U

t 0

;

x 0

t t U

x 0

;

v x l

2 t ,

2 t 2 t U x l .

Выберем

вспомогательную

функцию U x, t

так, чтобы

1 t 0

и 2

t 0,

для чего достаточно положить

U x, t 1 t

2 t 1 t .

Следовательно, определение зависимости u x, t

как реше-

ния общей краевой зависимости v x, t

задачи трансформировано к определению как решения краевой задачи с нулевыми

граничными данными. Способ определения зависимости

v x, t

изложен в пункте о неоднородном уравнении тепло-

проводности.

Описанный перед этим общий план решения задач с неоднородностями в уравнении и граничных данных в некоторых случаях оказывается трудной для нахождения неизвест-

ной зависимости

u x, t .

Сложности при определении вспо-

могательной зависимости

v x, t

связаны с видом зависимо-

сти

U x, t ,

для которой находится смещение.

К примеру, для задач со стационарными неоднородностями проще находить стационарное решение и определять смещение от него.

Изучим, к примеру, задачу для ограниченного стержня

0, l , концы которого фиксируются при постоянных темпе-

ратурах u0

и u1 :

u a2u ,

t 0

x ,

u x 0

u0 ,

u .

Решение определим в форме суммы

u x, t

x v x, t ,

здесь u x

– стационарная температура, а

v x, t – смещение

от неѐ.

Зависимости

u x

v x, t

удовлетворяют соотноше-

ниям

0, v a2v ;

x 0

, v

t 0

x u x

x ;

, v

x l

Исходя из этого определяем

u u

Зависимость

v x, t ,

задаваемую начальным условием и

однородными граничными данными, легко определяем методом Фурье.

Теплопроводность бесконечного стержня. Задача Коши для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим задачу о распространении тепла в неограниченном стержне без внутренних источников тепла и теплоизолированной боковой поверхностью. Предположим, что в начальный момент времени известна температура в разных сечениях неограниченного стержня. Необходимо найти распределение температуры в стержне в очередные моменты времени.

Замечание. К этой модельной задаче сводятся физические ситуации, в которых стержень настолько длинный, что температура в его внутренних точках мало зависит от условий на концах стержня.

Пусть ось стержня совпадает с осью Ox. Тогда математически задача о распространении тепла формулируется следующим образом: найти решение уравнения теплопроводности

, x , 0 t ,

f1 x .

с начальным условием

t 0

Введя новую перемен-

t, преобразуем уравнение теплопроводности:

ную a

149

Решение этого уравнения ищем в виде произведения двух

функций:	u x, X x T . Подставляя функцию u x,		в
этом виде в уравнение теплопроводности 149 ,		получим:
	87

X x T X x T τ ,
T	X x	.
T	X x

Последнее равенство должно выполняться при любых и x. Данное требование справедливо, если дроби в его левой и правой частях равны одной и той же константе.

T	X x	const.
T	X x

Требование ограниченности решения, следующее из физических соображений, устанавливает отрицательный знак этой константы. Тогда из соображений удобства можно положить

const	.
2

В результате получим два уравнения:

		2
T		T ,

		X x 0.
X x	2	X x 0.

Первое уравнение есть уравнение первого порядка с разделяющимися переменными и его решение имеет вид:

где

– произвольная

уравнения имеет вид:

T Ae	2
		,

постоянная. Общее решение второго

X x B cos x C sin x, где B, C –

также произвольные постоянные. Далее запишем частное решение уравнения

u x, , a cos x b sin x e	2
		,
		,
где произведено переобозначение произвольных		констант:
a AB, b AC.

Найденная функция является решением уравнения, но начальным условиям она не удовлетворяет. Зависимость функции u x, , от константы как от параметра позво-

ляет искать необходимое частное решение в виде бесконеч-

ной	суперпозиции	частных	решений:
		88

a cos

u x, ,	по

ние

b sin x e

в пределах от

2

	.

Интегрируя функцию

до , тоже найдѐм реше-


u x, a cos x b sin x e	2
		d ,	150
		d ,

если a и b удовлетворяют условию, что данный инте-

грал, его производная по и вторая производная по x определены и находятсятся дифференцированием интеграла по и x. Коэффициенты a и b подбираются так, чтобы

удовлетворять начальному условию

		a
u 0		a

Предполагая,

cos x b

sin x d f

151

что функция

интегрируема на всей чис-

ловой оси, представим еѐ в виде интеграла Фурье:

Так как

cos

u 0

f1 x

	1	f cos x d d .
	2
		1


x cos cos x sin sin x, то

cos cos x sin sin x d d .	152

Сравнивая формулы

151

152 ,

находим коэффициенты

и b :

	a	1			cos d ,
				1
		2		f
		2
		1
					sin d .
				f

b
		2		1
		2

			89

Подставляя

имеем

	u x,	1
	u x,	2
		2

коэффициенты

и b

в решение

150 ,

cos cos

x sin sin x e d

x d

f cos

e d .

Это выражение является решением задачи Коши для уравнения теплопроводности. Однако это выражение является достаточно громоздким и малопригодным для анализа. С целью его упрощения введѐм новые переменные:

x	;		;	x


x		; d		d;		; d
				2	2

Подстановка новых переменных в последнее изменение порядка интегрирования даѐт:

u x,			1						cos d
						1	x
			2			f	x
			2

				2
	1	e			cos d			f1 x		d .
	1
	2
	2

Рассмотрим отдельно внутренний интеграл

	;
	d	.
		.

выражение и

e	2	d

153

I e 2 cos d .

В случае

I 0

Продифференцируем

I e 2

	2
e	2	d	– интеграл Пуассона.

I и проинтегрируем по частям:

sin d 1 sin d e 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022319.76 Кб2Методическое пособие 54.pdf
#
30.04.20222.17 Mб3Методическое пособие 540.pdf
#
30.04.20222.17 Mб16Методическое пособие 541.pdf
#
30.04.20222.17 Mб5Методическое пособие 542.pdf
#
30.04.20222.2 Mб4Методическое пособие 543.pdf
#
30.04.20222.2 Mб6Методическое пособие 544.pdf
#
30.04.20222.21 Mб3Методическое пособие 545.pdf
#
30.04.20222.21 Mб2Методическое пособие 546.pdf
#
30.04.20222.22 Mб2Методическое пособие 547.pdf
#
30.04.20222.27 Mб7Методическое пособие 548.pdf
#
30.04.20222.28 Mб2Методическое пособие 549.pdf