Методическое пособие 398

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Решение. Найдем произведение АВ:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

	1	2	3	4		2	1	1	8
18.	0	2	5	9	19.	1	3	6	9
18.	0	0	3	7	19.	0	2	2	5
	2	4	6	0		1	4	6	0

20. Не раскрывая определителей, докажите равенство:

						a c	b c	(c d )			1 1			.
						a c	b c	(c d )			1 1			.
						a d	b d				a		b
Решите уравнения:
	x2	4	9						x2	3		2
	x2	4	9						x2	3		2
21.	x	2	3	0			22.		x	1		1	0
	1	1	1						0	1		4

Решите неравенства:
		2	1						2	x 2		1
	3	2	1						2	x 2		1
23.	1	x	2		0		24.		1	1		2			0
	1	2		1					5	3			x

Тема 2. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ Справочный материал

Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:

	a11	a12	...	a1n
	a	a	...	a
A	21	22		2n .
A			...
			...

	am1	am2	...	amn
Матрицу обозначают также:			A (aij )m n		или Am n .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называет-

ся нулевой матрицей и обозначается О.

Матрица, у которой число строк равно числу ее столб-

цов, т.е. m n , называется квадратной матрицей порядка п.

Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице (обозначается Е):

	1		0	...	0
		0	1	...	0
E


		0	0	...	1

Операции над матрицами:
Суммой матриц A (aij )m n	и B (bij )m n одинаково-
го размера m n называется матрица		C (cij )m n того же

размера, элементы которой вычисляются по формулам:


cij aij bij для любых
cij aij bij для любых		i 1, m ;		j 1, n .
Произведением матрицы A (aij )m n			на число назы-
вается матрица A ( aij )m n .
Произведением матрицы	A (aij ) размера m n на мат-
рицу B (bij ) размера n p	называется		матрица C (cij )

размера m p , элементы которой вычисляются по формулам:

n
cij aik bkj ai1b1 j ai2b2 j ... ainbnj	( i 1, m ;	j 1, p ).
k 1

Говорят, что матрицы умножаются по правилу "строка на столбец": чтобы получить элемент cij , расположенный в

i -й строке и j -м столбце матрицы C AB , надо элементы

i -й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Заметим, что при умножении матриц их размеры должны быть согласованы, а именно, число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй матрицы.

Свойства введенных операций

1)A B B A

2)( A B) C A (B C)

3)A O A , где О - нулевая матрица

4)( A B) A B

5)( ) A A A

6)( AB)C A(BC)

7)( A B)C AC BC

8)A(B C) AB AC

9)AE EA A , где E - единичная матрица

10)( AB) ( A)B A( B)

11)| AB | | A | | B |

Примеры решения задач

Пример 1. Найти матрицу C AT 3B , где

1	2	3			0		1
			,
A				B		5	6
0	1	2
						0	3

Решение. Найдем сначала матрицу AT , транспонированную к A , т.е. строки сделаем столбцами:

			1		0
AT				2	1	.

				3	2
				3	2
Найдем матрицу 3B , умножив все элементы матрицы B на 3:
	0		1			0	3
3B 3		5	6		15 18			.

		0	3			0	9
		0	3			0	9

Произведем вычитание матриц AT и 3B (поэлементно):

	1		0	0		3	1		3
T
C A	3B	2	1	15 18				13	17	.
		3	2		0	9		3	7
		3	2		0	9		3	7

Пример 2. Найти произведение матриц A и B , если

1		1		2		1
				2		1
A	2	0	,	B	3	1	.
	3	5			3	1
	3	5

Решение. Вычислим произведение AB . Матрица A имеет размер 3 2 , матрица B - размер 2 2 . Тогда матрица AB существует, имеет размер 3 2 и определяется равенством:

1 2 ( 1) 3			1 ( 1) ( 1) 1	1		2

AB	2 2	0 3	2 ( 1) 0 1		4	2
	3 2	5 3	3 ( 1) 5 1		21	2
	3 2	5 3	3 ( 1) 5 1		21	2

В данном случае произведение BA не имеет смысла, так как число столбцов матрицы В (два) не совпадает с числом строк матрицы А (три).

Пример 3. Найти произведение матриц A и B , если

3		2	1		1		2
3		2	1
A	5	1		,	B	1	1	.
	5	1	1			0	1
						0	1

В данном случае можно вычислить и произведение BA , так как число столбцов матрицы B равно числу строк матрицы A . Получим:

1		2	3	2 1	1 3 2 5		1 2 21 11 21			13		4	3
			3	2 1		1 3 1 5	1 2 11
BA	1	1				1 3 1 5	1 2 11	1111			8	3	2	.
	0	1	5	1 1		0 3 1 5	0 2 11				5	1	2
	0	1				0 3 1 5	0 2 11	0 111			5	1	2
Отметим, что оба произведения AB и BA имеют смысл, но
являются разными матрицами, а значит AB BA .
Пример 4. Найти значение выражения									A2 5A 3E ,
	2		4	и E - единичная матрица.
где A				и E - единичная матрица.
		1	0

Решение. Сначала найдем					A2 . По правилу умножения
матриц имеем:
	A2		2	4 2	4	8		8
	A2							.
			1	0 1	0	2		4
Затем найдем 5A и 3E :
2	4	10		20				1 0		3 0
5A 5				,	3E 3					.
1	0		5	0				0 1		0 3
Теперь найдем значение данного выражения:
A2 5A		8	8	10	20	3	0		1	12
A2 5A	3E									.
		2 4		5	0	0	3		3	7

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

1. Даны матрицы A и B . Найдите A B ,								2A , A 3B , если:
	2	1			2		1
A	0	1	,	B		3	2	.

	1					0	2
	1	4				0	2

2. Даны матрицы A и B . Найдите 3A BT ,								2AT 3B , если:
	2		2		1	5	6
					1	5	6
A		3	4	,	B			.
					2	2		3
		5	6		2	2		3
		5	6

3.Для даных матриц A и B найдите произведения AB и BA (если это возможно):

		1		0			2							2			7		1
а) A			0	1			3			,	B				3		2 4				;

			4	0 5											1	3 5
			4	0 5											1	3 5
		1		1		0 ,							0		7							3		, B 5						3 ;
б)	A	1		1		0 ,			B				3 4			;	в)	A				4		, B 5				2		3 ;
	A			1					B				3 4					A				4
		3				5
		3				5							1		0							2
													1		0							2
		2		2						3			4							0				0				b		c
г) A						,	B							;			д) A									,	B			.
			1	2							2		3							0				a					0 0
4. Даны матрицы A ,										B ,			C . Найдите ( AB)C ,													A(BC)			и пока-
зать, что ( AB)C A(BC) , если:
				2 1				3							2			1						2			1
а) A				2 1				3				B									C			2			1	;
а) A				0 1 2						,		B				0	2		,		C				3			;
				0 1 2												1									3		0
																1	1
				0	0		1							1			1
				1	1		2							1			1							4
б) A				1	1		2																	4
б) A				2	2		3			,	B					2	2		,	C			.
				2	2		3									1								1
				3	3		4									1	1
				3	3		4
5. Даны матрицы A ,											B ,			C . Вычислите те из произведений
AB , BA , AC , CA , BC , CB , которые имеют смысл.
	1 1					3							0			1						0			1		2	0
	1 1					3							0			1						1 2
A								,		B							, C					1 2					0 0		.
	2			0 2										1 1								1			2		1	0
																						1			2		1	0

6.Найдите значение данного выражения (здесь E - единичная матрица соответствующего размера):

а) A3 4A2 A E ,	где	1		2	;
		A	2	1

										1			2		3
б)	3A2 2A 5E ,						где		A		2		4		1	.

											3		5		2
											3		5		2
7. Для данных матриц A и B найдите ( A 3B)2 , если
		1		4 7						2				1 1
		A	2	5 8			,		B			1		0 2			.

			3	6 9							4			1		0
			3	6 9							4			1		0
8. Найдите матрицы AB ,						( AB)T ,				AT BT ,				BT AT				и проверьте
											1			0 1				1		2
			T	T T			, если				1			0 1					1	0
равенство ( AB)				B A			, если			A						,		B	1	0	.
												2		3	2				3	1
																			3	1
9. Найдите ( AB)C ,				A(BC) , если
	5	9 7		5			9			3				4
A	5	9 7								3				4
A			,	B	0		3	,	C						.
	0	3 2			0		2			1 0
					0		2
10. Найдите значение данного выражения (здесь E -																				еди-
ничная матрица соответствующего размера):
а)	A2 2A 5E ,							где		A			4		3
а)	A2 2A 5E ,							где		A					;
													2		1
													2		0	0
б)	3	2	2A 4E ,					где		A			0		3	0
б)	A	5A	2A 4E ,					где		A			0		3	0		.
													0		0	1
													0		0	1

Тема 3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Справочный материал

Пусть A (aij ) - квадратная матрица порядка n , E - единичная матрица того же порядка.

Матрица A 1 называется обратной к матрице A , если выполняется равенство AA 1 A 1A E .

Обратная матрица A 1 существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная,

т.е. | A | 0 .

Обратная матрица находится по формуле

A 1	1	A ,	(4)
	\| A \|

где A ( Aij )T - присоединенная матрица. Матрица A полу-

чается транспонированием из матрицы, составленной из алгебраических дополнений Aij к элементам aij .

	Свойства обратной матрицы:
1)	( A) 1	1	A 1	2) ( AB) 1 B 1 A 1


3) A 1 1 A				4) AT 1 A 1 T

Обратные матрицы используются при решении матричных уравнений. Матричные уравнения простейшего вида

с неизвестной матрицей X		записываются следующим
образом: AX B ,	XA B ,	AXC B .
Для решения уравнения		AX B умножим обе его ча-

сти на A 1 слева и, используя равенство A 1A E , получим:

AX B A 1AX A 1B X A 1B .

Уравнения XA B и AXC B решаются аналогично:

XA B		XAA 1 BA 1	X BA 1 ,
AXC B		XC A 1B	X A 1BC 1 .

Примеры решения задач

Пример 1. Найти обратную матрицу A 1 для матрицы

	4	5	. Сделать проверку.
A	1	2	. Сделать проверку.
	1	2
	Решение. Вычислим определитель матрицы A :
						5
				A	4		8 5 3.
				A	4		8 5 3.
					1	2
					1	2
Так как \| A \| 0 , то матрица						A невырожденная, следователь-

но, имеет обратную матрицу. Для нахождения обратной мат-

рицы A 1 вычислим алгебраические дополнения элементов
матрицы A :
A ( 1)1 1( 2) 2 ,								A ( 1)1 2 1 1 ,
11								12
A ( 1)2 1 5 5 ,								A ( 1)2 2 ( 4) 4 .
21								22
Составим присоединенную матрицу A ( A )T													:
												ij
						A		A	2			5
A ( Aij )T						11		21		1		4
					A12			A22		1		4
Найдем обратную матрицу A 1								по формуле (4):
											2		5
	1			1		2		5			3		3
	1			1		2		5
A 1		A												.
A 1	\| A \|	A		3			1	4			1		4	.
	\| A \|			3			1	4			1		4

											3		3
											3		3
Сделаем проверку, т.е. убедимся, что AA 1												E :
AA 1			1	4			5 2			5
										4

			3			1 2 1

1	( 4) ( 2) 5 ( 1)			( 4) ( 5) 5 ( 4)	1		0	E .
		1 ( 2)	( 2) ( 1)	1 ( 5) ( 2) ( 4)		0	1
3

Решение. Вычислим сначала определитель матрицы A . Имеем: | A | 8 0 . Следовательно, обратная матрица суще-

ствует. Построим ее.

Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы A :

			5 3
	1 1		5 3				2 ,			1 2			1 3		2 ,			1 3			1 5			4,
A ( 1)							2 ,		A ( 1)						2 ,	A ( 1)								4,
11			1	1					12				1	1		13					1	1
			1	1									1	1							1	1
				1								2 1										4
A ( 1)2 1			4	1		3 ,			A ( 1)2 2			2 1		1,		A ( 1)2 3			2			4	2 ,
21			1	1					22			1 1				23			1			1
			1	1								1 1							1			1
				1					A ( 1)3 2		2 1									2		4
A ( 1)3 1		4		1	7 ,				A ( 1)3 2		2 1			5 ,		A ( 1)3 3				2		4	6 .
31		5		3					32		1 3					33				1		5
		5		3							1 3									1		5
Составим матрицу									A ( A )T .			Для			этого		сначала					каждый
										ij
элемент матрицы								A заменим его алгебраическим дополне-
нием, а затем полученную матрицу транспонируем:
								A11		A21		A31			2		3 7
	A ( A )T							A A A								2	1 5			.
				ij					12	22	32
								A A A								4 2		6
									13	23	33

Тогда обратная матрица A 1 имеет вид (см. формулу (4)):

	1		1	2		3	7
1		A					5	,
A					2	1
	\| A \|		8
					4	2	6

	1 / 4		3 / 8	7 / 8
откуда окончательно находим A 1		1 / 4	1 / 8	5 / 8	.

		1 / 2	1 / 4 3 / 4
		1 / 2	1 / 4 3 / 4

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.15 Mб22Методическое пособие 393.pdf
#
30.04.20221.15 Mб5Методическое пособие 394.pdf
#
30.04.20221.16 Mб4Методическое пособие 395.pdf
#
30.04.20221.16 Mб2Методическое пособие 396.pdf
#
30.04.20221.16 Mб3Методическое пособие 397.pdf
#
30.04.20221.17 Mб2Методическое пособие 398.pdf
#
30.04.20221.17 Mб80Методическое пособие 399.pdf
#
30.04.2022350.21 Кб11Методическое пособие 4.doc
#
30.04.2022169.8 Кб2Методическое пособие 4.pdf
#
30.04.20221.07 Mб5Методическое пособие 40.doc
#
30.04.2022291.56 Кб4Методическое пособие 40.pdf