- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •1. Элементы высшей алгебры
- •1.1. Матрицы
- •1.2. Определители
- •1.3. Системы трех уравнений первой
- •Матричная запись системы линейных уравнений. Понятие обратной матрицы Рассмотрим снова систему уравнений
- •1.5. Метод гаусса
- •Векторная алгебра
- •2.1. Скалярные и векторные величины
- •Проекция
- •2.3. Линейные операции над векторами
- •3. Основные свойства линейных операций.
- •4. Теоремы о проекциях векторов.
- •Скалярное произведение векторов
- •1. Определение и основные свойства скалярного произведения.
- •2. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •Векторное произведение
- •2 . Основные свойства векторного произведения.
- •4. (Свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю).
- •5. (Свойство распределительности относительно суммы векторов).
- •3. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •Смешанное произведение трех векторов
- •В силу тождества (1) смешанное произведение можно обозначить более простым символом .
- •2. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •Аналитическая геометрия на плоскости
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •Расстояние между двумя точками.
- •Площадь треугольника.
- •3.2. Полярные координаты
- •3.3. Линии первого порядка
- •6. Общее уравнение прямой.
- •Умножая данное уравнение на μ, получаем нормальное уравнение
- •3.4. Линии второго порядка
- •1. Эллипс.
- •3. Парабола.
- •3.5. Общее уравнение линии второго порядка
- •1. Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду.
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Уравнение плоскости
- •Раскрывая скобки, приведем уравнение (1) к виду
- •4.2. Уравнение прямой
- •4.3. Поверхности второго порядка
- •5. Предел последовательности
- •5.1. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •5.2. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •Нетрудно видеть, что для того, чтобы последовательность имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы , где есть бесконечно малая.
- •5.3. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •6.1. Классификация функций
- •6.2. Предел функции
- •6.3. Теоремы о пределах функции
- •6.4. Два замечательных предела
- •2. Второй замечательный предел
- •6.5 Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •6.6. Сравнение бесконечно малых
- •6.7. Неопределенные выражения
- •6.8. Непрерывные функции
- •6.9. Классификация точек разрыва
- •Определение и классификация точек разрыва функции.
- •6.10. Основные свойства непрерывных функций
- •Дифференцирование
- •7.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •7.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •7.3. Дифференциал функции
- •Правила дифференцирования.
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •7.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Параметрическое задание функции
- •Применение дифференциального
- •8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •8.2. Раскрытие неопределенностей. Правило лопиталя.
- •8.3. Формула тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •8.4. Исследование поведения функций
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Ответы к п.П. 2.1 2.4
- •Задачи к п. 2.5
- •Ответы к п. 2.5
- •Задачи к п. 2.6
- •Ответы к п. 2.6.
- •Задачи к п.П. 3.1 – 3.3
- •Ответы к п.П. 3.1 – 3.3
- •Задачи к п.П. 3.4 – 3.5
- •Ответы к п.П. 3.4 – 3.5
- •Задачи к п.П. 4.1 4.2
- •Задачи к п. 4.3
- •Ответы к п. 4.3
- •Задачи к п.П. 5.1 6.4
- •Ответы к п.П. 5.1 6.4
- •Задачи к п.П. 6.5 6.9
- •Ответы к п.П. 6.5 6.9
- •Задачи к п.П. 7.1 – 7.6
- •Ответы к п.П. 7.1 – 7.6
- •Задачи к п.П. 8.1 – 8.3
- •Ответы к п.П. 8.1 – 8.3
- •Задачи к п. 8.4
- •Ответы к п. 8.4
- •Вопросы к экзамену
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
- •7. Дифференцирование ……..…………………………..125
- •8. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций………...……………………….…..150
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
Учебное пособие
Элементы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии и математического анализа
Воронеж 2006
Воронежский государственный технический университет
Кафедра прикладной математики
А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
Учебное пособие
Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2006
УДК 517.2
Бырдин А.П., Заварзин Н.В., Сидоренко А.А., Цуканова Л.П. Учебное пособие «Элементы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии и математического анализа» для студентов специальностей 130400 - “Ракетные двигатели”, 100700 - “Промышленная теплоэнергетика”, 120100 - “Технология машиностроения”, 150201 - “Машины и технология обработки металлов давлением” очной формы обучения / Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2006. 240 с.
Излагаются элементы высшей математики. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Имеются задачи для самостоятельного решения.
Издание предназначено для студентов первого курса.
Учебное пособие подготовлено на магнитном носителе в текстовом редакторе MS WORD 97.0 и содержится в файле «Математика.doc»
Ил. 70. Библиогр. 11 назв.
Рецензенты: кафедра математического моделирования ВГУ (Зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Костин) ;
канд. физ.-мат. наук Н.А. Гордиенко.
Ответственный за выпуск зав. кафедрой, д-р физ.-мат.
наук, проф. В.Д. Репников
Бырдин А.П., Заварзин Н.В.,
Сидоренко А.А., Цуканова Л.П.
Оформление ГОУВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2006
1. Элементы высшей алгебры
1.1. Матрицы
1. Определение. Прямоугольная таблица чисел, записанная в виде
, (1)
называется матрицей.
Коротко матрицу обозначают так: (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3), где элементы данной матрицы.
Элементы матрицы образуют столбцы и строки. Первый индекс (i) указывает номер строки, а второй (j) – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент . Матрица (1) имеет три строки и три столбца.
В высшей алгебре рассматриваются матрицы с любым числом строк и столбцов. Поэтому в общем виде матрица записывается следующим образом:
. (2)
Если в матрице число строк равно числу столбцов , то матрица называется квадратной п-го порядка, а в противном случае - прямоугольной. Так, матрица (1) квадратная, третьего порядка. В матрице (2) m строк и n столбцов. Если m = 1, n 1, то получаем однострочечную матрицу (a1 a2 ...an), которая называется вектор - строкой. Если же m 1, а n = 1, то получаем одностолбцовую матрицу
,
которая называется вектор – столбцом.
Две матрицы и равны, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах, т. е. если при всех i и j (при этом число строк (и аналогично столбцов) матриц А и В должно быть одинаковым).
2. Свойства матриц. Матрицы подобно векторам можно складывать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим эти операции.
1о. Суммой двух матриц и с одинаковым количеством m строк и n столбцов называется матрица , элементы которой определяются равенством (i = 1, 2, . . ., m; j = 1, 2, . . ., n).
Обозначение: А + В = С.
Пример 1. + = = = .
Аналогично определяется разность двух матриц.
2о. Произведением матрицы на число называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число : А = = (i = 1, 2…, m; j = 1, 2, …, n).
Пример 2. 3 = = .
3о. Произведением матрицы , имеющей m строк и k столбцов, на матрицу , имеющую k строк и n столбцов, называется матрица , имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы В, т.е.
(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).
При этом число k столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение не определено. Произведение обозначается так:
Пример 3. =
= = .
Пример 4. Пусть А = , В = , тогда
= = ,
= = ,
,
т. е. умножение матриц не обладает перестановочным свойством.
З а м е ч а н и е. Правило умножения легко запомнить, если сформулировать его в следующем виде: элемент матрицы С, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, есть скалярное произведение i-й вектор-строки матрицы A и j-го вектор-столбца матрицы В.
Справедливы следующие соотношения:
(A+B) C = A C +B C,
C (A+B) = C A+C B,
A (B C) = (A B) C,
(A+B)+C = A+(B+C).
4о. Умножение на единичную матрицу. Совокупность элементов квадратной матрицы называется главной диагональю матрицы. Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается буквой Е.
Так, единичной матрицей третьего порядка является матрица
Е = .
Единичная матрица обладает замечательным свойством, а именно: умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу. Это свойство и объясняет ее название «единичная»: при умножении матриц она обладает таким же свойством, как число 1 при умножении чисел.
Пример 5. Пусть A = и E = . Тогда согласно правилу умножения матриц имеем
A E = = ,
E A = = ,
откуда А Е = А и Е А = А.
С понятием матрицы тесно связано понятие определителя.