- •Методические указания
- •Определенный интеграл
- •1. Определение определенного интеграла
- •2. Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке то она интегрируема на нем.
- •3. Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формула среднего значения
- •2. Формула среднего значения.
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула ньютона – лейбница
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Пример 1. Вычислить
- •Формула интегрирования по частям определенном интеграле
- •9. Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
- •2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •Задачи к п.П. 1 10
- •Ответы к п.П. 1 10
- •Индивидуальные задания
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Методические указания
- •21.03.01 «Нефтегазовое дело» (профиль «Эксплуатация
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
ФГБОУ ВПО “Воронежский
государственный технический университет”
Кафедра прикладной математики и механики
Методические указания
по математике к разделу
«Определенный интеграл и его приложение»
для студентов направления подготовки бакалавров 21.03.01 «Нефтегазовое дело» (профиль «Эксплуатация
и обслуживание объектов транспорта и хранения
нефти, газа и продуктов переработки»)
очной формы обучения
Воронеж 2015
Составители:
|
канд. физ.-мат. наук канд. физ.-мат. наук |
А.П. Бырдин, М. И. Зайцева, |
|
канд. техн. наук |
А.А. Сидоренко |
УДК 517.2 (07)
Методические указания по математике к разделу «Определенный интеграл и его приложение» для студентов направления подготовки бакалавров 21.03.01 «Нефтегазовое дело» (профиль «Эксплуатация и обслуживание объектов транспорта и хранения нефти, газа и продуктов переработки»)
очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост.: А.П. Бырдин, М.И. Зайцева, А.А Сидоренко. Воронеж, 2015. 48 с.
Методические указания предназначены для самостоятельного изучения темы «Определенный интеграл и его приложение». Изложен теоретический материал и типовые примеры, предложены задачи для самостоятельной работы. Методические указания рассчитаны на студентов первого курса указанного направления, но могут быть использованы и для других направлений.
Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе Word 2003 и содержатся в файле НГД-Определенный интеграл.doc.
Ил. 15. Библиогр.: 5 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Е.И. Иохвидов
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн.
наук, проф. В.И. Ряжских
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2015
Определенный интеграл
1. Определение определенного интеграла
Пусть функция определена на отрезке Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками:
Обозначим это разбиение через а точки будем называть точками разбиения. В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку Через обозначим разность которую условимся называть длиной частичного отрезка Образуем сумму:
(1.1)
которую назовем интегральной суммой для функции f(x) на соответствующей данному разбиению на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек Геометрический смысл суммы очевиден: это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами если (рис.1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка разбиения : .
Определение. Если существует конечный предел I интегральной суммы (1.1) при , то этот предел называется определенным интегралом от функции по отрезку и обозначается следующим образом:
или (1.2)
Рис. 1
В этом случае, функция называется интегрируемой на отрезке . Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования.
Из определения определенного интеграла следует, что величина интеграла (1.2) зависит только от вида функций и от чисел a и b. Следовательно, если заданы и пределы интегрирования, то интеграл (1.2) определяется однозначно и представляет собой некоторое число. Отсюда, в частности, следует, что определенный интеграл не зависит от выбора обозначения для аргумента подынтегральной функции, т. е. от обозначения переменной интегрирования: и т. д.
Теорема (необходимое условие интегрируемости функции). Если функция интегрируема на отрезке то она ограничена на этом отрезке.