Лекция 6. СГС на основе каналов с шумом.
Особенности модели:
-обнаружение ведется по зашумленной версии Cw(n),
-ПО может быть в точности известно атакующему.
Практические приложения:
-передача СГ по каналам спутниковой, мобильной и оптико-волоконной связи,
-перехват по побочным каналам,
-имитация каналов с шумом.
1
Основная идея построения СГС в каналах с шумами:
“Замаскировать” вложенное сообщение под шум канала.
Задача атакующего в данной установке:
Отличить, присутствует ли только наложение шума канала, или суммы шума канала и стегосигнала.
Упрощение разработки СГС по сравнению с “классическим” случаем. Описание статистики шума канала проще, чем статистики ПО.
Два основных типа канала:
1.Двоичный симметричный канал без памяти (BSC).
2.Гауссовский канал с белым шумом.
Ограничение. Будем предполагать, что легальный и нелегальный каналы совпадают.
2
1. СГС на основе BSC. (Канал факсимильной связи.)
Погружение:
Cw (n) C(n) b (n) (n), n 1,2..N |
(1) |
|
|
C(n) {0,1}; (n) {0,1},i.i.d., P( (n) 1) Pw, P( (n) 0) 1 Pw, b (n) b, |
|
n 1,2..N |
|
" " - сложение по модулю 2. |
|
После прохождения Cw(n) по BSC получаем:
Cw (n) Cw |
(n) (n),n 1, 2..N |
(2) |
|
|
|
|
|
(n) {0,1};i.i.d., P( (n) 1) P0 , P( (n) 0) 1 P0, P0 1/ 2. |
|
||
Атака по обнаружению СГС: |
|
||
|
|
|
|
1. Cw (n) Cw (n) C(n), (C(n) – в точности известно атакующему) (3) |
|||
2. Тестирование двух гипотез: |
|
||
|
|
|
|
H0 : Cw (n),n 1, 2..N - последовательность Бернулли с параметром P0, |
|||
H1 |
|
|
|
: Cw (n), n 1, 2..N - последовательность Бернулли с параметром |
|
||
|
|
P1 P0 (1 Pw ) Pw (1 P0 ). |
|
3
Очевидный метод тестирования: |
|
|
|||||||
|
|
H , если |
t , |
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
t , |
|
|
||
|
|
H , если |
|
(4) |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
||
|
|
t Hw (Cw (n),n 1, 2..N), Hw(X) – вес Хэмминга последовательности X. |
|||||||
|
|
|
|
некоторый порог. |
|
|
|||
Эффективность обнаружения СГС определяется вероятностями Pfa и Pm: |
|
||||||||
|
1 |
N |
|
|
|
|
N N |
|
|
Pm |
P1i (1 P1)N i , Pfa |
P0i (1 P0 )N i , |
(5) |
||||||
|
i 1 |
i |
|
|
|
|
i i |
|
|
где |
N |
|
|
N ! |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
i!(N i)! |
|
|
|||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|||
Точный расчет по (5) оказывается сложным для N > 103. Поэтому воспользуемся критерием относительной энтропии (см. лекцию 5).
4
D D PH0 || PH1 PH0 (x)log |
PH0 (x) |
, |
||||||
PH (x) |
||||||||
|
|
|
x X |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Для модели BSC, где X = {0,1}, получим |
||||||||
D N P log |
P0 |
|
(1 P )log |
1 |
P0 |
. |
|
|
P |
|
1 |
|
|||||
0 |
0 |
P |
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Граница для Pfa |
и Pm (см. лекцию 5) |
|
||||||
P log |
Pfa |
(1 P )log |
1 Pfa |
D, |
|
|
|||
fa |
1 Pfa |
fa |
Pm |
|
|
|
|||
где D – рассчитывается по (6).
(6)
(7)
Найдем вероятность ошибки Pe при извлечении секретного бита
легальным пользователем для информированного декодера.
Решающая схема:
N0 |
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
(C |
(n) C(n)) (n) b |
|
|
(8) |
|||
|
w |
|
|
|
|
||
n 1 |
|
|
0, |
|
|
||
где λ – некоторый порог, N0 – количество отсчетов ПО, которое используется для вложения одного бита.
5
Подставляя (1) и (2) в (8), получаем |
|||
Λ = Λb для b = 0 и b = 1, где |
|||
N0 |
N0 |
|
|
0 (n) (n), 1 |
( |
(n) (n)) (n). |
|
n 1 |
n 1 |
|
|
Тогда |
|
|
|
N0 |
|
|
|
P(0 /1) P(0 /1, s)P(Hw ( ) s), |
|
|
|
1 |
s |
s |
|
|
|||
где P(0 /1, s) P( 1 / s) |
|
P0j (1 P0 )s j |
|
|
j s |
j |
|
Hw(π) – хэмминговский вес последовательности π(n), n=1,2…N.
P(H |
|
|
|
|
|
|
N |
0 |
|
Ps (1 P )N0 s. |
|
|
|
||
w |
( ) s) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
w |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (12) и (11) в (10) получаем |
|
|
|||||||||||||
|
|
N0 |
N |
|
|
|
|
|
(1 |
s |
s |
|
j . |
||
P(0 /1) |
|
0 |
Pws |
Pw )N0 s |
|
P0j (1 P0 )s |
|||||||||
|
|
s 1 s |
|
|
|
|
|
|
|
j s |
j |
|
|
||
Аналогично можно получить, что |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
N0 |
N |
|
|
|
|
|
|
s s |
P0 )s j . |
|
|||
P(1/ 0) |
|
|
0 |
Pws (1 |
Pw )N0 s |
|
P0j (1 |
|
|||||||
|
|
s 1 s |
|
|
|
|
|
|
|
j |
j |
|
|
||
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
6
Поскольку последовательность π(n) известна при декодировании, то можно получить P(0/1) = P(1/0), выбирая λ = S/2, что дает
N0 |
N |
|
|
s |
N |
|
|
|
|
Pe P(0 /1) P(1/ 0) |
0 |
Pws (1 Pw )N0 |
s |
|
j |
0 |
P0j (1 P0 )s j . |
(15) |
|
s 0 |
s |
|
|
j s / 2 |
|
|
|
|
|
Для упрощения (15), применим сначала границу Чернова к внутренней сумме в (15):
s |
N0 |
P j (1 P )s j 4P (1 P ) |
s / 2 , |
|||||
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
j s / 2 |
s |
|
|
|
|
|
|
|
и подставляя (16) в (15) получим
N0 |
N |
|
|
s 4P0 |
(1 P0 ) |
s / 2 |
. |
Pe |
0 |
Pws (1 Pw )N0 |
|
||||
s 0 |
s |
|
|
|
|
|
|
Наконец, используя формулу Бинома Ньютона, получим в (17)
P |
(2 |
P (1 |
P ) |
1)P 1 N0 |
, поскольку |
||||||
|
e |
|
|
0 |
0 |
|
|
w |
|
|
|
|
(a b)N0 |
N0 |
N |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
aN0 KbK |
. |
|
|||||
|
|
|
|
K 0 |
K |
|
|
|
|
|
|
(16)
(17)
(18)
7
Оптимизационная проблема при разработке СГС в каналах с шумом:
Дано D (секретность), P0 (состояние BSC), Pe (надежность декодирования). Требуется найти оптимальные параметры Pw и N, которые максимизируют число секретно вкладываемых бит m = N/N0.
P |
(2 |
P (1 P ) 1)P 1 N / m , |
|
|
|
|
|
|
||||||||
e |
|
|
|
0 |
|
0 |
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D N |
P log |
P0 |
(1 |
P )log |
1 P0 |
|
, где P P (1 P ) P (1 P ). |
(19) |
||||||||
P |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 P |
1 0 |
w |
w |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. D=0.1, P0=0.01, Pe=0.001. Тогда m=263 для N=13739100, Pw = 6.27·10-7. Если мы ограничим N≤106, тогда m=19 при Pw = 8.623·10-6.
Замечание. Если легальный и нелегальный BSC имеют разные параметры P0m,
|
|
|
P0w, соответственно, то вместо (19) получим: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
P |
(2 P |
(1 P |
) 1)P 1 N , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
e |
|
|
0m |
|
0m |
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D Nm |
P |
log |
P0w |
(1 P |
)log |
1 P0w |
|
, |
где |
P |
P |
(1 P ) P (1 P |
). |
(20) |
|||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
0w |
|
P1w |
|
0w |
|
|
|
|
1w |
0w |
w |
w |
0w |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 P1w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8
2. СГС на основе гауссовских каналов.
Погружение: |
|
|||
C |
w |
(n) C(n) ( 1)b (n), n 1,2..N, |
||
|
|
w |
|
|
где (n) i.i.d. N(0,1), w амплитуда погружения. |
||||
После прохождения Cw(n) по гауссовскому каналу, получим: |
||||
Cw (n) Cw (n) (n),n 1, 2..N, |
|
|||
|
|
|
|
|
где (n) i.i.d. N(0, 2 ). |
|
|||
Атака по обнаружению СГС: |
|
|||
|
|
|
|
|
1. Cw (n) Cw (n) C(n), (С(n) – в точности известно атакующему). |
||||
2. Тестирование двух гипотез: |
|
|||
|
|
|
2 |
), |
|
H0 : Cw (n),n 1, 2..N,i.i.d., N(0, |
|||
|
|
|
2 |
2 |
|
H1 : Cw (n), n 1, 2..N,i.i.d., N(0, |
w ). |
||
(21)
(22)
(23)
Очевидный метод тестирования известен из математической статистики, но удобнее воспользоваться “техникой” относительной энтропии для двух гауссовских распределений.
9
|
|
|
PH0 |
(x) |
|
|
D D |
PH0 || PH1 N PH0 (x)log |
|
|
dx, |
||
PH1 |
(x) |
|||||
|
|
|
|
|||
где |
PH |
(x) N(0, 2 ), PH (x) N (0, 2 w2 ). |
||||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
После вычисления интеграла (24) и простых преобразований получаем
D 0,72N |
|
1 |
) (1 |
w ) |
1 |
|
, |
ln(1 |
|
|
|||||
|
|
|
w |
|
|
|
|
где w 2 |
/ w2 |
(отношение сигнал/шум (SNR)). |
|||||
Для больших SNR, обеспечивающих секретность СГС, получаем из (25)
D 0,36 N2 .
w
Выразим из (26) w , как функцию N и D:
w 0.6 N / D.
(24)
(25)
(26)
(27)
10