Добавил:

degenetard Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Численные методы

Файл:

Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.01.2022

Размер:

1.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

L (x)							x x					1		y								x x								0			y							0.52 0.55											3.325														0.52 0.5													3.1385 3.2504
												1																		0
																		0																	1
	1					x			x									0				x				x									1					0.5 0.55																									0.55 0.5
						x		0	x				1									x		1		x					0									0.5 0.55																									0.55 0.5
								0					1											1							0
L (x)							(x x )(x x																		)			y									(x x							)(x x								)				y								(x x									)(x x								)	y
L (x)														1									2					y															0								2					y																0								1		y
														1									2																				0								2																					0								1
	2					(x				x					)(x						x						)					0			(x					x				)(x					x					)				1				(x						x					)(x						x			)	2
						(x			0	x				1	)(x					0	x				2		)								(x				1	x			0	)(x				1	x			2		)								(x				2		x				0	)(x				2		x			)
									0					1						0					2														1				0					1				2														2						0					2				1
	(0.52 0.55)(0.52 0.45)																													3.325												(0.52 0.5)(0.52 0.45)																												3.1385
			(0.5		0.55)(0.5														0.45)											3.325												(0.55 0.5)(0.55																					0.45)							3.1385
			(0.5		0.55)(0.5														0.45)																							(0.55 0.5)(0.55																					0.45)
	(0.52 0.5)(0.52 0.55)																											3.489 3.2531
	(0.45 0.5)(0.45																		0.55)									3.489 3.2531
	(0.45 0.5)(0.45																		0.55)
		(x)						(x x								)(x x								2		)(x x								3	)					y							(x x						0		)(x x							2		)(x x									3	)				y
L														1										2										3																			0									2											3
L	3					(x				x					)(x						x						)(x						x					)				0				(x			x					)(x						x					)(x					x						)				1
	3																																									0																																						1
									0											0					2						0					3												1				0					1						2						1						3
									0				1							0					2						0					3												1				0					1						2						1						3
	(x x						)(x x )(x x																			)			y										(x x								)(x x )(x x																	)				y
					0									1									3						y																0								1									2						y
					0									1									3																						0								1									2
(x			x			)(x					x						)(x					x						)					2				(x				x					)(x				x						)(x					x						)				3
(x		2	x	0		)(x				2	x				1		)(x				2	x					3	)									(x			3	x			0		)(x			3	x				1		)(x			3		x				2		)
		2		0						2					1						2						3													3				0					3					1					3						2
	(0.52 0.55)(0.52 0.45)(0.52 0.6)																																										3.325
			(0.5 0.55)(0.5 0.45)(0.5 0.6)																																								3.325
			(0.5 0.55)(0.5 0.45)(0.5 0.6)
	(0.52 0.5)(0.52 0.45)(0.52 0.6)																																									3.1385
	(0.55				0.5)(0.55														0.45)(0.55																		0.6)					3.1385
	(0.55				0.5)(0.55														0.45)(0.55																		0.6)
	(0.52 0.5)(0.52 0.55)(0.52 0.6)																																									3.489
	(0.45				0.5)(0.45														0.55)(0.45																		0.6)					3.489
	(0.45				0.5)(0.45														0.55)(0.45																		0.6)
	(0.52 0.5)(0.52 0.55)(0.52 0.45)																																										2.928								3.2532
			(0.6 0.5)(0.6 0.55)(0.6																															0.45)									2.928								3.2532
			(0.6 0.5)(0.6 0.55)(0.6																															0.45)

Обратите внимание, что: выражения для многочленов 1, 2 и 3 степени (в явном виде) после соответствующих преобразований следует получить самостоятельно! Если выполнить п. 2.8, то коэффициенты многочленов могут быть получены автоматически.

Занесем результаты в таблицу и вычислим оценки погрешности полученных значений для многочленов 1–й и 2–й степени:

Степень многочлена	Pk(x)	Погрешность
k
1	–3.2504	0.0027
2	–3.2531	0.0001
3	–3.2532	–

Вывод. Получены выражения для интерполяционных многочленов 1, 2 и 3-ей степени и их значения в т. b. Оценку погрешности проведѐм в соответствии с неравенством:

f (x) Ln (x)Ln 1 (x) Ln (x)

Можно утверждать, что разность между точным значением функции и значением функции в т. x=0.52 после 3=х итераций не превышает 0.0001.

2.8. Решение задачи интерполяции с использованием средств пакета Scilab.

// Линейная интерполяция. Метод Ньютона.

x=[0.10 0.15]; y=[-4.1330 -4.0845]; z=[x;y]; a=[0;0]; function [zr]=R(a,z)

zr=z(2)-a(1)-a(2)*z(1) endfunction

disp(‘Линейная интерполяция’); a=datafit(R,z,a) deff('y=i1(x)','y=-4.2300002+0.9700013*x'); i1(0.12)

//Квадратичная интерполяция

x=[0.10 0.15 0.20]; y=[-4.1330 -4.0845 -4.0240]; z=[x;y]; a=[0;0;0]; function [zr2]=R(a,z)

zr2=z(2)-a(1)-a(2)*z(1)-a(3)*z(1)^2 endfunction

disp(‘Квадратичная интерполяция’); a=datafit(R,z,a)

deff('y=i2(x)','y=-4.1940017+0.3700235*x+2.3999234*x^2'); i2(0.12)

//Кубическая интерполяция

x=[0.10 0.15 0.20 0.25]; y=[-4.1330 -4.0845 -4.02430 -3.9500]; z=[x;y]; a=[0;0;0;0];

function [zr3]=R(a,z) zr3=z(2)-a(1)-a(2)*z(1)-a(3)*z(1)^2-a(4)*z(1)^3

endfunction

disp(‘Кубическая интерполяция’); a=datafit(R,z,a)

deff('y=i3(x)','y=-4.2045114+0.5932161*x+0.8987173*x^2+3.202404*x^3'); i3(0.12)

// Интерполяция в точке

--> exec(‘int_x.sce’,0);

Линейная интерполяция a =

-4.2300002 0.9700013

ans = -4.1136

Квадратичная интерполяция a =

-4.1940017 0.3700235

2.3999234 ans =

-4.11504

Кубическая интерполяция a =

-4.2045114 0.5932161 0.8987173 3.202404

ans = -4.1148502

Вывод. Полученные выражения многочленов 1, 2 и 3-ей степени, а также их значения в заданной точке a=0.12 совпадают до 4 знака после десятичной точки с ручным расчетом.

Контрольные вопросы по теме

«Интерполяция функций»

1.Что называется задачей интерполяции и задачей аппроксимации?

2.Что называется узлами и шагом интерполяции?

3.Что такое интерполируемая функция и интерполирующая функция?

4.Существует ли связь между числом узлов интерполяции и степенью интерполяционного многочлена?

5.Можно ли, используя одни и те же узлы интерполяции, построить несколько интерполяционных полиномов?

6.Сколько интерполяционных полиномов степени n существует, если функция задана (n + 1) узлом?

7.Изменится ли точность интерполяции при увеличении или уменьшении количества узлов?

8.Как изменится формула Лагранжа при добавлении в таблицу значений функции еще одного узла?

9.Как изменится формула Ньютона при добавлении в таблицу значений функции еще одного узла?

10.Если интерполируемая функция f(x)задана в (n + 1) равноотстоящих узлах, то для ее интерполяции удобнее использовать формулу Ньютона или формулу Лагранжа?

11.Можно ли при использовании формулы Лагранжа располагать узлы интерполяции в произвольном порядке?

12.Можно ли при использовании формулы Ньютона располагать узлы интерполяции в произвольном порядке?

13.Потребуется ли полный пересчет коэффициентов формулы Лагранжа при добавлении дополнительного узла интерполяции?

14.В чем заключается универсальность формулы Лагранжа?

15.От чего зависит точность интерполяции?

16.Что такое «конечные разности»?

17.Чему равен порядок конечной разности наивысшего порядка, полученный по n исходным точкам?

18.Что происходит с формулой Ньютона при добавлении очередного узла интерполяции?

19.Чем отличаются результаты интерполяции, если при построении интерполяционных полиномов по формулам Лагранжа и Ньютона были использованы одни и те же узлы?

20.Чему равна степень интерполяционного полинома Ньютона при трех заданных точках интерполируемой функции?

Лабораторная работа по теме №3

«Численное интегрирование»

3.1.Вопросы, подлежащие изучению

1.Постановка задачи численного интегрирования.

2.Методы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

3.Оценка погрешности численного интегрирования. Правило Рунге.

4.Графическая иллюстрация методов прямоугольников, трапеций и Симпсона.

3.2.Задание

5.Выбрать индивидуальное задание из табл.3-1 для численного интегрирования:

f(x) – подынтегральную функцию;

a, b– пределы интегрирования;

методы интегрирования для выполнения п.2 – значение в столбце t и m;

начальный шаг интегрирования h0.

При этом значения в столбцах t и m означают: 1 –интегрирование методом средних прямоугольников, 2 – методом трапеций, 3 – методом Симпсона.

1.В сценарии пакета Scilab создать функцию для вычисления интеграла по 1-му заданному методу, определяя значения (столбец m) из табл. 3-1, с

шагом

h0 / 2

( Ih0

выполнить вручную так,

Ih0 / 2 ). На усмотрение студента то же самое можно как приведено в примере выполнения задания.

2.Провести оценку погрешностей полученных результатов по правилу Рунге.

3.Написать и выполнить программу вычисляется интеграла по 2-му заданному методу (столбец t из табл. 3-1) с точностью 10-4.

4.Вычислить заданный интеграл с использованием функции intg пакета

Scilab.

3.3.Варианты задания

Таблица 3-1

№	Подынтегральная	a	b	t	m	h	0
						h
	функция
	функция
1	f(x) = 8 e-x sin(-2x)	2	3	1	3	0.25
2	f(x) = e-x sin(2x)	0	2	2	1	0.5
3	f(x) = x3/2 – 2 x sin(x)	3	4	3	2	0.25
4	f(x) = e-xcos(-2x)	2	4	1	3	0.5
5	f(x) = cos(2x) + 2 sin(x)	1	3	2	1	0.5
6	f(x) = 8 sin(2x) – x	0.2	1.2	3	2	0.25
7	f(x) = 5 cos(-2x) e-x	-0.5	0.5	2	3	0.25
8	f(x) = x sin(x + 1) – cos(x – 5)	1	2	1	2	0.25

9	f(x) = 0,25 x3 + cos(x/4)	1	3	1	3	0,5
10	f(x) = sin(2x) – 2 sin(x)	3.5	5	1	3	0.5
11	f(x) = sin(ex) – e-x +1	0	1	2	1	0.25
12	f(x) = 5 x sin(x + 1) + 2 cos(x)	1	2	1	2	0.25
13	f(x) = 5 e-x + 4 x + x3/3	-1	1	1	2	0.5
14	f(x) = -2 sin(4x) ln(-x) + 5	-2.5	-1.5	1	3	0.25
15	f(x) = sin(x – 1) – x cos(x + 3)	-4	-2	3	1	0.5
16	f(x) = 4 sin (x) – x1/2	1	2	2	3	0.25
17	f(x) = 5 sin3(x) + cos3(x)	1	2	2	1	0.25
18	f(x) = cos(2x + 1) ln (2 / x) + 3	1	3	3	2	0.5
19	f(x) = 3 cos(x2) / ln(x + 5)	-1	1	1	3	0.5
20	f(x) = sin(x2) + 1 / (2 – x)	-1.5	0.5	2	1	0.5
21	f(x) = x sin(x) + cos(x) + 5	0	2	1	2	0.5
22	f(x) = – cos(x) – cos(2x) – x + 5	1	3	3	1	0.5
23	f(x) = 1 + sin(4x) / ln(x)	1.5	2.5	1	3	0.25
24	f(x) = (1 + x2)1/2 + e-x	-1	2	2	1	0.75
25	f(x) = sin(x + 1) e2 / x	1	2	3	2	0.25
26	f(x) = 2 (1 + x) e-x – 2 cos(x)	1	4	2	3	0.75
27	f(x) = – 8 sin(– x3) e-x	0.4	1.4	1	3	0.25
28	f(x) = – 10 sin(x3) cos(– x)	-1.4	-0.4	2	1	0.25
29	f(x) = x2cos(x + 3) – 4	3	4	3	1	0.25
30	f(x) = – cos(x – 5) e2x / 3	1	3	1	3	0.5

3.4.Содержание отчета

1.Индивидуальное задание.

2.Сценарий пакета Scilab для проведения расчета двумя заданными

методами интегралов с шагом погрешностей по правилу Рунге.

h0 / 2

(

Ih0

Ih0 / 2

) и

значения

3.Программа вычисления интеграла по 2-му заданному методу с точностью

10-4.

4.Результаты решения, полученные с помощью функции пакета Scilab.

3.5.Пример выполнения задания

1. Задания для численного интегрирования:

	ln(x) – подынтегральная функция;
	a=1, b=3–пределы интегрирования;

методы интегрирования– средних прямоугольников, трапеций, Симпсона;

начальный шаг интегрирования h0=1.

2.Вычисление интегралов с шагом h0 и h0 / 2 ( Ih0 и Ih0 / 2 ) и оценка его погрешности по правилу Рунге

Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путѐм двойного просчѐта интеграла с шагами h/2 и h,при этом погрешность вычисляется

по формуле R	I	I	.
по формуле R	h / 2	h	.
	h / 2	h
	2	1
	P

Полагают, что интеграл вычислен с точностью

I Ih / 2 R , где

I – уточненное значение интеграла,

Вычислим интеграл по формуле

Е, если

R E;

тогда

p – порядок метода.

средних прямоугольников и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчѐта:

		n 1					h
I h f(a							h	i h).
I h f(a							2	i h).
		i 0					2
		i 0
I	1 (ln1.5 ln2.5) 1.321756,
h
I			0.5(ln1.25 ln1.75 ln2.25 ln2.75) 1.302645,
h / 2
R			I		I	0.00637,
			h / 2		h
				3
				3
I I				R 1.302645 0.00637,
		h / 2
I 1.2963.

трапеций и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчета:

f(x)dx b a (y

n 1

где y

f(x

i 1

0.5(ln1 2ln2 ln3) 1.24245,

0.25(ln1 2(ln1.5 ln2 ln2.5) ln3) 1.28211,

h / 2

0.01322,

h / 2

I 1.2953.

Симпсона и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчета:

	h						m	m
I	h		(y0			y2m 4 y2i 1		2 y2i 2 ),	где yi f(xi ).
I			(y0			y2m 4 y2i 1		2 y2i 2 ),	где yi f(xi ).
	3						i 1	i 2
							i 1	i 2
I			1	(ln1 4ln2 ln3)				1.29040,
I				(ln1 4ln2 ln3)				1.29040,
h		3
		3
I				1	(ln1 4(ln1.5 ln2.5) 2ln2 ln3) 1.29532,
I					(ln1 4(ln1.5 ln2.5) 2ln2 ln3) 1.29532,
h / 2				6
				6
R			I			I	0.000328,
			h / 2			h
				15
				15
I 1.2956.

3.6. Вычисление определенных интегралов в Scilab

--> deff('y=f(x)','y=log(x)'); --> a=1;b=3;

--> [s,ir]=intg(a,b,f) ir =

1.439D-14 s =

1.2958369

Контрольные вопросы по теме «Численное интегрирование»

1. Что такое шаг интегрирования?

2. Каким образом связана задача численного интегрирования и интерполяция?

3.Какое влияние оказывает уменьшение числа разбиений на отрезке [a;b] на погрешность интегрирования?

4.Каким образом вычисляется определенный интеграл в случае, если подынтегральная функция задана таблицей с переменным шагом?

5.Какой из изученных вами методов численного интегрирования обладает высшей степенью точности?

6.Зависит ли точность численного интегрирования от величины шага интегрирования?

7.Для чего предназначен метод двойного просчета?

8.Что представляет собой формула для вычисления элементарного интеграла по формуле трапеций?

9.Что представляет собой формула для вычисления элементарного

интеграла по формуле Симпсона?

10.Интерполяционным многочленом, какой степени заменяется подынтегральная функция в методе прямоугольников?

11.Интерполяционным многочленом, какой степени заменяется подынтегральная функция в методе трапеций?

12.В каком методе для вычисления интеграла необходимо выбирать количество интервалов разбиения кратное двум?

13.Какой метод позволяет обеспечить вычисление интеграла с заданной точностью?

14.Какой метод численного интегрирования даст наиболее точный результат, если подынтегральная функция имеет вид y = 5x3?

15.В каком методе численного интегрирования подынтегральная функция заменяется квадратичным полиномом?

16.Какой метод численного интегрирования даст точный результат, если подынтегральная функция имеет вид f(x) = x2?

17.Какой метод интегрирования наилучшим образом подходит для вычисления интеграла линейной функции?

18.Обеспечивают ли методы трапеций и метод средних прямоугольников точность одного порядка?

19.Какой из известных вам методов интегрирования обладает наименьшей точностью?

20.Сколько шагов интегрирования содержит элементарный отрезок интегрирования в методе Симпсона?

Лабораторная работа по теме №4

«Методы решения

обыкновенных дифференциальных уравнений»

4.1.Вопросы, подлежащие изучению

1.Постановка задачи численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши.

2.Методы Рунге-Кутты различных порядков, общие свойства.

3.Погрешности методов.

4.Выбор шага интегрирования.

5.Графическая иллюстрация методов Рунге-Кутты.

4.2.Задание

1.Выбрать индивидуальное задание в табл. 4-1 для решения обыкновенных дифференциальных уравнений:

дифференциальное уравнение

y '

f(x,y)

;

интервал [a;b] , где ищется решение дифференциального уравнения;

начальные условия x0, y0;

шаг интегрирования h0.

2.Найти аналитическое решение

уравнения, полагая его точным.

y y(x)

заданного дифференциального

3.Создать в сценарии функцию для вычисления значений полученного решения y(x) на отрезке [a;b] с шагомh0.

4.Создать в сценарии функцию для вычисления значений численное

решение дифференциального уравнения методом Эйлера

точках отрезка [a;b] с шагом h0	Ei	\| y(xi ) y		(xi ) \| для
5. Вычислить значения погрешностей	Ei	\| y(xi ) y	Э	(xi ) \| для
i 0,1...,n ,.

x	i

y	Э	(x)

x	0
	0

ih ,

6.Написать и выполнить программу, реализующую программу решения

дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта 4-го порядка

yрк(х) в точках отрезка [a;b] с шагом h0, обеспечив с использованием метода автоматического выбора шага, точность 10-4.

7. Вычислить значения погрешностей	E	2	y(x ) y p k для x		x	0	ih ,
		2	i	i		0

0,1...,n

8.Найти решение дифференциального уравнения ys(x) использованием функции пакета Scilab ode.

9. Проиллюстрировать решения y(x),	yЭ(x),	ypk (x) в одной системе
координат.

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Численные методы

#
28.01.20223.75 Mб68Алгоритмы пособие.pdf
#
28.01.20222.37 Mб127Пособие.pdf
#
28.01.20221.52 Mб57Практикум.pdf