Лекція 5

Мультиколінеарність

Визначається як лінійний взаємозв’язок 2ох або декількох пояснювальних змінних: (вони мають високий ступінь кореляції, тобто →1 для і = j), розрізняють так звану недосконалу колінеарність, що реально має місце. При наявності функціональної залежності між змінними є досконала мультиколінеарність (теоретично ᴲ, рідкісний випадок).

Практичні наслідки мультиколінеарності:

1. Великі дисперсії (стандартні похибки) оцінок за МНК. Цим самим утруднюється знаходження істинних значень, розширюються інтервальні оцінки, падає їх точність.

2. Зменшуються t-статистики коефіцієнтів, що може привести до хибного висновку про істотність впливу відповідної пояснювальної змінної на залежну.

3. Оцінки коефіцієнтів по МНК та їх стандартні похибки стають дуже чутливими до малих змін даних (нестійкі)

Наявність мультиколінеарності

Єдиного методу або надійних методів тестування колінеарності ᴲ

Найповніше дослідження здійснюється алгоритмом Фаррара-Глобера.

Він містить 3 види статистичних критеріїв, на підставі яких перевіряється мультиколінеарність:

• Усього масиву незалежних змінних ( -критерій);

• Кожної незалежної змінної з усіма іншими (F-критерій);

• Кожної пари незалежних змінних (t-критерій)

Кроки алгоритму Фаррара-Глобера

Нормалізувати змінні , ,…, економетричної моделі, для чого обчислити

= ,

де n – число спостережень (і=1,2,… n); m – число незалежних змінних (j= )

Інші ознаки мультиколінеарності:

1. Найкращою ознакою є високе значення коефіцієнта детермінації при незначимості параметрів за t-тестом.

2. У моделі з 2ма змінними найкращою ознакою є значення простого коефіцієнта кореляції.

3. У моделі з більш як двома змінними простий коефіцієнт кореляції може бути низький при наявності мультиколінеарності, до уваги беруться часткові коефіцієнти кореляції.

4. Якщо коефіцієнти детермінації великий, а часткові коефіцієнти кореляції низькі, то мультиколінеарність можлива.(є надлишкові змінні)

При високих коефіцієнтах детермінації і часткових коефіцієнтах кореляції не завжди можна виявити мультиколінеарність.

Гетероскедастичність

Одна з ключових умов МНК – гомоскедастичність: Д( )=Д( )= =Const

Ʉ i, j – дисперсія кожної випадкової величини стала.

Графічно для простої лінійної регресії

• Постійність дисперсій відхилень порушується – гетероскедастичність: Д( )=var( )= =Const

• Графічно 3 різні види явища гетероскедастичності:

Наслідки гетероскедастичності

Раніше говорилось про BLUE оцінки МНК при виконанні умов теорії Гаусса-Маркова.

1. Оцінки коефіцієнтів незміщені і лінійні, але

2. Оцінки неефективні. Збільшення дисперсії оцінок знижується ймовірність отримання максимально точних оцінок.

3. Дисперсії оцінок будуть розраховуватися зі зміщенням. (Непояснювана рівнянням регресії дисперсія = , m є число пояснювальних змінних, сама є зсунутою)

4. Висновки на підставі t- та F- статистик будуть ненадійні, інтервальні оцінки також. (Можуть визнаватися статистично значущими коефіцієнти, котрі не є такими)

Зауваження. Пояснення неефективності оцінок МНК при гетероскедастичності.

=

Параметричний тест Гольдфельда-Квандта

Для невеликої сукупності спостережень в припущенні, що дисперсія залишків ↑ пропорційно до квадрата однієї з незалежних змінних моделі, тобто М( )= * . (Похибки регресії вважаються нормальнорозподіленими)

Крок1.

Спостереження ( вихідні дано впорядкувати відповідно до величин елементів вектора , який може викликати зміну дисперсії залишків.

Крок2.

Відкинути числом С спостереження, які знаходяться всередині векторів вихідних даних, де С= , n – кількість елементів вектора .

Крок3.

Побудувати 2 економетричні моделі за допомогою 1 МНК (для двох утворених сукупностей спостережень обсягом кожна за умови ˃=m (m– кількість змінних), причому одна підвибірка включає малі значення Х, друга – великі).

Крок 4.

Обчислити суму квадратів залишків: = для підвибірки з малими значеннями ; = – відповідно для другої підвибірки.

Крок 5.

5.1. Розрахувати величину R=S2/S1, яка при виконанні гіпотези, про гомоскедастичність відповідатиме F-розподілу зі ступенями вільності

5.2. Значення критерію R порівнюється з табличним значенням F-критерію при α і величинах : якщо , то гетероскедастичність відсутня.

Зауваження. Чим більша R, тим більша гетероскедастичність.

Метод Ейткена (узагальнений МНК)

де матриця S має вигляд

(коваріація відсутня)

залежить від гіпотези що дисперсії залишків.

Тоді оператор оцінювання записується

Матриця коваріацій

;

Алгоритм Ейткена для оцінювання параметрів економетричної моделі з автокореляційними залишками шукається:

1. Оцінка параметрів моделі за 1 МНК. Використовують 1 МНК.

2. Досліджуються залишків на предмет автокореляції (застосовуються критерії DW).

3. Формується матриця коваріації залишків V або S.

симетр.

Кожен її елемент виражає коеф. автокореляції відповідного порядку для залишків 2t.

Автокореляція

Вона наявна, коли ВВ залежні собою, тобто M( для і.

Послідовн. кореляція визначається кореляція між спостережуваними показниками, упорядкованими в або просторі.

В економ. задачах має місце додатна автокореляція частіше, ніж від’ємна.

Автокореляцією називають залежність між значеннями однієї вибірки із запізненням в один …: для є залежність.

У випадку ƎL залежності між значенням різницю вибірок.

має місце серійна кореляція.

Основні причини явища автокореляції: інерційність та циклічність економ. процесів; похибки специфікації; ефект павутини (реакція економ. чинників на зміну економ. умов відбувається із запізненням); вирівнювання даних.

Автокореляція залишків: їх дисперсія стала, але спостерігається їх коваріація.

Наслідки автокореляції (в разі застосування 1 МНК класичного):

1. Оцінки параметрів лінійні, незміщені, але неефективні.

2. Дисперсії оцінок зміщені (часто занижені, ростуть t-статистики).

3. Оцінка дисперсії регресії зміщена, занижена.

4. Гіршають прогнозні якості моделі (висновки по t-i F-статистиках невірні).

Тест Дарбіна-Уотсона

Найбільш відомий, поширений для перевірки моделі на наявність кореляції між залишками.

Для малих вибірок

Етапи:

1. Розраховується значення d-статистики за формулою:

; відомо, що .

2. Вказується α; підраховується кількість факторів (k) з досліджуваній моделі. Нехай k=p за табл. Дарбіна-Уотсона при α; p; і кількості спостережень n (або T) знаходимо два значення dL і dU.

3. Якщо розраховане значення d-статистики знаходиться в проміжку від 0 до dL (0 < d < dL), то це свідчить про наявність позитивної автокореляції.

Для обчислення ƍ використати циклічний коеф. кореляції, а саме ƍ = r; але r коригується на величину зміщення, тобто

Ut – величина залишків у період t;

m – число незалежн. змінних.

4. …

5. Оцінка параметрів за формулою здійснюється , Х матриця незалежних змін. (пояснювальних).

Якщо dL ≤ d ≤ dU, тобто значення d потрапляє в зону невизначеності або 4-dU ≤ d ≤ 4-dL, то не можемо зробити висновок ні про наявність ні про відсутність автокореляції.

Якщо 4-dL < d < 4, то негативна автокореляція.

Якщо dU < d < 4-dU, то нема автокореляції.

Обмеження у застосуванні критерію Дарбіна-Уотсона

1. Застосований до моделей, що мають вільний член b0

2. Випадкові відхилення визначаються ітеративно: (так звана авторегресійна схема 1-го порядку AR(1)).

3. Статистичні дані однакової періодичності (без пропусків в спостереженнях).

4. Критерій не застосований до авторегресійних моделей виду