Лекція 2

Лекція №2

Економетрика

Перша частина нашого курсу.

Будуть розглядатися економетричні моделі, які формально записуються: Y = f(X, u), де величина Х э вхідні показники (чинники економіки), найчастіше детерміновані; u – стохастичний компонент; символ f(∙) – оператор (лінійний або нелінійний) пов’язує Y і Х.

Економетрична модель належить до класу функціональних, вона описує кореляційно-регресійний зв’язок між чинниками економіки, її факторами.

Дещо про роль економетричних досліджень.

В. Л. Макаров, головний редактор журналу «Экономико-математические методы», сказав: «Сучасна університетська економічна освіта тримається на трьох китах: макроекономіці, мікроекономіці та економетриці».

Присудження Нобелівської премії по економіці за роботи з економетрики, наприклад Л.Клейн 1980р., Т.Хаавельмо (1989), Дж. Хекман і Д. Макфадден (2000).

Мова економіки стає все більше математичною.

1. Сутність регресії

Термін «регресія» – рух назад; Гілтон, кінець XIX ст.

Кожному конкретному значенню пояснювальної змінної відповідає деякий ймовірний розподіл залежної змінної.

Залежність типу:

М (Y│х) = f(х),

де х – пояснювальна змінна (х є Х);

Y – залежна, називається функцією регресії Y на Х.

Отже, під регресією розуміють функціональну залежність між пояснювальними змінними і умовними і умовним математичним сподіванням М (середнім значенням) залежної змінної, яка будується для прогнозу цього середнього при фіксованих значеннях пояснювального.

2. Теоретична і емпірична лінійна регресійна модель

Аналіз лінійних залежностей є базовим для економіки, теоретичної і прикладної.

Теоретичне рівняння записується:

уᵢ=М (Y│Х=хᵢ)+ εᵢ=β₀+β₁хᵢ+ εᵢ,

де β₀, β₁ –коефіцієнти регресії (теоретичні);

εᵢ – випадкове відхилення.

Емпіричне рівняння регресії має вигляд:

ŷᵢ=b₀+b₁xᵢ+еᵢ,

де величини b₀, b₁ є оцінки для теоретичних коефіцієнтів β₀, β₁,

називаються емпіричними коефіцієнтами регресії; еᵢ –залишок,

(похибка вимірювання).

3. Вибір лінійної регресійної моделі

Точки утворюють статистичну сукупність.

Гіпотеза щодо існуючої залежності між даними спостережень

називається моделлю регресії.

Як вибрати пряму лінію регресії, тобто розрахувати числові

коефіцієнти b₀ та b₁?

Відхилення (похибка) записується:

еᵢ=уᵢ- ŷᵢ=уᵢ- b₀-b₁хᵢ (і=1,2…n),

де ŷі належить регресійній прямій для хі.

Критерій МНК: шукаються такі значення коефіцієнтів b₀ та b₁, щоб

сума квадратів квадратів залишків регресії була найменшою,

тобто

→ min або f(b₀, b₁) → min.

Оскільки функція f(∙) двох змінних неперервна, випукла і обмежена

знизу, то існує min.

На підставі теореми про необхідну умову існування екстремуму

функції 2-ох змінних маємо:

Після перетворень отримується нормальна СЛАР 2-го порядку з невідомими змінними b₀ та b₁.

Розв’язок СЛАР має вигляд:

b₁= <=>b₁=

де риски зверху означають середнє значення.

З першого рівняння СЛАР випливає:

Зауваження!

Інший запис b₁:

b₁=

Властивості простої вибіркової лінійної регресії

1. Регресійна пряма проходить через середню точку ( ) (Сума помилок = 0).

2. Залишки мають нульову коваріацію зі спостережуваними значеннями х та оціненними .

Дійсно,

(Сума помилок = 0)

3. Сума квадратів залишків є функцією від кута нахилу.

4. Випадкові відхилення не корельовані зі спостережуваними значеннями залежної змінної.

5. Оцінки МНК є функції від вибірки, також вони є точковими теоретичних коеф. регресії.

Зауваження!

Окрім рівняння регресії Y та X ( ), для тих же емпіричних даних записується рівняння регресії X та Y ( ), коефіцієнти якого обчислюють за формулами:

Коефіцієнт кореляції

Він дає кількісну оцінку цільності зв’язку між залежною y і незалежною x величинами.

або

Безрозмірна величина

Додатнє значення Rxy: геом. свідчить про прямий зв’язок між показниками: якщо , то скоріше всього також і навпаки.

Додатній статистичний взаємозв’язок

Від’ємне значення коеф. кореляції свідчить про зворотній зв’язок і так званий від’ємний статистичний зв’язок: якщо , то скоріше всього і навпаки, тобто і .

Графічно зображується:

Для щільність зв’язку велика.

Для залежність функціональна.

Нульова кореляція

свідчить про відсутність зв’язку лінійного, але не виключається існування нелінійної кореляційного залежності.

Для R = 0 статистична незалежність між змінними.

Коефіцієнт детермінації свідчить чи дійсно існує лінійна залежність або наскільки побудована регресійна модель відповідає реальній дійсності. Його числове значення служить критерієм оцінки якості лінійної моделі.

Зауваження!

Штучним чином розглянемо:

– загальне відхилення.

– відхилення пояснюване регресійною прямою.

– не пояснювана різниця, бо величини не змінюються.

Таким чином, загальне відхилення є сума пояснюваного відхилення та непояснюваного .

Не варто абсолютизувати велике значення коефіцієнта детермінації.

Очевидно, що:

звідки

Величина Н загальним відхиленням; Н відхиленням, що пояснюється регресійною прямою; різниця відхилення, що не пояснюється регресійною прямою. Отже, загальне відхилення є сума пояснюваного відхилення та непояснюваного .

Має місце:

На підставі означення дисперсії

Або коефіцієнт детермінації

Зв’язок між коефіцієнтом кореляції (r) та нахилом регресійної прямої ( ).

дається формулою оскільки

Знак коефіцієнта кореляції завжди збігається зі знаком .

Зауваження!

Коеф. детермінації характеризує долю дисперсії результатив. ознаки у загал. дисперсії.

Не варто абсолютувати велике значення . Величина коеф. детермінації служить критерієм оцінки якості лінійної моделі.

Зв’язок між коефіцієнтами кореляції і детермінації

на підставі їх означення

Дійсно

Але

У випадку парної лінійної регресії коеф. детермінації співпадає з квадратом коеф. кореляції.