Добавил:

yuliia10293 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный экономический университет им. В. Гетьмана

Предмет:

Моделирование

Файл:

Econometrics

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.01.2022

Размер:

4.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 554 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ням доходів зростають витрати на споживання, тобто модель має вигляд (2.10).

Подамо кожну пару спостережень у системі координат, де розмір витрат на споживання відкладається на осі ординат, а доходів — на осі абсцис. У результаті дістанемо кореляційне поле точок (рис.2.2).

Y	I
	I
	II
	III
0	X
Рис. 2.2. Кореляційне поле точок

На підставі гіпотези про лінійність зв’язку між витратами на споживання і доходом сімей (див.рис.2.2) через кореляційне поле точок можна провести безліч прямих, які різняться оцінками параметрів a€0 і a€1 . Так, якщо витрати на споживання описують-

ся прямою I, то відхилення їх фактичних значень від розрахункових матимуть переважно знак «мінус». Якщо вони описуються прямою III, то ці відхилення будуть переважно додатними, а якщо прямою II, то кількість від’ємних і додатних відхилень буде приблизно однаковою. Наявність серед відхилень переважно від’ємних чи додатних значень підтверджує, що вони мають невипадковий характер. А це означає: певна пряма неадекватно описує фактичну залежність між витратами на споживання і доходом сімей. Звідси постає задача — застосувати метод найменших квадратів для оцінювання параметрів моделі, щоб відхилення фактичних витрат від розрахункових, що лежать на прямій, мали приблизно однакову суму від’ємних і додатних значень, а також були б найменшими. Останнє свідчитиме про те, що розрахункові значення витрат на споживання максимально наближені до фактичних, а це дуже важливо, щоб дістати достовірну модель.

Недоцільно знаходити параметри економетричної моделі, мінімізуючи суму лінійних відхилень фактичних витрат на споживання від розрахункових, бо вона може дорівнювати нулю, якщо

сума від’ємних і додатних відхилень буде однаковою. Тому мінімізації підлягає сума квадратів відхилень, і величина її залежатиме безпосередньо від розсіювання точок навколо лінії регресії, асаме:

min n ui2 a€0 , a€1 .

i 1

Принцип найменших квадратів відхилень полягає в знахо-

дженні таких a€

і a€

, для яких

найменша. Необхідною умо-

i 1

вою для цього є рівність нулю частинних похідних цієї функції за

кожним із параметрів a€0

і a€1 . Метод, який реалізує цей принцип,

називається методом найменших квадратів (1МНК). Зауважи-

мо, що 1МНК доцільно застосовувати тоді, коли залишки розпо-

ділені нормально, тобто середнє їх значення дорівнює нулю і дис-

персія стала. Оскільки

( y

y€ )2

( y

a€

a€ x

)2 ,

min u2

i 1

1 i

( u2 )

a€0 a€1xi ) 0;

i 1

( yi

то

i 1

( u2 )

i 1

a€

a€ x

2 x

( y

) 0.

i 1

1 i

Виконавши елементарні перетворення, дістанемо систему нормальних рівнянь

;

na€ a€ x

1 i 1

i 1

(2.15)

a€

a€ x

x2 x

0 i 1

1 i 1

i 1

Підставимо в систему (2.15) значення

xi ,

yi ,

xi2 ,

xi yi ,

i 1

які обчислені на основі сукупності спостережень, і розв’яжемо її

відносно невідомих оцінок параметрів a€0

і a€1 :

		n		n		n
a€		x		y		n x y
a€	i 1		i	i 1	i	i 1	i i ;
1			n		2	n
			xi			n xi2
		i 1				i 1

		n	n		n	n
a€		xi	xi yi		xi2	yi	.
a€	i 1		i 1		i 1	i 1	.
0			xi	2	n xi2
			n		n
		i 1			i 1

Оскільки оцінки найменших квадратів такі, що лінія регресії обов’язково проходить через точку середніх значень ( x, y ), то

оцінки параметрів моделі можна знайти дещо інакше. Поділивши перше рівняння системи (2.15) на n, дістанемо:

a1x .

(2.16)

€

Віднімемо (2.16) від (2.10):

y a€

(x x) .

Нехай y

y y* ,

x x x *

y y€* , тоді y€*

a€ x*

, авід-

хилення

від

1 i

такі:

фактичних

значень

розрахункових

будуть

€*

* € *

a1xi .

Сума квадратів залишків при цьому

( y*

a€ x* )2 .

u*i

i 1

1 i

Мінімізація цієї суми за невідомою оцінкою параметра a€1 дає
співвідношення
		n
a€		xi* yi*		.				(2.17)
		i 1
		n	2
1		n	2
		x*i
		i 1
					2	n	*2
						u i		n
						i 1		n
Крім того, можна помітити, що						i 1		2 x* i2 , тобто дру-
Крім того, можна помітити, що						a€2		2 x* i2 , тобто дру-
						a€2		i 1
						1
га похідна за параметром a€1 від суми квадратів відхилень додат-
на. Отже, знайдене значення a€1			відповідає мінімуму суми квад-
ратів відхилень.								використавши спів-
Оцінку параметра a0 можна обчислити,								використавши спів-
€
відношення (2.16):
a€0	y a€1x .							(2.18)

Співвідношення (2.18) можна було б дістати також, записавши друге рівняння системи (2.15) через відхилення кожної змінної від її середнього арифметичного значення, згадавши при цьому, що сума таких відхилень завжди дорівнює нулю.

Приклад 2.1. Побудувати економетричну модель залежності витрат на одиницю продукції від рівня фондомісткості продукції. Вихідні дані в грошових одиницях і відповідні розрахунки для оцінювання параметрів наведено в табл. 2.1.

Таблиця 2.1

№	yі	xі	x	2	xі yі	xі – x	yі –	(xі –	(xі – x ) ×	€	uі	2	(yі –
з/п				i			y	y )	(yі – y )				y )

1	2	3	4		5	6	7	8	9	10	11	12	13

1	50	90	8100		4500	–10,8	–4,2	116,6	45,36	48,8	1,2	1,44	17,64
								4

2	40	75	5625		3000	–25,8	–14,2	665,6	336,36	41,3	–1,3	1,69	201,6
								4					4
3	65	120	1440		7800	29,2	10,8	368,6	207,36	63,8	1,2	1,44	116,6
			0					4					4

4	55	100	1000		5500	–0,8	0,8	0,64	–0,64	53,8	1,2	1,44	0,64
			0

5	45	80	6400		3600	–20,8	–9,2	432,6	181,36	43,8	1,2	1,44	84,64
								4
6	42	78	6084		3276	–22,8	–12,2	519,6	278,16	42,8	–0,8	0,64	148,8
								4					4

7	56	110	1210		6160	9,2	1,8	84,64	16,56	58,8	–2,8	7,84	3,24
			0

8	60	115	1322		6900	14,2	5,8	201,6	82,36	61,3	–1,3	1,69	33,64
			5					4
9	64	115	1322		7350	14,2	9,8	201,6	139,16	61,3	2,7	7,29	96,04
			5					4

10	65	125	1562	8125	24,2	10,8	585,6	261,26	66,3	–1,3	1,69	116,6
			5				4					4
	54	100	104	5622			3376	1587,5			26,6	819,6
	2	8	784	1			3376	1587,5			26,6	819,6

Нехай залежність між витратами на одиницю продукції і рівнем фондомісткості подається прямою

Y=a0+a1X+u,

де Y — вектор витрат на одиницю продукції; X — вектор рівня фондомісткості; u — вектор залишків.

Розрахункові значення витрат на одиницю продукції можна знайти, скориставшись такою моделлю:

€	a€0	a€1 X .
Y

Щоб оцінити параметри моделі a€0 і a€1 методом 1МНК, запишемо систему нормальних рівнянь:

na€ a€

;

i 1

a€ x

a€

x2 x

0 i 1

1 i 1 i

i 1

Коефіцієнти для цих рівнянь системи знаходимо за табл.2.1:

10 a€0 1008 a€1 542;

1008 a€0 104 784 a€1 56221.

Розв’язком системи є параметри a€0 3,8 ; a€1 0,5 . Економетрична модель має вигляд

Y=3,8+0,5X+u.

Скориставшись альтернативним способом обчислення параметрів за допомогою відхилень середніх арифметичних (див. табл.2.1, стовпці 6—9), на підставі (2.9) і (2.10) дістанемо

	10		( yi y) (xi	x)
a€			( yi y) (xi	x)	1587,5 0,5,
		i 1
			10
1			10	2	3776
			(xi x)	2	3776
			(xi x)
			i 1

a€0 y a€1x 54,2 0,5 100,8 3,8.

Зауважимо, що оцінки параметрів моделі за методом 1МНК є досить чутливими до точності розрахунків та адекватності аналітичної форми моделі. Оскільки вільний член моделі a€0 3,8 0,

то рівень витрат на одиницю продукції не є строго пропорційним до рівня фондомісткості. Кількісна оцінка параметра a€1 0,5 по-

казує, що граничне збільшення витрат зі зростанням фондомісткості продукції на одну грошову одиницю становить 0,5гр.од. Еластичність витрат щодо фондомісткості продукції визначається коефіцієнтом еластичності

E	y	y€	:	y	0,5 :		54,2	0,5 : 0,54 0,93.
E		x	:	x	0,5 :	100,8		0,5 : 0,54 0,93.

	x
	x

Значення цього коефіцієнта потрібно тлумачити так: у разі збільшення фондомісткості продукції на 1% витрати на одиницю гранично зростуть на 0,93%.

2.5. Оцінювання параметрів моделі методом максимальної правдоподібності

Для того, щоб оцінити достовірність економетричної моделі, потрібно насамперед мати дисперсію залишків уu2 . Оцінюючи

параметри моделі методом 1МНК, висуваємо гіпотезу про те, що дисперсія залишків є незмінною для всіх спостережень. Знайдемо її значення.

Фактичні значення залежної змінної за моделлю (2.11) можна подати так:

yi=a0+a1xi+ui.

(2.19)

Запишемо цю модель для середніх значень, знайдених на підставі спостережень:

y a0 a1x u.

(2.20)

Віднімемо співвідношення (2.20) від (2.19): yi y a1(xi x) (ui u ).

Замінивши yi y yi* на xi x xi* , дістанемо:

yi* a1xi* (ui u ).

Оскільки розрахункові значення залежної змінної розраховуються так: y€i* a€1xi* , то залишки можна подати у вигляді:

ui* yi* y€i* a1xi* (ui u ) a€1xi* (a1 a€1 )xi* (ui u ).

Величина залишків ui*

в даному разі визначає відхилення роз-

рахункового значення

залежної

змінної

від

фактичного за

€*

умови, що всі змінні моделі ( yi

і xi ) взяті як відхилення від свого

середнього значення.

Сума квадратів залишків визначатиметься у вигляді

a€ )2

u*i

x*i

u )2 2 (a a€ ) x* (u u ).

i 1

i i

Знайдемо математичне сподівання для кожної складової правої частини суми квадратів залишків:

1) M

(a a€ )2

;

x*i2

i 1

2) М

u )2

(n 1)

2 ;

i 1

n i 1

u x*

3) M

€

i 1 i i

(a1

u )

u xi

a1 ) xi (ui

ui xi

i 1

x*i

i 1

ui xi

i 1

u2.

x*i2

i 1

Остаточно маємо:

(n 2)

(n 1) u

2 u

i 1

Запишемо дисперсію залишків

	n
	u2
€u2	i 1	i	,
	i 1
	n 2
	n 2

де €u2 — незміщена оцінка істинного значення u2 .

Раніше ми не робили інших припущень про розподіл залишків ui, крім того, що середнє значення його дорівнює нулю, дисперсія є сталою і коваріації також дорівнюють нулю:

M (ui)=0;

M u u

при i j,

1, n

при i j,

j 1, n .

У (2.19) параметри a

, a і 2 були невідомими, і за методом

1МНК спочатку знайдено оцінки параметрів a€0 і a€1 , а далі, маю-

чи значення залишків ui, обчислено їхню дисперсію u2 .

Якщо задати певну функцію закону розподілу залишків, то,

скориставшись методом максимальної правдоподібності, можна

одночасно знайти оцінку всіх трьох параметрів a0, a1 і u2 .

Нехай залишки розподілені за нормальним законом. Тоді фун-

кція правдоподібності подається у вигляді

F u

exp

u2 2 2

2 u

i 1

Оскільки співвідношення yi=a0+a~ 1xi~+ui задає лінійне перетво-

рення залишків ui в yi , де ui yi

a1xi , то функція правдопо-

дібності буде така:

F u

exp

~ 2

( yi a0

a1xi

2 u

i 1

~ 2

ln F u

ln 2

ln u

yi a0

a1xi

(2.21)

2 u

i 1

Дана функція (2.21) містить невідомі параметри	~	,	~	,	~ 2
	a0		a1		u .

Тильда «~» над оцінками цих параметрів відрізняє їх від оцінок

a€0 , a€1 і €u2 , знайдених методом 1МНК, а також від істинних зна-

чень параметрів a			, a	1	і 2 .
		0		1	u
~	Продиференціюємо цю функцію за невідомими параметрами
~	~	~ 2
a0	, a1 ,	u , тобто знайдемо частинні похідні і прирівняємо їх до
нуля:

ln F u

~ ~

yi a0

a1xi 0;

~ 2

i 1

ln F u

~ ~

xi yi

a1xi 0;

~ 2

i 1

ln F u

~ ~

a0 a1xi

2 u

i 1

Після елементарних перетворень система рівнянь запишеть-

ся так:

xi yi ;

i 1

xi yi ;

(2.22)

i 1

~ 2

a0 a1 xi

u .

n i 1

Порівнюючи систему (2.22) із системою (2.15),

здобутою за

методом 1МНК, бачимо, що перші два рівняння (2.22) такі самі, як рівняння системи (2.15), а третє рівняння системи (2.22) дає формулу оцінки дисперсії залишків.

~	У	~даному разі неважко переконатися,	що оцінки параметрів
a0	і	a1 за методом максимальної правдоподібності повністю збі-
гаються з оцінками 1МНК.
	Отже, якщо параметри моделі a€0 і a€1		є лінійними функціями
від залишків ui, які задовольняють багатовимірний нормальний
розподіл, то оцінки їх за методами 1МНК і максимальної прав-
		~	~
доподібності збігаються. Тому оцінки a0			і a1 також є нормально
розподіленими, і математичним сподіванням їх є параметри a0 і
a1.	Параметр, який характеризує співвідношення між невідомою

оцінкою дисперсії за методом максимальної правдоподібності та істинним значенням дисперсії, запишеться у вигляді:

					~2
						n u	.
						2
						u
Він має розподіл 2					з n–2 ступенями свободи і розподілений
	~		~					~2
незалежно від	~	і	~	. Пізніше ми звернемося до параметра				n u	,
незалежно від	a0	і	a1	. Пізніше ми звернемося до параметра					,

коли йтиметься про існування інтервалів довіри для параметрів моделі.

2.6. Стислі висновки

1.Методи управління економічними системами та процесами базуються на широкому застосуванні математичних методів і комп’ютерної техніки. Математика, проникаючи в сутність економічної науки, приносить із собою точність та універсальність розв’язків, строгість формалізації наукових концепцій.

2.Математична модель містить три групи елементів: 1)характеристику об’єкта, який потрібно визначити (невідомі

величини), — вектор Y;

2)характеристики зовнішніх умов щодо об’єкта, який моделюється, — векторX;

3)сукупність внутрішніх параметрів об’єкта — A.

Множина умов та параметрів X і A можуть розглядатися як екзогенні величини, тобто такі, що визначаються за межами моделі, а величини, що входять до вектора Y, — як ендогенні, тобто такі, що визначаються за допомогою моделі.

3.Усі математичні моделі поділяються на дві групи: структурні та функціональні. Структурні моделі відбивають внутрішню організацію об’єкта, його складові, внутрішні параметри, їх зв’язок із «входом» та «виходом» і т. ін. Функціональні моделі описують сутність об’єктів, що моделюються, через найважливіші прояви цієї сутності: діяльність, функціонування, поводження.

4.Розрізняють три види структурних моделей:

1)Yj=fj(A, X);

2)i(A, X, Y)=0;

3)імітаційні моделі.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 554 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Моделирование

#
28.01.20224.3 Mб8cgiirbis_64 (6).pdf
#
28.01.20224.3 Mб1cgiirbis_64 (7).pdf
#
28.01.20224.46 Mб21Econometrics.pdf
#
18.12.202180.65 Кб34індивідуальна робота.xlsx
#
28.01.20229.75 Mб22все пм тести решения.docx
#
18.12.20212.39 Mб5звіт лр1.docx
#
18.12.20212.8 Mб5звіт лр2.docx
#
18.12.20212.49 Mб5звіт лр3.docx