cgiirbis_64 (7)

124

125

3)Чому коефіцієнт при Х1 у моделі 1 відрізняється від коефіцієнта в моделі 2?

4)Порівняйте ці дві моделі і зробіть відповідні висновки.

6.Для змінних моделі Y a0 a1 X1 a2 X 2 задано матрицю коефіцієнтів парної кореляції

1)Знайдіть оцінки параметрів економетричної моделі:

Y a0 a1 X 2 u1 ; Y a0 a1 X3 u2 ; Y a0 a1 X1 a2 X 3 u3.

2)Порівняйте оцінки параметрів цих моделей і зробіть відповідні висновки.

7.Доведіть, що дві формули для коефіцієнта детермінації дають одне й те саме значення.

8.Застосовуючи формулу для оцінювання параметрів при нормалізованих змінних виведіть формулу, за якою обчислюють частинні коефіцієнти кореляції

де Rkj — алгебраїчні доповнення до елемента rkj матриці r.

2

9.За формулою для обчислення F-критерію: F виведіть

u2

альтернативні формули для цього критерію. З якою метою він застосовується? Як саме?

10.Дано умови:

126

Які з цих умов мають виконуватися, щоб можна було оцінити параметри згідно з 1 МНК? Що вони означають?

11.Серед наведених далі рівнянь знайдіть оператор оцінювання 1МНК. Як його можна дістати?

12.Маємо альтернативні формули для обчислення коефіцієнта детермінації:

Як у такому разі записується:

1)альтернативна система нормальних рівнянь 1МНК;

2)альтернативний оператор оцінювання 1МНК;

3)дисперсія залишків?

13.Визначіть довірчі інтервали оцінок параметрів моделі

Y€ 8,8 0,2X1 6,9 X2 ,

якщо дисперсія залишків становить 20,6, а діагональні елементи матриці помилок дорівнюють (0,06; 0,002; 0,8), а n = 10.

Що можна сказати про зміщення параметрів моделі? Як зміниться обгрунтованість оцінок параметрів, якщо n = 100?

14.Які із наведених рівностей правильні та за яких умов? Що характеризують такі рівності?

127

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 2

ПОБУДОВА МОДЕЛІ З АВТОКОРЕЛЬОВАНИМИ ЗАЛИШКАМИ

Основні теоретичні положення

В економетричних дослідженнях часто постають такі випадки, коли дисперсія залишків є сталою, але спостерігається їх коварі-

ація. Це явище називають автокореляцією залишків.

Автокореляція залишків виникає часто тоді, коли економетрична модель будується на основі часових рядів. Якщо існує кореляція між послідовними значеннями деякої незалежної змінної, то спостерігатиметься й кореляція послідовних значень залишків. Отже, у такому разі також порушується гіпоте-

за, згідно з якою M uu u2 E . Але при гетероскедастичності

змінюється дисперсія залишків за відсутності їх коваріації, а при автокореляції — існує коваріація залишків за незмінної дисперсії.

При автокореляції залишків, як і при гетероскедастичності, дисперсія залишків буде така:

M uu u2 S.

Проте матриця S має тут зовсім інший вигляд. Запишемо цю матрицю:

128

У цій матриці параметр ρ характеризує коваріацію кожного наступного значення залишків із попереднім. Наприклад, якщо для залишків записати авторегресійну модель першого порядку:

ut ut 1 t ,

то ρ характеризує силу зв’язку залишків у період t від їх рівня в період t – 1.

Якщо знехтувати наявністю автокореляції та для оцінювання параметрів моделі застосувати метод 1МНК, то можливі такі на-

слідки:

1)оцінки параметрів моделі можуть бути незміщеними, але

неефективними, тобто вибіркові дисперсії вектора оцінок € мо-

жуть бути невиправдано великими;

A

2)статистичні критерії t і F-статистики, які отримані для класичної лінійної моделі, практично не можуть бути використані для дисперсійного аналізу, оскільки їх обчислення не враховує наявності коваріації залишків;

3)неефективність оцінок параметрів економетричної моделі, як правило, призводить до неефективних прогнозів, тобто прогнозні значення матимуть велику вибіркову дисперсію.

Перевірка наявності автокореляції

Для перевірки наявності автокореляції залишків можна застосувати чотири методи.

1.Критерій Дарбіна—Уотсона.

2.Критерій фон Неймана.

3.Нециклічний коефіцієнт автокореляції.

4.Циклічний коефіцієнт автокореляції.

1.Критерій Дарбіна—Уотсона:

ut ut 1 2

DW t 2 n u2 .

t 1 t

Критерій Дарбіна—Уотсона може набувати значень на множині DW 0,4 . Якщо залишки ut є випадковими величинами,

тобто не автокорельовані, то значення DW міститься поблизу 2. У разі додатної автокореляції DW < 2, у разі від’ємної — DW > 2.

129

Значення критерію DW табульовані на інтервалі DW1 DW2 ,

де DW1 — нижня межа; DW2 — верхня межа. Фактичні значення критерію порівнюються з табличними (критичними) для числа спостережень n і числа незалежних змінних m при вибраному рі-

вні довіри α. Якщо DWфакт DW1 , залишки мають автокореляцію.

Якщо DWфакт DW2 , приймається гіпотеза про відсутність автокореляції. Якщо DW1 DW DW2 , конкретних висновків зробити

не можна, існує невизначеність. При від’ємній автокореляції залишків, розраховане значення критерію DW віднімається від верхньої межі його, тобто від 4, а потім порівнюється з критичними значеннями, як зазначалося раніше.

2.Критерій фон Неймана:

Звідси Q DW nn 1 при n ; Q DW . Фактичне значення

критерію фон Неймана порівнюється з табличним при вибраному рівні значущості α і заданому числі спостережень. Якщо

Qфакт Qтабл , то існує додатна автокореляція.

3.Нециклічний коефіцієнт автокореляції

може набувати значень в інтервалі [–1; +1]. Від’ємні значення свідчать про від’ємну автокореляцію, додатні — про додатну. Значення, що містяться в деякій критичній області поблизу нуля, свідчать про відсутність автокореляції.

130

4.Циклічний коефіцієнт автокореляції

Фактичне значення цього критерію порівнюється з табличним для вибраного рівня значущості і довжини ряду спостережень n.

Якщо rфакт0 rтабл0 , то існує автокореляція. Припускаючи, що

n

ut ut 1 0 ,

t 2

циклічний коефіцієнт автокореляції можна подати у вигляді:

Оцінювати параметри моделі з автокорельованими залишками можна на базі чотирьох методів:

1)Ейткена;

2)перетворення вихідної інформації;

3)Кочрена—Оркатта;

4)Дарбіна.

Перші два методи доцільно застосовувати тоді, коли залишки описуються авторегресійною моделлю першого порядку:

ut ut 1 t .

Ітеративні методи Кочрена—Оркатта і Дарбіна можна застосовувати для оцінювання параметрів економетричної моделі й тоді, коли залишки описуються авторегресійною моделлю вищого порядку:

ut 1ut 1 1ut 2 t ; ut 1ut 1 1ut 2 1ut 3 t .

1. Метод Ейткена

Оператор оцінювання цим методом запишеться так:

131

На практиці для обчислення ρ застосовують співвідношення:

2.Метод перетворення вихідної інформації

Цей метод передбачає виконання двох кроків: 1)перетвореннявихідноїінформаціїіззастосуваннямпараметраρ;

2)застосування методу 1 МНК для оцінювання параметрів моделі на базі перетворених даних.

Перетворення вихідної інформації виконується за допомогою матриці T1 або Т2:

132