динамика

Лекция 2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

§ 2.1. Предмет и основные понятия динамики

Динамика − раздел механики, посвящённый силам. С точки зрения классической механики силы являются причинами возникновения и изменения движения тел. А поскольку движение тел − это то, что изучает механика, то динамику можно назвать ядром классической механики.

Логическая структура динамики такова. Вводятся определения основных понятий динамики. При этом нужно помнить, что

ни одно определение динамики не связано с движением!

Затем динамические и кинематические понятия «соединяются» в законах динамики, которые являются постулатами, сформулированными Галилеем и Ньютоном. Таким образом, не определения, а именно законы динамики описывают, как влияют силы на движение тел.

Очевидно, что динамика должна начинаться с определения силы. Приведём четыре разных, которые с различной частотой мелькают в учебниках по физике.

1.Сила − это векторная физическая величина, которая характеризует неравноправное отношение между двумя телами и измеряется с помощью динамометра.

2.Сила − это векторная физическая величина, которая характеризует воздействие одного тела на другое.

3.Сила − это векторная физическая величина, которая характеризует взаимодействие двух тел.

4.Сила − это векторная физическая величина, которая характеризует взаимодействие двух и более тел.

Внимательно прочтите эти определения и выберите самое правильное с Вашей точки зрения, и только потом читайте дальше.

Начнём со второго. Это определение точно указывает, сколько тел необходимо для того, чтобы возникла одна сила. Их необходимо два. С этой точки зрения третье и четвёртое определения хуже, потому что взаимодействие − это взаимное действие, что в приложении к двум телам предполагает наличие двух сил, а взаимодействие между многими телами подразумевает много сил.

Поэтому №№ 3,4 отбрасываем. В №2 точно указано, что тела, о которых идёт речь в определении, неравноправны: одно оказывает воздействие, оно активно, другое, пассивное, испытывает на себе воздействие. На этом достоинства №2 заканчиваются. Что такое воздействие?

Если воздействие − это то, благодаря чему изменяется движение тела, то зачем законы динамики, если всё их содержание уже входит в определение? Если воздействие − это то, из-за чего возникает деформация тела, как быть с материальными точками, которые в принципе невозможно деформировать. Что, на них не действуют силы? На самом деле, правильное определение такое: воздействие − это приложение силы к телу. То есть это определение само определяется через силу и не имеет права входить в определение силы.

В физике существуют первичные физические понятия, которые невозможно раскрыть через другие физические понятия. Наоборот, все остальные определяются через них. А первичные определяются через способ измерения. Сила, как раз, является таким. Поэтому правильное определение силы − первое. Наверное, конструкция динамометров может быть (и была) разной. Современный динамометр − это градуированная пружина, шкала которой измерена не в метрах или сантиметрах, а в единицах силы. В системе СИ единицей измерения силы является ньютон [Н]. Для измерения силы, воздействующей на тело, к этому телу нужно прикрепить динамометр со стороны точки закрепления пружины и вместо того, чтобы воздействовать непосредственно на тело, приложить силу к свободному концу пружины. Вектор деформации пружины покажет силу, приложенную к телу.

На рисунке 2.1 изображена сила, с которой второе тело притягивает первое.

Рис.2.1

В механике тел принято вектор силы, воздействующей на тело, начинать с точки приложения. Все материальные точки изображаются простыми геометрическими фигурами конечных размеров. А для того, чтобы было понятно, что речь идёт о точке,

силы, действующие на неё, прикладываются к геометрическому центру фигуры. В обозначении силы должны фигурировать индексы обоих тел, её «породивших». В нашем курсе на первом месте будет стоять индекс активного тела, на втором месте − пассивного. На следующем рисунке изображена сила, с которой первое тело отталкивает второе.

Рис.2.2

Теперь самый важный вопрос: сила абсолютна или относительна? Как ни странно, на этот вопрос нам поможет ответить первый постулат Галилея, согласно которому геометрические векторы абсолютны. Деформация пружины динамометра является геометрическим вектором, поскольку соединяет нулевую отметку динамометра и свободный конец пружины, из которых обе представляют собой материальные точки. Поэтому по определению в классической механике сила абсолютна.

Уместно задать вопрос: а существуют ли в механике ещё какие-нибудь первичные понятия? Да, их два. И оба уже активно использовались в предыдущей главе. Это время и длина. Время − это то, что измеряется часами. Длина − это то, что измеряется линейкой.

Конечно, на данное тело может действовать не одно, а несколько других тел. Тогда к нему будет приложено несколько сил по числу воздействующих тел. Совокупность сил, приложенных к телу, называется динамическим состоянием тела. Очевидно, что динамическое состояние так же, как и сила, абсолютно. Из опыта известно, что одновременное воздействие нескольких сил может быть заменено воздействием одной. Равнодействующей тела называется сила, воздействие которой может эквивалентно заменить воздействие всех сил, приложенных к телу. Опытным путём установлен закон равнодействующей, который называется принципом суперпозиции сил:

N

Fравн = Fi , i=1

где N − число воздействующих тел. Это означает, что при одновременном воздействии на тело силы независимы друг от друга.

Состоянием покоя называется динамическое состояние, в котором равнодействующая тела равна 0.

Вопрос о том, как влияют силы на движение тела, решается с помощью двух постулатов, которые называются I-м и II-м законами Ньютона. Но мы начнём с третьего.

§ 2.2. Третий закон Ньютона

Среди трёх «именных» законов Ньютона первым мы рассмотрим третий. В нём постулируется, что не бывает одностороннего воздействия одного тела на другое, а всегда имеет место парное воздействие-противодействие, объединяемое словом «взаимодействие». Это значит, что как только данное тело «почувствовало» влияние другого тела, в то же мгновение то, другое, тело «чувствует» данное. В случае если тела пространственно отделены друг от друга, это вопрос спорный, но в рамках нашего курса мы, как правило, не будем подвергать этот постулат сомнению. Итак,

сила действия и сила противодействия направлены по одной прямой противоположно друг другу и равны по величине.

Рис.2.6

Третий закон Ньютона даёт возможность полностью описать динамическое состояние тела, имея информацию только о воздействии этого тела на окружение.

Это самый простой для понимания закон из трёх законов Ньютона. Поскольку он не связан с движением тел, вопрос относительности здесь не встаёт, и закон с одинаковым успехом справедлив для всех систем отсчёта.

§ 2.3. Первый закон Ньютона

На самом деле, этот закон был открыт Галилеем и может называться законом инерции Галилея. Закон инерции отвечает на

вопрос, как движется тело в состоянии покоя? Если этот вопрос кажется Вам абсурдным, то либо Вы забыли определение состояния покоя, либо вы живёте ещё представлениями времён XVI века и более ранних. Кстати, техническая и естественнонаучная «интеллигенция» того времени понимала определение силы, динамического состояния, равнодействующей и состояния покоя точно так же, как и Галилей с Ньютоном. При этом этот вопрос тоже вызывал в те годы удивление, так как совершенно естественным казалось, что в состоянии покоя тело неподвижно.

Это был постулат тех времён, который можно назвать законом неподвижности. Почему он был плох? Вовсе не потому, что не согласовывался с опытом. Скорее, наоборот. Повседневный быт и здравый смысл, казалось, подтверждали его. Главной его слабостью было соотнесение относительной скорости с абсолютной силой. Ведь по определению сила в классической механике не зависит от системы отсчёта. Следовательно, и отсутствие силы также. И если фраза: «неподвижен относительно Земли» имеет смысл, то выражение «в состоянии покоя относительно Земли»− полная бессмыслица. По закону неподвижности для того, чтобы у тела появилась скорость, необходимо наличие нескомпенсированной силы. И приверженцев этого постулата не заботило то, что выполнение этого закона в одной системе отсчёта (СО) вело к его нарушению в другой. Это можно объяснить только их уверенностью, что среди множества «неправильных» систем отсчёта существует одна правильная. Конечно, этой правильной была Земля − центр Вселенной, любимое творение Бога. За отказ от такого взгляда в своё время поплатился жизнью Джордано Бруно.

Закон инерции, сменивший закон неподвижности, в самой простой формулировке звучит так:

в состоянии покоя тело сохраняет вектор своей скорости.

Этот постулат отменяет одну избранную систему отсчёта, в которой мог выполняться закон неподвижности, в пользу множества «правильных», в которых выполняется закон инерции. Такие системы отсчёта называются инерциальными.

Квалификация данной СО на предмет её инерциальности является сложной экспериментальной задачей. Во-первых, нужно точно установить, что тело, действительно, находится в состоянии

покоя, то есть на тело не действуют никакие другие тела, или их воздействие скомпенсировано. Во-вторых, нужно точно установить, что =const. И то, и другое может быть установлено только в процессе измерений, а измерения всегда производятся с конечной точностью. Иными словами, у нас никогда нет абсолютной уверенности, что исследуемая СО инерциальна. Получается, что мы имеем постулат для инерциальных СО, но не можем уверенно сказать, что хоть где-то он выполняется. Поэтому полная формулировка закона инерции содержит определение инерциальных СО и недоказуемое утверждение (постулат) по поводу их существования. Итак, полная формулировка I-го закона Ньютона:

существуют такие системы отсчёта, относительно которых тело, находящееся в состоянии покоя, сохраняет вектор своей скорости.

Но определив одну СО как инерциальную, мы сразу же получаем множество других, так как любая СО, базис системы координат которой не меняет ориентации относительно инерциальной, движущаяся с постоянной скоростью относительно инерциальной, сама является инерциальной. Докажем это. Запишем

Здесь

• − скорость какого-то тела, находящегося в состоянии покоя, относительно инерциальной СО, =const, по I-му закону

Ньютона;

• −

0 скорость «подвижной» СО относительно инерциальной, постоянна по условию задачи;

• − скорость того же тела относительно «подвижной» СО, =const как разность двух постоянных векторов. Что и требовалось доказать.

Отсюда следует, что ускорение материальной точки во всех

Без I-го закона Ньютона мы каждый раз должны были бы «спрашивать» у тела, находится ли оно в состоянии покоя или нет. Веря в его справедливость, достаточно рассмотреть характер

движения тела относительно инерциальной СО, чтобы прояснить этот вопрос.

§2.4. Второй закон Ньютона

изакон Всемирного тяготения

Если I-й закон посвящён кинематическому проявлению состояния покоя, то II-й − кинематическому проявлению состояния непокоя. Он выполняется только в инерциальных СО. Вот его формулировка.

Ускорение тела направлено в ту же сторону, куда и равнодействующая тела, а величина ускорения прямо пропорциональна величине равнодействующей.

a ~ Fравн .

При этом нужно помнить, что ускорение будет одинаковым сразу во всех инерциальных СО.

Необходимо хорошо понимать, что новым, по сравнению с I- м законом Ньютона, здесь является не то, что у тела есть ускорение при наличии ненулевой равнодействующей. Это следует из I-го закона. Содержание II-го закона составляет то, как ускорение тела зависит от равнодействующей.

Коэффициент пропорциональности в векторном соотношении II-го закона зависит только от тела, то есть является его характеристикой, и называется обратной инертной массой тела 1 / тин . Он определяется в эксперименте с независимым и

одновременным измерением равнодействующей тела и его ускорения. Снимая много экспериментальных точек и изображая их

в осях a, Fравн , можно построить экспериментальный график зависимости a(Fравн ) (рис.2.3). И оттуда по углу наклона графика

можно найти обратную инертную массу тела. Построенный на рисунке 2.3 график и будет экспериментальным подтверждением IIго закона Ньютона.

а

Как видно из левой формулы, инертная масса характеризует способность тела сопротивляться «попыткам» изменить его скорость: чем больше инертная масса тела, тем меньшее ускорение будет испытывать тело при неизменной равнодействующей. Легко видеть, что инертная масса тела одинакова во всех инерциальных СО.

Таким образом, инертная масса является мерой инертности тела по отношению к его движению. Но у любого тела кроме инертной массы есть ещё одна масса, которая отвечает за совсем другие свойства тела. Эта масса называется гравитационной (тгр) и связана со способностью тела вступать в гравитационное взаимодействие с другими телами. Гравитационным называется взаимодействие, подчиняющееся закону Всемирного тяготения, согласно которому все тела притягиваются друг к другу, и силы этого притяжения количественно описываются соотношением:

Рис.2.4

Константа гравитационного взаимодействия G=6,67 10-11 ед. СИ. То, что инертная и гравитационная массы − это

характеристики свершено различных свойств тела, видно из рассмотрения свободного падения тела. Свободным падением

называется динамическое состояние тела, в котором равнодействующая является гравитационной силой. Запишем II-й закон для этого динамического состояния тела с гравитационной массой тгр и инертной массой тин:

Fгр = тин aсп .

Ускорение асп , испытываемое телом в состоянии свободного

падения, называется ускорением свободного падения. Равенство векторов означает равенство их модулей, следовательно

где Мгр − гравитационная масса другого тела, притягивающего наше

(рис.2.5).

Рис.2.5

Тогда

aсп = G Mгр тгр . R2 тин

И здесь ясно видно, что гравитационная и инертная массы влияют на ускорение тела противоположно: чем больше инертная масса, тем, понятно, ускорение меньше, чем больше гравитационная масса, тем ускорение больше. Логично было бы считать, что эти массы никак не связаны друг с другом, если бы не одно открытое экспериментально ещё Галилеем и только в ХХ-м веке объяснённое общей теорией относительности обстоятельство:

отношение гравитационной и инертной масс для всех тел одинаково.

Галилей установил, что ускорение свободного падения на поверхности Земли одинаково для всех тел и равно 9,8 м/с2. Из последней формулы следует, что в выражении модуля ускорения свободного падения единственной характеристикой тела выступает отношение гравитационной и инертной масс. Поэтому из одинаковости этого ускорения для всех тел вытекает одинаковость отношения. Величина и размерность отношения