УМК МЖГ стр 76-157 Модуль 4-7_МЖГ

ся им нельзя. Поэтому в практических расчетах пользуются понятием средней скорости потока.

Средняя скорость потока в данном сечении – воображаемая, фиктив-

ная скорость потока, одинаковая для всех точек данного живого сечения, с которой через живое сечение проходил бы расход, равный фактическому.

Только в точках живых сечений, отстоящих от свободной поверхно- сти примерно на 0,6 глубины и на 0,223 r0 от стенки в трубопроводе, мест- ные скорости действительно равны средней скорости. В других же точках местные скорости больше или меньше средних.

При неравномерном движении средняя скорость в различных живых сечениях по длине потока различна. При равномерном движении средняя скорость по длине потока постоянна во всех живых сечениях.

Средняя скорость обозначается буквой υ (не следует смешивать это обозначение с обозначением местной скорости).

Если обратиться к формуле (4.3) и заменить в ней местные скоро- сти и в каждой элементарной струйке средней скоростью, то получим:

Q = ∑dQ = υ∑d ω

Расход потока в данном сечении равен произведению площади жи- вого сечения потока ω на среднюю скорость в этом сечении υ.

5.УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ ЖИДКОСТИ

ВДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Как уже отмечалось, будем рассматривать только такие движения, при которых внутри жидкости не возникают пустоты, не появляются разрывы.

Выделим в области, занятой движущейся жидкостью, неподвижный бесконечно малый параллелепипед, у которого ребра dx, dy и dz парал- лельны соответственно осям координат (рис. 4.8). Через выделенный па- раллелепипед течет жидкость. Определим массу жидкости, проходящей через поверхность параллелепипеда за время dt.

Сначала проведем эти расчеты для направления, совпадающего с на- правлением оси ОХ. Масса, поступающая в выделенный параллелепипед через грань АВКЕ за время dt, равна:

r × ux × dy × dz × dt .

86

Приравнивая (4.4) к (4.5), после сокращений получим:

после преобразований получим:

Полученное уравнение выражает условие неразрывности жидкости и называется уравнением неразрывности. Для несжимаемой жидкости r = const и dr / dt = 0. Поэтому для несжимаемой жидкости уравнение не- разрывности приобретает вид:

¶ux + ∂uy + ¶uz = 0 . ¶x ¶y ¶z

6.УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ И ПОТОКА ЖИДКОСТИ ПРИ УСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ

dω2 – площади живых сечений соответственно; u2 – скорости; dQ1 и dQ2 – расходы элементарной струйки в сечениях. Очевидно, что dQ1 = dω1u1 и dQ2 = dω2u2, причем dQ1 втекает в рассматриваемый отсек, a dQ2 – вытекает.

Учитывая, что форма элементарной струйки не изменяется с течени- ем времени, поперечный приток и отток невозможен, так как скорости на боковой поверхности струйки направлены по касательным к линиям тока, из которых состоит эта боковая поверхность, получаем, что расходы dQ1 и dQ2 равны, то есть:

Это и есть уравнение неразрывности для элементарной струйки не-

сжимаемой жидкости при установившемся движении.

Если выделить в потоке два любых сечения, отстоящих на некотором расстоянии, то, просуммировав по каждому из живых сечений обе части в уравнении (4.7):

∑d w1 × u1 = ∑dw2 × u2

ω1 ω2

получим уравнение неразрывности для потока при установившемся дви-

жении:

Q1 = Q2 = Q = const.

или

Таким образом, в отмеченных условиях расход, проходящий через все живые сечения потока, неизменен, несмотря на то что в каждом сече- нии средняя скорость и площадь живого сечения могут быть различны.

Из (4.9) получим также важное соотношение:

υ1 = ω2 , υ2 ω1

то есть средние скорости обратно пропорциональны площадям живых се- чений потока, которым соответствуют эти средние скорости.

89

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что изучает кинематика?

2.Что такое жидкость?

3.В чем суть метода Лангража изучения движения жидкости?

4.В чем суть метода Эйлера изучения движения жидкости?

5.Какое различие между установившимся и неустановившимся движениями жидкости?

6.Какое различие между равномерным и неравномерным движе- ниями жидкости?

7.Дайте определение линии тока.

8.Дайте определение трубки тока и элементарной струйки.

9.Могут ли линии тока пересекаться? Обоснуйте свой ответ.

10.Что понимается под живым сечением?

11.Каковы единицы измерения расхода жидкости?

12.Дайте определение смоченного периметра.

13.Что называется гидравлическим радиусом?

14.Что показывает уравнение неразрывности?

ЛИТЕРАТУРА

1.Альтшуль А.Д., Кисилев П.Г. Гидравлика и аэродинамика. – М.: Стройиздат, 1975. – 323 с.

2.Штеренлихт Д.В. Гидравлика: Учебник для вузов. – М.: Энерго-

атомиздат, 1984. – 640 с.

3.Чугаев Р.Р. Гидравлика. – Л.: Энергия, 1982. – 600 с.

4.Ботук Б.О. Гидравлика. – М.: Высш. шк., 1962. – 450 с.

5.Медведев В.Ф. Гидравлика и гидравлические машины: Учеб. по-

собие. – Мн.: Выш. шк., 1998. – 311 с.

6.Рабинович Е.З. Гидравлика. – М.: Физматгиз, 1963. – 408 с.

90

МОДУЛЬ 5

ДИНАМИКА ЖИДКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ

Динамика жидкости – раздел гидромеханики, который изучает за- коны движения жидкостей в зависимости от приложенных к ним сил.

При заданных внешних силах задача динамики жидкости сводится к определению напряжений и кинематических параметров движения в каж- дой точке жидкости в любой момент времени, а также к определению гид- родинамических сил воздействия потока на тела.

В механике жидкости для облегчения решения некоторых задач ис- пользуется понятие об идеальной жидкости.

Под идеальной жидкостью подразумевают такую условную жид- кость, которая обладает абсолютной несжимаемостью, абсолютной под- вижностью частиц, а также отсутствием сил сцепления между ними. Вяз- кость идеальной жидкости равна нулю. Таким образом, идеальная жид- кость перемещается по трубам и каналам без сопротивлений (без потери энергии на трение). Когда реальная жидкость находится в покое, в ней не проявляются силы вязкости и она имеет свойства, близкие к свойствам идеальной жидкости. Следовательно, рассмотрение при решении гидрав- лических задач идеальной жидкости вместо реальной вполне допустимо. Такое рассмотрение позволяет применять точный математический анализ для решения технических задач в гидравлике.

Нормальные напряжения в движущейся идеальной жидкости обла- дают теми же свойствами, что и в покоящейся жидкости, то есть в данной точке их значения не зависят от направления действия. Таким образом, на- пряженное состояние движущейся невязкой жидкости может быть охарак- теризовано в каждой точке значением нормального напряжения. Посколь- ку это значение не зависит от направления действия, его, как и при равно- весии жидкости, называют давлением.

91

СХЕМА ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

1. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости при устано- вившемся движении. Выделим сечениями 1-1 и 2-2 отсек этой струйки (рис. 5.1). Высотное положение центров тяжести живых сечений относи- тельно произвольно расположенной плоскости сравнения 0-0 характеризу- ется ординатами z1 и z2. Давления в центрах сечений р1 и р2, скорости u1 и u2 соответственно.

Условимся, что на отсек действуют только силы тяжести и силы гид- ростатического давления.

За малый промежуток времени dt частицы жидкости из 1-1 перемес- тятся в 1'-1'на расстояние ds1 = u2dt, а частицы из 2-2 в 2'-2'на расстояние

ds2 = u2dt.

92

вующие по крайним живым се- чениям струйки. Направленные по нормали к боковым поверхностям

струйки давления окружающей массы невязкой жидкости работы не про- изводят.

Работа сил давления:

p1 × d w1 × u1 × dt - p2 × dw2 × u2 × dt = dQ × dt ( p1 - p2 ) .

Работа сил тяжести эквивалентна работе, совершаемой силой тяжести массы жидкости участка 1-1' при перемещении на разность высот (z1 – z 2), то есть:

DG ( z1 - z2 ) = g × rd w × ds1 × ( z1 - z2 ) =

= g × r × d w × u1 × dt × ( z1 - z2 ) = g × r × dQ × dt × ( z1 - z2 ).

Изменение кинетической энергии можно записать как:

Выражая сумму работ в правой части через работу силы давления и силы тяжести получим:

Это и есть уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости при установившемся движении.

93

2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ. ТРИ ФОРМЫ ЗАПИСИ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

Представим уравнение (5.1) в виде:

Здесь z представляет собой высоту расположения сечения элемен- тарной струйки над некоторой горизонтальной плоскостью, называемой плоскостью сравнения. Этой высоте легко придать энергетический смысл. Действительно, если принять плоскость сравнения за плоскость нулевой потенциальной энергии, то можно утверждать, что, подняв массу жидко- сти М на высоту z, ей сообщили потенциальную энергию Мgz. Отсюда сле- дует, что z = Мgz / Mg выражает потенциальную энергию, отнесенную к единице веса. z называют удельной потенциальной энергией положения.

Величине р / rg может быть также придан энергетический смысл. Рассмотрим элементарную струйку с площадью живого сечения dw, давле- нием р и скоростью и. Сила давления равна рdw. При перемещении частиц, расположенных в данном сечении, за время dt на расстояние иdt сила дав- ления произведет работу на этом пути, равную p × d w × u × dt . Отнеся эту работу к весу объема вытесненной жидкости r × g × dw × u × dt , то есть разде- лив p × d w × u × dt на r × g × dw × u × dt , получим, что работа силы давления, отнесенная к единице веса жидкости, равна р / rg, что представляет удель-

ную потенциальную энергию давления.

Частица с массой М и весом G = Мg при движении со скоростью и имеет кинетическую энергию Ми2 / 2. Если эту кинетическую энергию раз- делить на вес частицы, то получим удельную (отнесенную к единице веса)

кинетическую энергию и2 / 2g.

Следовательно, каждый член уравнения Бернулли представляет со- бой удельную потенциальную или кинетическую энергию.

Сумма всех членов уравнения Бернулли представляет собой полную (потенциальную и кинетическую) удельную энергию жидкости в сечении потока.

Выше удельная энергия относилась к единице веса жидкости. Энер- гию можно также отнести к единице массы или к единице объема.

94

Суммарная потенциальная и кинетическая энергия, отнесенная к единице массы, имеет вид:

g × z + p + u2 = const . r 2

Суммарная энергия, отнесенная к единице объема, записывается как:

Далее, говоря об удельной энергии, будем иметь в виду энергию, от- несенную к единице веса.

Удельная энергия определяется относительно произвольно выбран- ной горизонтальной плоскости сравнения.

Трактовка уравнения Бернулли для установившегося движения не- вязкой несжимаемой жидкости с энергетических позиций такова: при по- тенциальном и винтовом движении суммарная удельная энергия распреде- лена по потоку равномерно, то есть одинакова для любой пары точек об- ласти, занятой движущейся жидкостью.

Для удельной (отнесенной к единице веса) энергии в гидравлике применяется термин напор:

При этом z + р / rg называется пьезометрическим или гидростати- ческим напором; u2 / 2g – скоростным напором; Н – гидродинамическим напором.

Поскольку члены уравнения Бернулли имеют линейную размер- ность, их можно интерпретировать как высоты: z – геометрическая высота, или высота положения; р / rg – пьезометрический напор, и и2 / 2g – скоро- стной напор.

Откладывая от плоскости сравнения вертикальные отрезки z, р / rg и и2 / 2g, найдем геометрическое место концов сумм этих отрезков, которое расположится на горизонтальной плоскости, поднятой над плоскостью сравнения на высоту Н. Эта плоскость называется напорной, на рис. 5.2 ее след представлен верхней горизонтальной линией, которая называется на-

порной линией, или линией удельной энергии. Соединив концы отрезков

95