МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет
«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)
Кафедра ТОЭ
отчет
по лабораторной работе №3
по дисциплине «Теоретические основы электротехники»
Тема: исследование свободных процессов
в электрических цепях
Студент гр. 9491 |
__________________________ |
Ярошук В. А. |
Преподаватель |
|
Гарчук А. А. |
Санкт-Петербург
2021
Цель: изучение связи между видом свободного процесса в электрической цепи и расположением собственных частот (корней характеристического полинома) на комплексной плоскости; экспериментальное определение собственных частот и добротности -контура по осциллограммам.
Основные теоретические положения.
В работе предлагается исследовать свободные процессы в цепях, схемы которых представлены на рис. 3.1 и рис. 3.2. Цепи возбуждаются очень короткими импульсами тока , заряжающими емкость . В паузах между импульсами емкость разряжается, цепь находится в свободном режиме, так как в это время источник возбуждения отключен ( ).
а б
Рис. 3.1
Рис. 3.2
В линейных цепях свободный процесс описывается однородными линейными дифференциальными уравнениями и его вид определяется корнями характеристического уравнения (собственными частотами цепи ). При возбуждении цепи источником тока собственные частоты можно рассчитать как нули входной проводимости цепи :
а) для цепи первого порядка, представленной на рис. 3.1,а , откуда
; (3.1)
б) для цепи второго порядка, представленной на рис. 3.1, б , откуда
, , ; (3.2)
в) для цепи третьего порядка, представленной на рис. 3.2 откуда
, , .(3.3)
Общий вид решения для напряжения любого элемента цепи
,
где – постоянные интегрирования, – порядок цепи.У цепи первого порядка одна собственная частота (3.1), вещественная и отрицательная, свободный экспоненциальный процесс имеет вид
(3.4)
где – постоянная затухания, – постоянная времени экспоненты. Временная диаграмма свободного процесса показана на рис. 3.3, а, причем – интервал времени, соответствующий любой подкасательной к экспоненте.
В цепи второго порядка две собственные частоты (3.2) могут быть разными вещественными различными (апериодический режим; временная диаграмма суммы двух экспонент, изображенных пунктиром, показана на рис. 3.3, б), кратными вещественными (критический режим) или комплексно-сопряженными (колебательный режим). Вид критического процесса близок к диаграмме, показанной на рис. 3.3, б, причем момент достижения максимума , если . Комплексно-сопряженным частотам соответствует качественно новый характер свободного процесса – колебательный:
, (3.5)
где – постоянная затухания, – частота затухающих колебаний ( ). Временная диаграмма колебательного процесса представлена на рис. 3.3, в.
Дальнейшее увеличение порядка цепи к качественно новым явлениям не приводит. Так, согласно (3.3), в схеме, изображенной на рис.3.2, собственные частоты могут быть либо три вещественные, либо одна вещественная и две комплексно-сопряженные, например, и . Временная диаграмма свободного процесса представлена на рис. 3.3, г – это сумма экспоненты (см. пунктир) и затухающей синусоиды.В некоторых случаях собственные частоты относительно просто рассчитываются по осциллограммам. Например, согласно (3.4) по рис. 3.3, а можно рассчитать постоянную затухания
(3.6) Для случая рис. 3.3, в постоянная затухания также может быть определена на основании (3.6), но при этом обязательно выполнение условия , что вытекает из (3.5).
а б
в г
В случаях рис. 3.3, б,г найти собственные частоты можно лишь приближенно, выделив, как показано пунктиром, отдельные составляющие процесса.
Особый интерес для контуров представляет определение добротности по виду свободного процесса в них. Так для последовательного контура добротность определяется выражением
(3.7)
где – частота незатухающих колебаний в идеальном контуре ( ). Согласно (3.2) собственные частоты последовательного контура можно записать следующим образом:
, (3.8)
причем соответствует апериодический режим, – критический режим, – колебательный режим, а –незатухающий колебательный режим.
При с высокой степенью точности можно считать
(3.9)
С учетом (3.6) формула, позволяющая в этом случае определить добротность по осциллограмме рис. 3.3, в, имеет вид
(3.10)
Для повышения точности можно брать отношения напряжений за периодов колебаний:
(3.11 )
Обработка результатов эксперимента.
Исследование свободных процессов в цепи первого порядка.
Исходная цепь:
Найдём собственную частоту:
Найденная частота соответствует практической с высокой точностью.
В общем виде:
2. Исследование свободных процессов в цепи второго порядка.
Колебательный режим.
Исходная цепь:
Найдём собственные частоты:
Найдём добротность
Q > 0.5 – что соответствует колебательный режим
В общем виде:
2) Апериодеский режим:
Найдём собственные частоты:
В общем виде:
Найдём добротность
< 0.5, что соответствует апериодическому режиму.
Критический режим
Найдём собственные частоты, используя схему:
В общем виде:
3. Свободный колебательный режим:
Найдём собственные частоты:
Найдём добротность:
В общем виде:
4. Исследование свободных процессов в цепи третьего порядка.
Исходная цепь:
Найдём собственные частоты, используя схему:
В общем виде:
Вывод:
Форма реакции цепи зависит от вида собственных частот, если вещественные – апериодический режим, если комплексно-сопряженные – периодический режим, если кратные – критический апериодический режим. Результаты аналитических расчетов не совпадают с данными осциллографом, так как цепь не идельна.
Ответы на вопросы:
1. Каким аналитическим выражением описывается переходный процесс в цепи первого порядка? 𝑢(𝑡) = 𝐴∗𝑒−𝛼𝑡=𝐴∗𝑒−𝑡𝜏
2. Как по осциллограмме определить собственную частоту цепи первого порядка? Соответствует ли она теоретическому расчету по (3.1)?
Собственную частоту цепи по осциллограмме можно определить рассчитав постоянную затухания: α=1τ=(ln𝑈1𝑈2)∆𝑡⁄
Значение полученное таким образом отличается от теоретического расчёта на 6%.
3. Какими аналитическими выражениями (в общем виде) описываются графики процессов во всех исследуемых цепях второго порядка? Как определить по осциллограмме, снятой при R1 = 0,5 кОм, собственные частоты цепи второго порядка?
1) 𝑢(𝑡)=𝐴1𝑒𝑝1𝑡+𝐴2𝑒𝑝2𝑡
2) При ∆𝑡 = 𝑇=2𝜋𝜔, можно воспользоваться способом который мы использовали для цепи первого порядка.
4. Каким аналитическим выражением описывается полученный график свободного процесса в цепи третьего порядка?
𝑈(𝑡)=𝐴1𝑒𝑝1𝑡+𝐴2𝑒𝑅𝑒(𝑝2,3)𝑡cos(𝐼𝑚(𝑝2,3)𝑡+𝛽)+𝐴3𝑒𝑅𝑒(𝑝2,3)𝑡sin(𝐼𝑚(𝑝2,3)𝑡+𝛽)
5. Каковы теоретические значения собственных частот цепи третьего порядка? Соответствует ли им осциллограмма и почему?
p1=−10000; p2=−25000±𝑗∙61441
Да, соответствует, по осцилограмме видно, что это сумма экспоненты и затухающей синусоиды.
Протокол
Исходная цепь:
Исходная цепь: