Метод._MathCAD_Prime
.pdfЛабораторная работа №5. Нахождение производных и интегралов
Цель: изучить основные возможности системы Mathcad Prime для нахождения производных и интегралов.
1. |
Вычисление производных |
|
|
|
|
|
|
Упражнение 1 |
|
|
|
|
|
Найти значение первой производной функции |
f ( x) |
x4 1 |
|
в точке x 5 |
||
x3 |
||||||
|
|
|
|
|||
Порядок выполнения: |
|
|
|
|
||
1. |
Запишите заданную функцию: |
|
|
|
|
|
2. |
Присвойте значение переменной := . |
|
|
|
|
3.На вкладке Математика/Операторы выберите , появится знак производной:
где, – вставляют имя переменной; – порядок производной, если производная -го порядка – это поле не заполняется; – имя функции.
4. Для получения результата наберите знак равенства =.
Вид документа Mathcad Prime:
Эту же задачу можно решить пользуясь оператором из вкладки
Математика/Операторы .
61
Упражнение 2
Найти аналитические выражения для производных порядка n 1, 2,3 функции из упражнения 1.
Порядок выполнения:
1.Запишите заданную функцию:
2.На вкладке Математика/Операторы выберите , появится знак производной, которую заполните соответствующим образом.
3.На вкладке Математика/Символьные вычисления выберите
оператор аналитических преобразовании , затем нажмите или щелкните мышью любое другое место.
4.Для упрощения полученных выражений используйте ключевое
слово (Упрощение алгебраических выражений) из вкладки Математика/Символьные вычисления, затем нажмите
или щелкните мышью любое другое место.
Вид документа Mathcad Prime:
62
2. Вычисление интегралов
Упражнение 1
|
4 |
|
|
|
|
|
|
x 3 2x |
|
||||
Найти определённый интеграл |
|
|
dx |
|||
|
|
|||||
|
1 |
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
Порядок выполнения:
1.Запишите подынтегральную функцию:
2.На вкладке Математика/Операторы выберите , появится знак интеграла, которую заполните соответствующим образом:
где, и – вставляют нижний и верхний пределы интегрирования; – имя функции; – имя переменной. Данный оператор используется и для вычисления неопределенных интегралов, при этом поля и не заполняются.
3. Для получения результата наберите знак равенства =.
Вид документа Mathcad Prime:
Упражнение 2
Найти аналитическое решение неопределенного интеграла |
|
2 |
dx |
|
|
|
|
||
|
|
3 |
||
x |
Порядок выполнения:
1. Запишите заданную подынтегральную функцию:
63
2.На вкладке Математика/Операторы выберите , появится знак интеграла, которую заполните соответствующим образом.
3.На вкладке Математика/Символьные вычисления выберите
оператор аналитических преобразовании , затем нажмите или щелкните мышью любое другое место.
4.Для упрощения полученного выражения используйте ключевое
слово (Разложение на множители) из вкладки Математика/Символьные вычисления, затем нажмите или щелкните мышью любое другое место.
Вид документа Mathcad Prime:
Индивидуальные задания
1.Вычислите первую и вторую производную функции.
2.Вычислите значение определенного интеграла.
3.Вычислите значение неопределенного интеграла.
4.Найдите значение производной функции f (x) в точке x0 .
Таблица заданий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
№ |
Задание 1 |
|
|
|
|
Задание 2 |
|
|
Задание 3 |
|
|
Задание 4 |
|||||||
1 |
1 |
5 |
|
1,4 |
x2 5dx |
|
1 x |
2 |
|
1 |
|
x0 1, |
|
||||||
|
y ln x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
dx |
|
1 x |
||||
|
x |
|
|
|
|
0,6 2x |
x |
2 |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) x3 3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
3 |
|
ln x |
0,8 |
sin(2x 0,5)dx |
|
|
|
|
|
|
x0 3, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y (x 0,5) |
|
|
5 |
|
2 cos( x |
2 |
1) |
|
x x dx |
|
x 3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
x 1 |
|
|
|
|
f ( x) |
3 x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
y |
|
|
|
2 |
|
8) |
ln x |
1 |
sin(0, 3x 0,8)dx |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 1, |
|
|
|||||||||||||||||
(2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
0,2 0, 9 2sin(0, 4x 0, 3) |
|
|
|
|
cos x dx |
f (x) ln x x3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4 |
y sin |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1,8 |
0,8x2 1dx |
|
x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x0 3, |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
x |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
cos x dx |
f (x) x2 ln x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1,5x2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5 |
y |
x2 1 |
|
|
|
|
1,4 |
0,1x |
2 |
2dx |
|
ln x |
|
|
x |
|
|
|
|
x0 3, |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
f (x) (1 ln x)x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0,8 |
x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6 |
y ln |
2 x2 |
|
|
3 |
2x2 0, 7dx |
|
2x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
x0 3, |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1,2 1,5 |
|
|
|
0,8x 1 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
f (x) x3 |
3ln x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7 |
y |
x2 1 |
ln |
x2 |
2,1 |
2x2 1, 6dx |
|
2x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x0 3, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
1,2 |
2x |
|
|
|
0,5x2 3 |
2x 2 dx |
|
|
|
|
f ( x) ln x 2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
8 |
y |
1 x2 |
|
5 |
1,4 |
x2 0,5dx |
|
|
x |
cos x |
x0 2, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
f ( x) ln x 1 |
|||||||||||||
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
x2 2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
9 |
|
|
x3 3 |
|
|
|
1,3 |
sin(0, 5x 0, 4)dx |
2x2 |
xdx |
|
|
|
|
|
|
x0 1, |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
2x |
0,5 |
1, 2 cos(x2 |
0, 4) |
3x 2 |
|
f (x) ln 3x |
|
||||||||||||||||||||||||||
10 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
2,6 |
0, 4x 1, 7dx |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 1, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
y |
x |
|
|
|
3 |
5 |
1,5x |
|
|
|
x2 1,3 |
x2 4 dx |
|
|
|
|
|
f (x) ln10x |
||||||||||||||||||||||||
11 |
|
1 |
x |
|
|
|
|
x3 |
|
1,5 |
sin 0,3x 1, 2 dx |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 1, |
|
|
|||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
1,3 cos |
2 |
0,5x 1 |
|
|
|
x dx |
f (x) ln x e |
x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
x |
3 |
1 |
0,8 |
cos |
|
x |
2 |
1 dx |
|
|
4 |
|
1 x |
|
|
x 1, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
y ln |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
dx |
0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 sin 2x 0, 5 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) x2 |
ex |
|
|||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
0, 6x 1, 7dx |
|
|
1 |
|
|
x |
2 |
|
x0 1, |
|
|
||||||||||||||||||
|
y ln |
|
|
|
|
|
|
x |
1,2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
2,1x |
|
|
|
0, 7x2 1 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
f (x) ln(2x2 3) |
|||||||||||||||||||||
14 |
y |
(1 x2 )3 |
2 |
1,3 |
cos x2 0, 2 |
dx |
|
x 1 x dx |
x0 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x3 |
|
|
|
0,5 1, 3 sin 2x 0, 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) ln |
5 x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x |
||
15 |
y |
|
x 1 x2 |
1,2 |
sin 1,5x 0,3 dx |
|
x2 |
0,5 x dx |
x0 1, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 2,3 cos 0, 4x2 1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) lg(2x 1) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
16 |
y |
x 1 |
|
2x |
2,8 |
1, 2x 0, 7dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 1, |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x x |
1, 4x |
|
|
1,3x |
2 |
0,5 |
|
x |
3 |
f (x) ln |
2x 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя совместно функции Mathcad и операторы программирования, можно составлять довольно сложные программы. Например, можно составить программу для выполнения следующих действий.
Вызов встроенных констант и функций.
Обращение к определенным ранее переменным и функциям.
Использование логических операторов совместно с условными операторами.
Использование операторов для работы с массивами, например, оператор элемента в матрице, совместно с переменными итерации.
Определение нескольких результатов при обработке матрицы или вложенной матрицы.
ВMathcad создание программ осуществляется с помощью оператора "программа – ". Этот оператор является многошаговым контейнером для управляющих операторов Mathcad, которые осуществляют выполнение следующих функций:
назначение математических выражений локальным переменным или функциям;
проверка условий ветвления;
выполнение расчетов в цикле;
добавление точек останова;
отслеживание ошибок.
Для составления программ (подпрограмм – функций) в Mathcad Prime имеется специальная вкладка Программирование:
Алгоритмические конструкции (операторы) в среде Mathcad вводятся не традиционным набором через клавиатуру ключевых слов и т. д., а нажатием одной из соответствующих кнопок панели инструментов Математика/Программирование или с использованием сочетания клавиш, предусмотренных для этих целей (см. Табл. внизу)
66
Необходимо отметить, что использование в программах обычного оператора присваивания ( ) вызовет ошибку. Вместо него необходимо использовать оператор локального присваивания . Также в программах, в определениях условия (логическое выражение) нельзя использовать обычный знак равенства =, вместо него необходимо использовать оператор сравнения (жирный знак равенства ).
Примечание: При создании программ, оператором локального присваивания приходится пользоваться часто, при этом полезно, для ввода этого оператора пользоваться клавишей { .
Общий вид программы:
Где, Name – имя программы, Param – формальные параметры, S – оператор(ы), Res – результат.
Примечание: Формальные параметры могут отсутствовать.
Mathcad - программа возвращает результат на последнем шаге. Причем, в качестве результата может возвращаться единственный «объект». «Объект» может представлять собой: любое число, в т.ч. комплексное; текстовое сообщение, заключенное в кавычки (“”); вектор или матрица (допускается вложенность), для случая, когда результат работы не может быть представлен единственным числом, например, корни квадратного уравнения. Аналогами одномерного массива являются вектор – строка и вектор – столбец, а двумерного массива – матрица. Для функций, получающих векторный аргумент, обычно требуется вектор-столбец.
67
Лабораторная работа №6. Программирование линейного и разветвляющегося вычислительных процессов
Цель: изучить основные возможности системы Mathcad Prime для программирования линейного и разветвляющегося вычислительных процессов.
Линейным называется вычислительный процесс (алгоритм), в котором операторы (команды) выполняются последовательно, один за другим. Понятие алгоритма и правила записи алгоритма в виде блок-схемы даны в Приложении.
Упражнение Составить блок – схему и программу для вычисления значения функций:
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f ex1 |
y |
|
z3 , где, |
|
и с ее помощью вычислить конкретное |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
ex y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
y 0,51. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
значение этой функции при x 3,91; |
Порядок выполнения:
1.Составьте блок – схему.
2.Запишите формулировку задания в Текстовое поле.
3.Запишите и затем на вкладке Программирование выберите оператор создания программы
4.Наберите необходимые операторы, используя при этом оператор
локального присваивания вместо обычного .
5. Проверьте работу программы при |
и |
Блок-схема: |
|
Начало |
|
x, y |
|
f
Конец
68
Вид документа Mathcad Prime:
Пояснение к программе: Здесь, |
– имя программы; и – формальные |
|
параметры; – имя результата; |
и |
– фактические значения |
соответствующих формальных параметров. |
|
Примечание: В последней строке программы должна быть записана имя результата.
Разветвления в программе возникают при необходимости выбора одного из нескольких возможных путей в решении задачи.
Для организации разветвлений в программах на Mathcad Prime используются операторы и Первым, оператором должен быть , который является «заголовком» начала разветвляющегося процесса.
Операторы условного перехода выбираются на вкладке
Математика/Программирование и позволяют изменить порядок выполнения операторов в программе в зависимости от определенных условий. Оператор может использоваться в двух формах:
а) Полная форма ветвления:
принцип работы –
Где, – логическое выражение (условие), и – операторы языка программирования Mathcad Prime, – истина, –ложь.
69
Если условие , заданное в операторе , истинно, то выполняется оператор (простой или составной), стоящий во второй строке. В противном случае выполняется оператор , стоящий после . После выполнения одной из ветвей, работа программы продолжается с оператора, следующего за .
б) Сокращенная форма ветвления:
принцип работы –
Где, – логическое выражение (условие), – оператор (ы) языка программирования Mathcad Prime, – истина.
Если условие , заданное в операторе истинно, то выполняется оператор (простой или составной), стоящий во второй строке. В противном случае работа программы продолжается с оператора, следующего за .
Для организации более сложных разветвляющихся вычислительных процессов используют (иначе если) из вкладки
Программирование. Принцип работы:
где, и – логические выражения (условия), и – операторы языка программирования Mathcad Prime, – истина, –ложь.
Понятие взаимно – дополняемых условии:
1.Два условия называются взаимно – дополняемыми, если ложность одного из них влечет за собой истинность другого.
2.Три условия называются взаимно – дополняемыми, если ложность любых, двух из них, влечет за собой истинность третьего.
Примеры: x 5 и x<5 , x 0 и x 0 – взаимно – дополняемые условия; x 5 и x<4 , x 0 и x 0 – не взаимно – дополняемые условия;
70