Ryady_Furye

так как lim f(k)(t) = 0 при любом k (поскольку f S).

t→±∞

Теорема 5.4. Если f S, то F[f] C(∞)(IR), т. е. функция F[f](ξ) бесконечно дифференцируема. При этом

−∞

∞

Z

и(−it)f(t)e−iξt dt сходится абсолютно и равномерно по ξ IR, то инте-

−∞

грал в равенстве (5.12) можно дифференцировать по параметру ξ и

что доказывает равенство (5.11) для m = 1. Аналогично, так как интеграл

∞

Z

(−it)2f(t)e−iξt dt также сходится абсолютно и равномерно по ξ, равен-

−∞

ство (5.13) тоже можно дифференцировать по ξ, что приводит к (5.11) для m = 2. Этот процесс можно продолжать неограниченно, поскольку xmf L1(IR) по теореме 5.2 для f S.

Замечание 5.2. 1) Как видно из доказательства теоремы 5.4 , усло-

вие f S для существования производной F[f] (m0) данного порядка m0 является излишним. Ясно, что для этого достаточно абсолютной интегрируемости функций xkf(x) при k = 0, 1, ..., m0; при этом все преобразования

Фурье F (−ix)kf , очевидно, существуют. Если f(x) еще и ограничена в окрестности точки x = 0, то достаточно только абсолютной интегрируе-

50

условиях F[f] C(m0)(IR) и равенство (5.11) остается справедливым для

m= 0, 1, ..., m0.

2)Аналогично, из доказательства теоремы 5.3 видно, что если f(x) аб-

Теоремы 5.3 и 5.4 описывают связь операции дифференцирования и операции умножения функции f на функцию ix, устанавливаемую преобразованием Фурье F. Видно, что дифференцированию функции f соответствует умножение ее Фурье-образа на iξ и, обратно, умножению функции f на (−ix) соответствует дифференцирование Фурье-образа функции f.

Кроме того, вместе с замечанием 5.2 эти теоремы устанавливают связь между гладкостью f и скоростью убывания ее Фурье-образа при x → ±∞

(и наоборот). Именно, если f C(m0)(IR), f L1(IR) и lim f(k) = 0 при

x→±∞

k = 0, 1, ..., m0 −1, то F[f] = o |ξ|−m0 при ξ → ±∞, так как в соответствии с теоремой 5.3 и замечанием 5.2

F[f](ξ) = |ξ|m0 F[f] = i−m0 F f(m0) → 0

|ξ|−m0

при x → ±∞ в силу предложения 5.2 .

Аналогично, если функции xkf(x), k = 0, 1, ..., m0, абсолютно интегрируемы (это – условие на поведение f(x) при x → ±∞; если xm0 f(x) монотонна в окрестности x → ±∞, это условие означает, что f(x) убывает при x → ±∞, по крайней мере, как |x|−m0 ), то функция F[f] m0 раз непрерывно дифференцируема.

Теоремы, аналогичные теоремам 5.3 и 5.4 , справедливы и для оператора F−1, т. е для обратного преобразования Фурье. Сформулируем соответствующие результаты.

Теорема 5.5. Если f S, то

1)F−1 f(m) (x) = (−ix)mF−1[f],

2)F−1[f](x) (m) = F−1 (iξ)mf .

Доказательство этих утверждений аналогично доказательству теорем 5.3 , 5.4 .

Следствием теорем 5.3 –5.5 является следующее утверждение.

Теорема 5.6. Если f S, то F[f] S; иначе говоря, преобразование Фурье F отображает S в S. Более того, оператор F отображает S на S, т. е. g S найдется (единственный) элемент f S, такой, что

F[f] = g.

51

h i

ξn F[f] (m) = ξnF (−ix)mf = i−nF (−ix)mf (n) → 0, ξ → ±∞,

как преобразование Фурье функции g(x) = (−ix)mf (n) S. Тот факт, что g S следует из теоремы 5.2 , утверждения 3) и 5). Таким образом, доказано, что F[f] S. Точно так же на основании теоремы 5.5 доказывается, что если f S, то F−1[f] S.

Для доказательства второго утверждения теоремы достаточно g S указать нужный элемент f S. Ясно, то таким элементом будет f =

=F−1[g] S, поскольку для g S справедливо равенство F F−1[g] =

=g. Единственность элемента f для заданного g следует из аналогичного равенства F−1 F[f] = f, так как если F[f] = g, то f = F−1 F[f] =

=F−1[g].

Приведем без доказательства еще два утверждения относительно свойств оператора F.

Теорема 5.7. Преобразование Фурье F сохраняет скалярное произведение. Точнее, если f, g S, то

где (·, ·) означает скалярное произведение в L2(IR). В частности, kF[f]k = = kfk, т.е. для f S справедливо равенство

ZZ

−∞ −∞

Равенство (5.14) для оператора F в терминах функционального анализа означает, что оператор F на S является унитарным оператором.

Второе утверждение описывает взаимодействие оператора F с операцией умножения двух функций. Для его формулировки необходимо ввести новое понятие.

Определение 5.2. Для двух функций f, g, определенных и интегрируемых на IR, интеграл

∞

Z

h(x) = f(t)g(x − t) dt,

−∞

если он существует, называется сверткой функций f и g и обозначается h(x) = (f g)(x).

52

Легко показать, что свертка – симметричная операций, т. е. (f g)(x) = = (g f)(x) (докажите самостоятельно).

Если f, g S, то свертка f g существует и, более того, f g S.

Теорема 5.8.√Если f, g S, то

1) F[f g] = 2πF[f]F[g],

2) F[fg] = √1 F[f] F[g]. 2π

Таким образом, операции умножения в пространстве функций соот-

ветствует (с точностью до коэффициента √1 ) свертка их Фурье-образов

2π

и, наоборот, свертке в пространстве функций соответствует умножение их Фурье-образов.

Покажем на одном примере использование преобразования Фурье. Основную роль при этом играет теорема 5.3 , описывающая взаимодействие оператора F с дифференцированием (по-существу, аналогичная ситуация и в случае использования преобразования Лапласа).

Пример 5.4 (задача Коши для уравнения теплопроводности).

Рассмотрим следующую задачу: найти функцию u(x, t), удовлетворяющую уравнению

где ϕ(x) – заданная функция.

Уравнение в частных производных (5.15) называется уравнением теплопроводности, а задача (5.15), (5.16) – задачей Коши для него.

Приведем формульное решение этой задачи, основанное на использовании преолбразования Фурье. Будем предполагать, что функция ϕ(x) имеет преобразование F[ϕ]. Считаем также, что u(x, t) при всех t ≥ 0 име-

ет преобразование Фурье F u(x, t) (ξ, t), непрерывное по t при t ≥ 0, и

∂2u

∂x2 , для которого в

F∂2u = (iξ)2F[u]. ∂x2

При этих допущениях, если u(x, t) удовлетворяет (5.15), то

F ∂u = a2F ∂2u = −a2ξ2F[u].

∂t ∂x2

53

4.Докажите указанное свойство свертки: если f, g S, то свертка f g определена и f g S.

5.Докажите теорему 5.8 .

6.Докажите, что если |ϕ(x)| < Cea|x|, a > 0, то функция (5.18) удо-

влетворяет при t > 0 уравнению теплопроводности.

∞

Z

7. Докажите, что если ϕ S и |ϕ(t)|2 dt = 1, то справедливо нера-

В квантовой механике это неравенство приводит к так называемому соотношению неопределенностей.

55

Литература

1.Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. М.:, 1998, 787 с.

2.Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ 2. Изд-во Московского ун-та, 1987, 353 с.

56

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.1. Линейные нормированные пространства. Скалярное

произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.2. Пространство функций L2([a; b]) и L2([a; b], ρ(x)) . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Тригонометрическая система функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. РЯДЫ ФУРЬЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1. Общая теория рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 2.2. Ряд Фурье по тригонометрической системе функций . . . . . . . . . . 11 2.3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 2.4. Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме . . . . . . . . 15 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . . . .17 4. УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ . . . . . . . . . . . . 27 4.1. Уравнение Бесселя и функции Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2. Задача Штурма–Лиувилля для оператора Бесселя . . . . . . . . . . . . 32 4.3. Некоторые другие сингулярные задачи Штурма–Лиувилля . . . 37 5. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ . . . . . . . . . . 40 5.1. Интегральная формула Фурье, эвристические соображения . . . 40 5.2. Преобразование Фурье, простейшие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3. Пространство S быстро убывающих функций. Свойства

оператора F на пространстве S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

57