Частина 1

“Курс вищої математики. Частина 1.”

f (x) = f (x) − A + A ≤ f (x) − A + A або f (x) < ε + A тобто

f (x) < M , де М = ε + А Теорема доведена.

Нескінченно малі функції.

Визначення. Функція f(x) називається нескінченно малою при ха→, де а може

бути числом або одній з величин +∞ або -, якщо lim f (x) = 0 .

x→a

Нескінченно малою функція може бути тільки якщо вказати до якого числа прагне аргумент х. При різних значеннях а функція може бути нескінченне малою чи ні.

Приклад. Функція f(x)= xn є нескінченно малою при х0 →і не є нескінченно

малою при х1, оскільки lim f (x) =1.

x→1

Теорема. Для того, щоб функція f(x) при ха мала межу, рівну А, необхідно і достатньо, щоб поблизу точки х = а виконувалася умова

f(x)= A + (x),α

де (х) – нескінченно мала при х → а ((х)→0 при х а).

Властивості нескінченно малих функцій:

1)Сума фіксованого числа нескінченно малих функцій при ха →теж нескінченно мала функція при ха.

2)Твір фіксованого числа нескінченний малих функцій при ха →теж нескінченно мала функція при ха.

3)Твір нескінченний малій функції на функцію, обмежену поблизу точки х = а є нескінченно малою функцією при ха.→

4)Приватне від ділення нескінченно малої функції на функцію, межа якої не рівна нулю є величина нескінченно мала.

Використовуючи поняття нескінченно малих функцій, приведемо доказ деяких теорем про межі, приведені вище.

81

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Доведення теореми 2. Представимо f(x)= A + (x), g(x)= B + (x), де

Теорема доведена.

Нескінченно великі функції і їх зв'язок з нескінченно малими.

Визначення. Межа функції f(x) при ха→, де а- число, рівний нескінченності, якщо для будь-якого числа М>0 існує таке число >∆0, що нерівність

f(x)> M

виконується при всіх х, що задовольняють умові

0 < x - а < ∆

Записується lim f (x) = ∞ .

x→a

Власне, якщо в приведеному вище визначенні замінити умову f(x)> M на f(x) >M, то отримаємо:

lim f (x) = +∞,

x→a

а якщо замінити на f(x) <M, то:

lim f (x) = −∞.

x→a

Графічно приведені вище випадки можна проілюструвати таким чином:

82

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Визначення. Функція називається нескінченно великою при ха→, де а – чосли

або одна з величин +∞ або -∞, якщоlim f (x) = A , де А – число або одна з величин + або

x→a

-.

Зв'язок нескінченно великих і нескінченно малих функцій здійснюється відповідно до наступної теореми.

Теорема. Якщо f(x)→0 при ха (якщо х→∞ ) і не звертається в нуль, то y = f 1(x) → ∞

Порівняння нескінченне малих функцій.

Хай (х)α, (х) βі (х) γ– нескінченно малі функції при х → а. Позначатимемо ці функціїα, β і γ відповідно. Ці нескінченно малі функції можна порівнювати по швидкості їх убування, тобто по швидкості їх прагнення до нуля.

Наприклад, функція f(x)= x10 прагне до нуля швидше, ніж функція f(x)= x.

нескінченно малими. Записують α ~ .

Приклад. Порівняємо нескінченно малі при х0 →функції f(x)= x10 і f(x)= x.

тобто функція f(x)= x10 – нескінченно мала вищого порядку, ніж f(x)= x.

Визначення. Нескінченно мала функція α називається нескінченно малою

порядку до відносно нескінченно малій функціїβ, якщо межа lim α кінцева і відмінна

x→a β k

від нуля.

Проте слід зазначити, що не всі нескінченно малі функції можна порівнювати між собою. Наприклад, якщо відношення αβ не має межі, то функції незрівняні.

функція α - нескінченно мала порядка 2 щодо функції β.

83

і β незрівняні.

Властивості еквівалентних нескінченно малих.

Властивість 4 особливо важливо на практиці, оскільки воно фактично означає, що межа відношення нескінченно малих не міняється при заміні їх на еквівалентних нескінченно малі. Цей факт дає можливість при знаходженні меж замінювати нескінченно малі на еквівалентні ним функції, що може сильно спростити обчислення меж.

Приклад. Знайти межу lim tg5x x→0 sin 7x

Оскільки tg5x ~ 5x і sin7x ~ 7x при х → 0, то, замінивши функції еквівалентними нескінченно малими, отримаємо:

84

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Якщо і αβ - нескінченно малі при ха→, причому - нескінченно мала вищого порядку, ніжα, то γ = + β - нескінченно мала, еквівалентна . Це можна довести

Деякі чудові межі.

Перша чудова межа. lim P(x) , де P(x)= a0xn + a1xn-1 +.+an,

x→∞ Q(x)

Q(x)= b0xm + b1xm-1 +.+bm - многочлени.

Часто якщо безпосереднє знаходження межі який – або функції представляється складним, то можна шляхом перетворення функції звести завдання до знаходження чудових меж.

Окрім трьох, викладених вище, меж можна записати наступні корисні на практиці співвідношення:

85