Функции / Предел и непрерывность / Число е в математике

Число е в математике называют числом Эйлера, неперовым числом. Число е является иррациональным и с точностью до шестой значащей цифры оно равно е = 2,71828….

К числу е приводят решение прикладных задач в различных отраслях наук. Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов. Предположим, что первоначальный депозитный вклад в банк составил Y₀ рублей. По депозитным вкладам банк выплачивает r% годовых.

Найдем размер вклада через х лет, если процентная ставка по вкладам r остается неизменной и депозитный договор вклада каждый год возобновляется без снятия процентов начисленных по вкладу.

Через один год с учетом процентов размер вклада составит:

.

Так как сумма, начисленная по процентной ставке, не снимается через два года размер вклад с учетом процентов составит:

.

Через х лет размер вклада с учетом процентов составит:

.

Если банк начисляет проценты не один раз в год, а n раз в год (например, ежеквартально или ежемесячно) из расчета годовой процентной ставки r% годовых, то размер вклада через х лет составит:

.

Теперь предположим, что проценты по вкладу начисляются еженедельно→ежедневно→ежечасно→и т.д. При сокращении интервала времени, через которое начисляются проценты, число начислений n увеличивается (можно считать n → ∞). В этом случае размер вклада через х лет будет стремиться к величине:

.

Мы получим, что при непрерывном начислении сложных процентов размер вклада через х лет определяется экспоненциальной функцией:

.