Функции / Предел и непрерывность / Вычисление пределов №4
.docВычисление пределов.
При разложении многочлена на множители применяются формулы:
,
где
и
-
корни квадратного трехчлена.
Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
|
Решение:
а)
Имеем неопределенность
вида
.
Для ее раскрытия разложим квадратные
трехчлены на линейные множители по
формуле
Имеем:
Сократив общий
множитель
,
получим:
б)
Имеем неопределенность
вида
.
Для ее раскрытия умножим, и числитель,
и знаменатель данной дроби на выражение,
сопряженное числителю (знаменателю), а
именно:
.
Имеем:
Для упрощения числителя воспользуемся формулой:
|
,
где
,
-
Разложим первый сомножитель знаменателя по формуле:
,
где
в)
Если числитель и
знаменатель дроби представляют собой
алгебраические многочлены и имеется
неопределенность вида
,
то для ее раскрытия и числитель, и
знаменатель делят на х в старшей степени.
В данном случае старшая степень 3,
поэтому, и числитель, и знаменатель
делим на
,
имеем:
(по теореме о пределе частного, имеем)
(по теореме о пределе суммы, имеем)
г)
Имеем также неопределенность вида .
Старшая степень
х равна 5. Поэтому делим и числитель, и
знаменатель на
.
Имеем:
т.к. предел числителя равен 2, а знаменателя 0.
д)
Для вычисления данного предела, и числитель, и знаменатель дроби делим на , имеем:
е)
Имеем неопределенность
вида:
.
Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом:
или
ж)
Имеем неопределенность
вида
.
Для ее раскрытия будем использовать
первый замечательный предел:
Для этого сделаем следующие преобразования:
Пример
Найти
предел 
Решение.
Подставляем
значение:
Пришли к степенной неопределенности.
Преобразуем
исходный предел:
Таким
образом, решение сводится к пределу 
В преобразованиях была использована замена логарифма на эквивалентную бесконечно малую функцию.
Таким
образом, исходный предел равен 
Этот же предел можно было вычислить с использованием второго замечательного предела:
Таким образом, решение свелось к пределу
Далее решите самостоятельно!.