Вектора / Умнож. векторов.Шпаргалка

Произведение

Определение

Обозначение

Законы

Равенство нулю

Выражение в де­картовых коорди­натах

Скалярное

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

ав = |а| |в| соsφ = |а| пр_ав =

= |в| пр_ва

ав = а · в = (а, в)

1. ав = ва;

2. а (в + с) = ав +ас;

3. (λ а) в = λ (а в);

4. а² = а а = |а| |а| соs0 = |а|².

а в = ׀а׀ ׀в׀ соsφ = 0 < =>

соsφ = 0 => φ = π/2 => а ┴ в

i i = j j = k k =1

i j = i k = j k = 0.

Если а = (а₁, а₂, а₃)

в = (в₁, в₂, в₃), то ав = а₁·в₁ + а₂·в₂ + +а₃·в₃.

Векторное

Векторным произведением двух векторов а и в называется третий вектор с, удовлетворяющий условиям:

1. с ┴ а, с ┴ в;

2. (а, в, с) – правая тройка векторов;

3. |с| = |а х в| = |а| |в|sinφ= S параллелограмма, построен-ного на векторах а и в

а х в = [а, в]

1. а х в = - (в х а)

2. (а + в) х с = а х с + в х с –

3. (α а) х в = α (а х в)

а х в = 0,

|а х в| = |а| |в|sinφ = 0 <=> sinφ = 0,

=> а ║ в.

i x i = j x j = k x k = 0.

ахв=

Смешанное

Смешанным произведением векторов а, в, с называется скалярное произведение вектора а на векторное произведение векторов в и с.

(а, в, с) = а(вхс) = а[в,с] = авс.

1. авс = вса = сав = -вас = -сав = -асв;

2. а (в + d) с = авс +аdс;

3. а (λв)с = ав(λс) = λ (авс)

авс = 0 <=> векторы а, в, с – компланарны,

авс =

|авс| = V_пар-да, построенного на векторах а, в, с.