Вектора / 4. Векторная алгебра Векторное произведение

Векторная алгебра. Часть 4Векторное произведение векторов.

33. Векторным произведением векторов и называется вектор , который определяется следующими условиями:

1) Его модуль ( длина вектора) равен =

где - угол между векторами и .

2) Вектор перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами и

3) Вектор направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы и , кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки — система векторов в этом случае называется правой тройкой векторов.(см. рисунок).

Векторное произведение векторов и обозначается символом

; , - площадь параллелограмма, построенного на векторах и численно равна модулю векторного произведения

Правая система векторов , , . Левая система векторов , , .

34. Основные свойства векторного произведения:

Свойства.

1.

2. .

3. .

4.

5. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Достаточность:

Пусть вектора и коллинеарны. Тогда угол между ними φ= 0⁰ и, следовательно, sinφ = 0 и, в силу определения, векторное произведение равно 0.

Необходимость:

Так как и ненулевые векторы, то тогда равенство и из определения векторного произведения следует, что sinφ = 0, т.е. вектора и коллинеарны.

35. Выражение векторного произведения через проекции векторов (а_x; а_y; а_z) и (b_x; b_y; b_z) на координатные оси прямоугольной системы координат задается формулой

Векторное произведение можно записать с помощью определителя

Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах, надо вычислить векторное произведение и найти модуль векторного произведения. В этом заключается геометрический смысл векторного произведения.

36. Проекции векторного произведения на оси прямоугольной системы координат вычисляются по формулам

Длина вектора (модуль векторного произведения):

37. Механический смысл векторного произведения состоит в следующем: если вектор - сила, а вектор есть радиус-вектор точки приложения силы, имеющий свое начало в точке O, то момент силы относительно точки O есть вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы на силу , т. е.

Задача 1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

.

Решение. По определению векторного произведения двух векторов модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Поэтому для решения задачи найдем сначала векторное произведение по формуле

имеем:

Определитель студенту вычислить самостоятельно.

Вычислим теперь модуль векторного произведения по формуле длины вектора.

Модуль (длина) этого вектора

Искомая площадь параллелограмма S= 19,26 кв. ед.