Авдеев Е.Ф., Смирнова В.О. Конспект лекций по курсу Механика жидкости и газа

6.2. Тепловая формула интеграла Бернулли. Изоэнтропические формулы

При баротропности стационарного движения, когда линии тока и траектории совпадают, из (6.4) получим связь энтальпии и функции давления:

(6.5)

которая даѐт основания для записи тепловой формулы интеграла Бернулли.

(6.6)

В приближении массовых сил:

(6.7)

6.3. Понятие скорости звука и числа M. Изоэнтропический формулы

6.3.1 Постановка общей задачи.

Общая задача, по отношению к которой другие задачи будут ее частными случаями

(Рис. 6.1):

В одном из сечение канала А1 с произвольными вдоль него площадями сечений A(х) известны все термодинамические параметры – плотность, давление, температура и скорость звука.

Рис. 6.1

Необходимо определить эти параметры в произвольном сечении канала А(х). Газ считается идеальным (без трения) и параметры по сечению однородны. При решении этих задач используют полученные ниже 4 группы изоэнтропических формул.

6.3.2. Понятие скорости звука и числа M.

Скорость звука в среде – это скорость распространения волн слабой интенсивности, с очень малым изменением давления и температуры. Общее выражение для скорости зву-

Несмотря на то, что выражение (6.8) носит общий характер, ясно, что скорость зву-

Первоначальное предположение Ньютона об изоэнтропичности распространения звуковых волн привело к ошибочным результатам, что удалось исправить Лапласу предположением адиабатичности распространения звуковых волн. Заменив Ньютоновские

на ( ), Лаплас получил выражение:

√ √ (6.9)

хорошо совпадающее с опытом.

Из выражения (6.9) следует, что строгим является понятие скорости звука в точке. Для практики эксплуатации АЭС принципиально важным будет понятие скорости

звука в двухфазных средах, что качественный изображено на графике Рис. 6.2. По оси абсцисс отображено объемное паро (или газо) содержание .

Рис. 6.2

Видно, что при скорость звука может стать ⁄ . Без знания этих особенности акустики невозможно объяснить многие процессы, особенно аварийные.

Число М, как отношение скорости среды к местной скорости звука во многих руководствах именуют как число Маха, по имени австрийского физика. Однако значительно раньше Маха оно было введено русским баллистиком Маевским, именем которого это число и следуют называть, или просто числом M.

В теории подобия и физическом моделировании течения сжимаемых сред, число М оказывается одним из критериев подобия.

6.3.3 Изоэнтропические формулы

Из тепловой формулы интеграла Бернулли следует:

( )

следовательно, отношения скорости звука будут равны:

⁄

( )

Это первая группа формул, связывающая параметры торможения и статические, через число M.

Простыми рассуждениями получим еще три группы формул,

-связывающие статические параметры:

( )

⁄

( )

( )

⁄

( )

-статические и критические параметры

Критическими называют параметры в том месте (или сечении), где скорость среды равна местной скорости звука (М=1). Обычно критические скорости среды обозначают .

-параметры торможения и критические

( )

⁄

( )

( )

⁄

( )

В зависимости от частной задачи используют ту или иную группу приведенных формул.

Из группы (IV) следует очень сложный для понимания факт, что в данном потоке скоростей звука много (разные температуры), а критическая скорость одна. Так как энтальпия торможения (следовательно и температура торможения) сохраняется одинаковой, сохраняются одинаковой и критическая температура. Следовательно, одинакова и соответствующая ей критическая скорость.

6.4. Решения общей задачи

Основным условием будет сохранения массового расхода в сечении А1, где параметры известны, и в продольном сечении А(х):

где неизвестным является только число M. Оно находится и ставится в формулу группы (II) для определения статических параметров в произвольном сечении А(х).

Если сечение А1 – критическое (М1=1), выражение (6.11) будет более простым:

Графические представления формулы (6.12) представлены на Рис. 6.3.

Рис. 6.3

Ясно, что в области дозвуковых скоростей для увеличения скорости, площади сечения канала нужно уменьшать, а в области сверхзвуковых скоростей наоборот – увеличивать.

При сохранении массового расхода, увеличение скорости и площади может происходить только за счет сильного уменьшения плотности. Приступим к принципу работы холодильного устройства, так как в адиабатических процессах уменьшение плотности сопровождается уменьшением температуры.

6.4.1. Истечение из конфузорного сопла

Это классический пример формирования критических параметров в узком сечении

тех пор, пока в выходном сечении сопла скорость газа не достигла местной скорости звука, так как изменение со скоростью звука передаѐтся в объем истечения. Но когда в выходном сечении сопла скорость газа достигает скорости звука, возмущения не могут проникать в объѐм истечения, так как сносятся потоком газа. Наступает явление, имеющиеся «запиранием» выходного сечения сопла, когда сколько бы не уменьшалось массовый расход остаѐтся неизменным. Изложенное представлено на графике (Рис. 6.4), где по оси ординат отложен безразмерный расход.

Рис. 6.4

Видно, что с уменьшением ⁄ расход растет, но когда давление в выходном сечении становится критическим , согласно последней формуле группы (IV):

и т.д. Полезно знать, пока скорость в выходном сечении не достигла скорости

звука, давление в нѐм равно противодавлению, а критическое давление равно примерно половине давления в объеме истечения ( ).

Что в системе локализация аварий с разрывом первого контура, устанавливают сужающие вставки для ограничения расхода критическими значениями.

Безразмерное значение расхода находится просто:

̅

при этом критический расход также выражают через параметры в объеме истечения

,используя формулы группы (IV).

6.4.2.Истечение через сопло Лаваля

Сопло называют по имени шведского инженера Лаваля, предложившего их для использования в направляющих аппаратах паровых турбин, так как переход в них одного и того же массового расхода к сверхзвуковым скоростям увеличивает количество движения перед лопастями турбин. За счѐт этого увеличивается сила, действующая на лопатку турбины, ибо она пропорциональна разности количеств движения перед и за лопатками.

Не всегда, достигая критических параметров в узком сечении сопла, скорость в расширяющейся части сопла становится сверхзвуковой. Всѐ зависит от противодавления на выходе из сопла. По геометрии сопла, конкретно по отношению площадей выходного

последнего условия сопло будет работать на расчетном сверхзвуковом режиме, то есть когда ̅̅̅ . Но Согласно графику (Рис. 6.3), той же геометрии соответствует и ̅̅̅̅ ,

которому будет соответствовать ̅̅̅̅. В последнем случае сопло будет работать на расчѐт-

ном, но сверхзвуковом режиме. Опасен случай когда:

̅̅̅̅̅

ив расширяющейся части сопла возникает прямой скачок уплотнения, после которого скорость будет дозвуковой. Речь о прямых скачках уплотнения пойдет далее.

но после выхода происходит дополнительное расширение и увеличение скорости. Последний нерасчетный режим с успехом использовался автором этих лекций для газодинамического запирания лучепроводов нейтронных генераторов (см. патенты).

Необходимо знать, как реально выполнять, чтобы ̅̅̅

Пусть противодавление равно атмосферному давлению. Тогда, получив значения

̅̅̅

, необходимо заменить через давление торможения в объеме истечения по

При создании в объеме истечения давления сопло может не выйти на сверхзвуковой режим, так как формулы идеального газа не учитывают наличие пограничного слоя у стенок сопла, кроме того, поток в диффузорной части сопла может приобрести закрутку. Эти несоответствия выбираются незначительным изменением расчетного . Другими словами, студенту нужно знать, как реально вывести сопло Лаваля на сверхзвуковой режим.

Принципиально важно так же знать, что сопло данной геометрии может иметь только единственный сверхзвуковой режим с конкретным числом ̅ на выходе.

6.4.3. Ударные волны и скачки уплотнения

Может показаться странным, что в дисциплине, читаемой будущим эксплуатационником АЭС, требуется знание скачков уплотнения, которые (по классическим представлениям), могут возникать только при сверхзвуковых течениях. Однако, если обра-

Ударные волны возникают, когда создаются условия наложения большого количества звуковых волн, как известно несущих очень малое изменение давления и температуры. Наложение звуковых волн будет происходить, когда каждая последующая волна будет иметь скорость большую, чем предыдущая. Тогда возникает мощная волна сжатия с конечным изменением давления и температуры на практически нулевой толщине (точнее на толщине, равной свободному пробегу молекул). Она движется всегда со сверхзвуковой скоростью и получила название «ударная волна». При ее распространении, процессы в газе существенно нестационарные. Обычно обращают движение в системе отсчета, движущейся со скоростью , обратной направлению движения волны. В этой системе отсчета ударная волна будет остановленной, которую уже называют скачком уплотнения. Для

-массы

-количества движения

-энергии

где индексом «1» обозначены параметры перед скачком уплотнения (должны быть известны), а индексом «2» - за скачком уплотнения (требующие определения).

Это так называемая ударная адиабата Гюгонио, которая принципиально отличается

Как известно, при адиабате Пуассона, процессы изоэнтропические, следственно в адиабатной системе в целом переход газа через скачок уплотнения будет сопровождаться увеличением энтропии. Эти адиабаты изображены графически (Рис. 6.5).

Рис 6.5 Адиабаты имеют общую точку (1;1), однако ударная адиабата Гюгонио имеет

велико было давление . Эта простая теория не выполняется, когда температура за скачком уплотнения достигает градусов. При такой температуре молекулы диссоцинируют и обратно рекомбинируют, что, конечно, в написанной теории не учтено. При

которой лежат ниже адиабаты Пуассона, это означает уменьшение энтропии, те есть невозможности скачка разряжения. Однако, если будет подвод энергии, скачки разряжения возможны, как и другие реальные процессы с уменьшением энтропии.

Скачки уплотнения, реально возникающие в двухфазных течениях, за счет увеличения давления могут понизить расход и даже остановить течение теплоносителя.

7. Особенности гидравлического удара во вскипающем теплоносителе. Кавитация.

Гидравлические удары – это существенно нестационарный процесс, при котором чередуются волны повышенного давления, нормального восстановленного давления и пониженного давления. Они вызывают вибрации трубопровода и возможные его разрушения.

7.1. Прямые и непрямые гидроудары

Первым, кто применил акустику для объяснения повышенного давления при гидроударах, был Н.Е. Жуковский, получивший формулу для максимального повышения давления:

(7.1)

где – скорость звука в трубопроводе, учитывающая упругие свойства и воды и

места отражения волн.Этот случай и называют прямым гидроударом.

В случае непрямого гидроудара ( ) максимальное повышение давления можно оценивать пл формуле Мишо:

(7.2)

Механизм непрямых гидроударов настолько сложен, что на сегодняшний день общего теоретического решения не имеет. Вышесказанное относится к гидроударом в однофазной жидкости и изложено в учебниках по гидравлике.

7.2. Вскипающий теплоноситель

Повышенные или пониженные давления в волнах, которые движутся со скоростью звука, сохраняются в течении периода гидроудара . Поэтому в жидкости слабо недогретой до насыщения будет происходить вскипание, когда приходит волна пониженного давления, соответственно уменьшается скорость волн (скорость звука). А через период в это место приходит волна повышенного давления и пузырьки пара «схлопываются», что приводит к дополнительному повышению давления, примерно в 1,5 раза превышающего повышение давления в однофазной среде. Это только экспериментальный факт, теоретического решения пока не получено.

7.3. Кавитация

Кавитацию иногда называют «холодным» кипением, возникает при уменьшении давления или за счет локального увеличения скорости (поворот трубы), когда давление будет равно давлению насыщения при данной температуре воды. Если рядом находится область повышенного давления, возникают пузырьки пара (или выделившегося газа) схлопываются, что приводит в совокупности к динамическому воздействию на материал стенки. Такие многократные воздействия в течении длительного времени приводят к изменению кристаллической структуры материала, начинается крашение материала . Это один механизм, конечно, главный.

Кроме того, при возникновении пузырька на стенке, разрушается молекулярный слой, с проскакиванием электрического разряда. Это приводит к возникновению озона, усиливающего коррозию.

Два названных механизма являются причиной кавитационного разрушения матери-

ала.

8. Пограничный слой

Общеприняты является положение, что до открытия в 1904 году Л. Прандтлем пограничного слоя, была эмпирическая наука «Гидравлика», в рамках которой силу трения

на стенке рассчитывать было невозможно. Позднее стали классифицировать динамический пограничный слой (расчет силы трения), тепловой пограничный слой (расчет тепловых потоков) и диффузорный (расчет потока массы). В 2004 году мировая научная общественность отмечала 100-летие открытия пограничного слоя, проведением научных форумов во многих странах.

8.1. Физические представления о пограничном слое. Уравнения пограничного слоя Прандтля

Пограничный слой – это тонкая область около стенки, где очень сильно изменяются

Сразу отметим, что напряжение трения определяется через толщину пограничного слоя Оценивая порядок слагаемых в уравнениях Навье-Стокса для тонкой области по-

го порядка малости и ее можно отбросить. А в уравнении проекции на ось У все слагаемые высокого порядка малости, кроме . В результате для области пограничного слоя остается уравнение:

(8.2)

Эти уравнения (практически одно) и будут уравнениями для ламинарного пограничного слоя, ибо последнее – закон сохранения массы.

Второе уравнение означает очень важное свойство пограничного слоя: давление поперек слоя не изменяется. По этой причине, давление распространение по скорости на границе пограничного слоя будет таким же, как и на стенке.

жидкости совпадает с расчетным значением.

Как только Прандтлем были даны уравнения пограничного слоя, Блаузиус нашел точное их решение для ламинарного пограничного слоя на пластине длины .

Напряжение трения:

√

Местный коэффициент трения:

√

Полный коэффициент трения: