УП Нелинейные цепи 2011
.pdf
Решение.
1) В катушке без потерь и при отсутствии рассеяния электромагнитные процессы описываются уравнениями:
w |
dФ |
u; |
Hdl iw, |
(5.43) |
dt |
где Ф BdS SB.
При синусоидальной форме напряжения u Um sin( t ) магнитный по-
ток Ф тоже синусоидален:
Ф |
1 |
|
udt |
Um |
cos( t ) Фm sin( t |
|
) |
(5.44) |
w |
|
2 |
||||||
|
|
w |
|
|
||||
отстает по фазе от напряжения на угол . При расчете удобно принять началь-
2
ную фазу напряжения , тогда магнитный поток и индукция изменяются по
2
закону: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(t) Фm sin( t); |
B(t) Bm sin( t), |
(5.45) |
где B |
Фm |
|
Um |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
m |
S w S |
|
|
|||
Намагничивающий ток, создающий основной магнитный поток, найдем |
||||||
из уравнения магнитной цепи: |
|
|
||||
|
|
|
|
Hdl Hl Hlc H0l0 iфw, |
(5.46) |
|
где H и H0 – напряженность поля соответственно в сердечнике и в воздушном зазоре.
При отсутствии воздушного зазора (l0 0)
i |
Hl |
(aB bB3)l |
|
||
c |
|
c |
. |
(5.47) |
|
|
|
||||
ф |
w |
w |
|
||
Подставляем в полученное выражение индукцию B(t):
(aB sin( t) bB3 sin3( t))l
iф m m c , (5.48) w
используем соотношение
sin3( t) 3sin( t) 4
|
1 |
sin(3 t) |
(5.49) |
|
|||
4 |
|
|
|
80
и получаем мгновенное значение тока
iф (78 1,5sin( t) 96 1,53 sin3( t))0,5 0,6sin( t) 0,135sin(3 t), A
300
Действующее значение тока вычисляем по формуле:
Iф |
|
I2 |
I |
2 |
|
|
; |
(5.50) |
||
|
m1 |
|
m3 |
|||||||
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Iф |
0,62 |
0,1352 |
|
0,435 A. |
|
|||||
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При наличии воздушного зазора (l0 0) необходима дополнительная на-
магничивающая сила
|
|
|
|
|
wiф0 H0l0. |
(5.51) |
||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
H0l0 |
|
|
Bl0 |
; |
i 1,99sin( t), А. |
(5.52) |
||
w |
|
|||||||||
ф0 |
|
|
|
0w |
ф |
|
|
|
||
Мгновенное значение результирующего тока |
|
|||||||||
iф iф iф0; |
|
|
iф 2,59sin( t) 0,135sin(3 t), А, |
(5.53) |
||||||
его действующее значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Iф |
|
2,592 0,1352 |
|
1,834 A. |
|
||||
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
По условию задачи значение индукции в сердечнике Bm известно и оста-
ется неизменным. Ему соответствует действующее значение напряжения на за-
жимах катушки
U |
w |
SBm |
4,44fwSB ; |
U 119,9 Â. |
(5.54) |
|
|
|
|
||||
2 |
|
m |
|
|
||
|
|
|
|
|||
Мгновенное значение напряжения при условии
2
u 
2 119,9sin( t ). 2
Так как фазовый сдвиг между напряжением и первой гармоникой тока со-
ставляет , то активная мощность P равна нулю.
2
81
Показания приборов:
– при отсутствии воздушного зазора:
UV 119,9 В; |
IА Iф 0,435 А; |
PW 0 Вт; |
– при наличии воздушного зазора:
UV 119,9 В; |
IА Iф 1,834 А; |
PW 0 Вт. |
2) Заменив несинусоидальный ток эквивалентным синусоидальным, рас-
чет проводим по действующим значениям в комплексной форме.
Уравнение цепи с учетом потерь и потока рассеяния:
U rI j L I U |
ф |
, |
(5.55) |
s |
|
|
где Uф E – напряжение, уравновешивающее ЭДС, наводимую в катушке ос-
новным потоком Фm .
Мгновенные значения основного магнитного потока в магнитопроводе,
напряжения и ЭДС:
Ф(t) SB(t) SBm sin( t) Фm sin( t);
uф wdФ w Фm cos( t) Umф sin( t 900); dt
eф wdФ w Фm cos( t) Emф sin( t 900),
dt
где Umф Emф w Фm.
Действующие значение ЭДС и напряжения:
E U |
ф |
|
w |
Ф |
m |
4,44fwSB ; E U |
ф |
119,9 В. |
(5.55) |
||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
m |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В комплексной форме: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Uф Uфej900 |
jUф; |
Uф 119,9ej900 |
j119,9 B; |
|
|||||||||
E Ee j900 |
jE; |
E 119,9e j900 |
j119,9 B. |
|
|||||||||
Схема замещения катушки с ферромагнитным сердечником с учетом ак-
тивного сопротивления провода обмотки, индуктивности рассеяния, обуслов-
ленной потоком рассеяния, и потерями мощности в стали приведена на рис. 5.12.
Активная мощность, потребляемая катушкой,
P Re(U |
|
(5.56) |
I) P P , |
||
|
м ст |
|
82
где Pм rI2 – потери в меди (в проводе обмотки);
*
Pст Re(Uф I) – потери в стали.
|
r |
|
Ls |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iст |
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
U |
ф |
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис 5.12. Схема замещения катушки с ферромагнитным сердечником |
|||||
|
Потери в стали Pст состоят из потерь на гистерезис Pг |
и на вихревые токи |
||||
Pв , |
которые рассчитываются по эмпирическим формулам: |
|
||||
|
P |
fB2G; |
P |
в |
f 2B2G, |
(5.57) |
|
г |
г m |
в |
m |
|
|
где |
г и в – коэффициенты, характеризующие свойства стали, даны в табл. 8; |
|||||
GlcS – масса магнитопровода, кг;
7,8 г/см3 – удельная плотность стали марки 3413.
Масса магнитопровода G 50 10 7,8 3900 г 3,9 кг.
Потери в стали
Pст (3 10 2 60 1,52 1,2 10 4 602 1,52)3,9 19,6 Вт.
Ветвь с эквивалентным сопротивлением rэ на схеме замещения
(см. рис. 5.12) потребляет мощность, равную потерям в стали Pст .
Ток катушки имеет две составляющие:
–намагничивающий ток Iф 0,435 A (из расчета п.1);
–ток потерь Iст Pст ,совпадает по фазе с напряжением Uф, Iст 0,163 A.
Uф
Намагничивающий ток создает основной магнитный поток и совпадает с ним по фазе. Потребляемый катушкой ток с учетом потерь в комплексной форме
|
|
|
|
Iф jIст |
Ie |
j |
|
j20,50 |
(5.58) |
|
|
|
I |
|
; I 0,435 j0,163 0,465e |
, |
|||
где arctg( |
I |
ст |
) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
– угол потерь; |
20,5 . |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
Iф
83
Потери в меди P I2r ; |
P 0,4652 12 2,6 Вт. |
|
|
||||
м |
м |
|
|
||||
Общие потери P Pм Pст; P 22,2 Вт. |
|
|
|||||
Составляющая напряжения, обусловленная потоком рассеяния, |
|
||||||
US USej(900 ), |
где US |
wk |
Фm |
, US 15ej110,50 |
В. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
||
Напряжение на зажимах катушки в комплексной форме |
|
|
|||||
U rI Us Uф; |
|
(5.59) |
|||||
U 5,22 j1,96 5,25 j14,05 j119,9 0,03 j135,91 135,9ej900 |
B. |
||||||
Показания приборов с учетом потерь и рассеяния: |
|
|
|||||
IА I 0,465 А; |
UV 135,9 В; |
PW 22,2 Вт. |
Параметры схемы замещения:
– индуктивность рассеяния Ls Us ; Ls 0,103 Гн;
I
– индуктивность намагничивания ветви Lф Uф ; Lф 0,878 Гн;
I
– эквивалентное сопротивление потерь в стали rэ Uф ; rэ 735,6 Ом.
Iст
3) Для построения векторной диаграммы (рис. 5.13) определим падение напряжения на активном сопротивлении катушки: Ur rI; Ur 5,58 В и зада-
димся масштабами: mI 0,1А/см; mU 20 В/см.
Данные расчета:
Iф 0,435 А; |
Iст 0,163 А; |
I 0,465 А; |
Uф E 119,9 B; |
Ur 5,58 B; |
Us 15B; U 135,9 B.
4) При наличии воздушного зазора дополнительный ненамагничивающий
ток iф0 1,99sin( t) (из расчета п.1), его действующее значение
Iф0 |
|
Im |
ф0 |
; Iф0 |
1,41A. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
||
Общий ток катушки |
|
|
|
|
|
|
|
|
I Iф Iф0 |
jIст; |
(5.60) |
||||
I 0,435 1,41 j0,163 1,845 j0,163 1,85ej5,050A. |
|
||||||
84
|
|
|
2 |
r; |
Pм |
41,1Вт. |
|
|
|
Потери в меди Pм |
(I ) |
|
Us |
|
|||||
Потери в стали при неизменном значении |
|
||||||||
магнитной |
индукции |
останутся |
прежними: |
|
|
||||
Pст 19,6 Вт. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Ir |
|
|||
Общие |
потери |
активной |
мощности |
|
|
||||
P Pм Pст; |
P 60,7 Вт. |
|
|
|
U |
Uф |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приложенное напряжение в комплексной |
I |
|
|||||||
форме |
|
|
|
|
|
|
Iст |
||
|
U rI Us Uф; |
(5.61) |
|
||||||
|
Iф |
Фm |
|||||||
U 22,14 j1,96 5,25 j14,05 j119,9 |
|||||||||
|
|
||||||||
16,89 j135,91 136,96ej82,90 |
B |
|
|
|
|||||
Показания приборов с учетом потерь, |
|
|
|||||||
рассеяния и воздушного зазора: |
|
|
|
|
|||||
|
IА Iф 1,85 А; |
|
|
|
|
||||
|
UV U 137 В; |
|
|
|
|
||||
|
PW P 60,7 Вт. |
|
E |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
Индуктивность, |
обусловленная дополни- |
||||
тельным намагничивающим током Iф0 , |
Рис. 5.13. Векторная |
||||
диаграмма |
|||||
L |
Uф |
|
; L 0,271Гн. |
(5.62) |
|
Iф0 |
|||||
0 |
0 |
|
|||
Полная схема замещения представлена на рис.5.14.
|
I |
r |
|
Ls |
|
|
Iф0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
Iст |
Iф |
|
||
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
rэ |
|
L |
L |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
ф |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.14. Полная схема замещения катушки с ферромагнитным сердечником
85
Библиографический список
1.Зажирко В. Н. Нелинейные электрические цепи: Учебное пособие / Омский ин-т инж. ж.-д. транспорта. Омск, 1988. 93 с.
2.Теоретические основы электротехники: Методические указания и кон-
трольные задания для студентов технических специальностей вузов /
Л. А. Бессонов, И. Г. Демидова, М. Е. Заруди и др. М.: Высшая
школа, 2001. 159 с.
3.Теоретические основы электротехники: Учебник / К. С. Демирчян,
Л. Р. Нейман и др. СПб.: Питер, 2003. Т. 2. 575 с.
4.Атабеков Г. И. Теоретические основы электротехники. Нелинейные электрические цепи. Электромагнитное поле: Учебник / Г. И. Атабеков, С. Д. Купалян, А. Б. Тимофеев, С. С. Хухриков. М.: Энергия, 1979. 432 с.
5.Рублева А. А. Теоретические основы электротехники: Задания на
контрольную работу № 4 и методические указания / А. А. Рублева,
А. Ю. Тэттэр. Омский ин-т инж. ж.-д. транспорта. Омск, 1993. 32 с.
6.Рублева А. А. Методы расчета периодических режимов в нелинейных электрических цепях: Методические указания и задания на самостоятельную работу / А. А. Рублева. Омский ин-т инж. ж.-д. транспорта. Омск, 1990,. 46 с.
86
Учебное издание
ЗВЕРЕВ Андрей Григорьевич, КОВАЛЕВА Татьяна Владимировна,
КОМЯКОВА Ольга Олеговна, ТЭТТЭР Александр Юрьевич
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
Редактор Н. А. Майорова
***
Подписано в печать . . . Формат 60 × 84 1/16.
Плоская печать. Бумага офсетная. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. .
Тираж 300 экз. Заказ
**
Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа Типография ОмГУПСа
*
644046, г. Омск, пр. Маркса, 35
87