Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

6077

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2021

Размер:

938.68 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

in x

l 0i x

= e

e l

l , e

dx = e

dx = e0 dx = 1dx =

2l . Квадраты норм равны 2l .

in x

Комплексный ряд Фурье.

f (x) c0

cn e

l .

f (x)e

in x

Где c

f (x)dx , c

dx .

Пример. Найти комплексный ряд Фурье для функции:

f (x)

x ( 1,0)

x ( 01)

e in x dx

e in x 1 = e in

1 dx 1 . cn 1

2 0

2in

cosn i sin n 1

cosn 1

( 1)n

1 ( 1)n

2in

1 ( 1)

Ответ.

f (x)

ein x

2in

Если дальше преобразовать экспоненту в комплексной степени, то можно свести к обычному тригонометрическому ряду Фурье. Сделаем это. Объединим пары слагаемых при номерах n, n .

f (x)

1 ( 1)n

in x

1 ( 1)

in x

2(n)

n 0

1 ( 1)

in x

)

2in

n 0

1 ( 1)n

ein x

e in x

n 0

2(1 ( 1)

)

sin n x .

n 0

Если записать подробнее комплексный ряд Фурье, т.е. внутри суммы подробно представить коэффициент, то получим:

	1	l	in x			in x
	1		l			l
f (x) c0		f (x)e		dx	e		.
f (x) c0	2l	f (x)e		dx	e		.
n		l

Обозначим частоту		n	. Приразение частоты от предыдущего к
Обозначим частоту	n	l	. Приразение частоты от предыдущего к
	n

следующему номеру:	n n 1 n			(n 1)	n	.
следующему номеру:	n n 1 n					.
				l	l	l

Разложение в ряд Фурье существует для функции на [l, l] для любого

сколь угодно большого l . При этом период увеличивается, а частота уменьшается. Если представить что l то вся действительная ось

представляет собой один большой период, при этом n		0 .
	l

Очевидно, что можно рассматривать тригонометрические функции с любым действительным коэффициентом, т.е. может ьыть не лискретный, а непрерывный набор частот синуса и косинуса. Предельным переходом при n 0 сумма превращается в интеграл

(как интегральные суммы в прошлых темах).

		1
	f (x)	1		i u		i x	d
Интеграл Фурье			f (u)e		du e
Интеграл Фурье		2	f (u)e		du e
		2

Промежуточная переменная u во внутренней части этого двойного интеграла пишется для того, чтобы отличать еѐ от внешней переменной x . Но ведь можно коэффициент поделить поровну между внешним и внутренним интегралом,

	1	1		i u		i x
	1	1		i u		i x
			f (u)e
f (x)					du e		d . Та функция от ,
f (x)	2	2			du e		d . Та функция от ,
	2	2

которая здесь в скобке, называется преобразованием Фурье:

	1
Преобразование Фурье F ( )	1	f (x)e i x dx

	2
	2

Когда мы не рассматриваем еѐ в двойном интеграле, то можно x не заменять на новую переменную u .

Симметричность формул прямого и обратного преобразования Фурье:

				1																		1			F( ) ei x d
	F ( )			1					f (x)e i x dx и						f (x)							1

						2																		2
						2																		2

Пример. Найти преобразование Фурье для функции
	f (x)			0					x ( ,0)
	f (x)			e 3x					x ( 0, )

Решение. Здесь на левой части действительной оси функция
тождественно 0, так что интеграл только по правой части:
					1									1															1					1
	F ()				1				e 3x e i x dx =					1				e (3 i ) x dx =											1					1		e (3 i ) x
	F ()								e 3x e i x dx =									e (3 i ) x dx =															3 i			e (3 i ) x
						2		0							2		0														2		3 i					0
1				1			(0 1)				1					. Можно ещѐ и домножить на
							(0 1)									. Можно ещѐ и домножить на
		2 3 i								2 (3 i )
сопряжѐнное, чтобы в знаменателе получить действительное
выражение, тогда ответ:											F ()											3 i				.

																							(9 2 )
																				2			(9 2 )
Числовые ряды и ряды Фурье, их взаимосвязь.
С помощью разложения функции f (x) x2																									в тригонометрический ряд
																											1							( 1)n
Фурье в [ 1,1] можно найти суммы рядов																														и							.
Фурье в [ 1,1] можно найти суммы рядов																											n		2	и				n	2		.
																									n 1		n					n 1		n
Функция является четной, bn														0 .
1								1				x	3	1					2
1								1					3	1
a0 x 2 dx = 2 x2 dx =											2			=							.
a0 x 2 dx = 2 x2 dx =											2			=							.
			1					0			3			0			3
			1					0						0
1																													1
an x 2 cosn xdx в силу чѐтности равно																									an			2 x2 cosn xdx , такой
			1																										0

интеграл можно найти с помощью интегрирования по частям в 2 шага.

Сначала u1 x2 ,u1 2x , v1 cosn x, v1 n1 sin n x .

							1																							2											1								1
			2								2	cosn xdx															x							sin n xdx												2					x sin n xdx
an									x												= 2																																					=
an									x												= 2																								n													=
																											n																		n
							0																																		0								0
							0																																		0								0
			4		1
			4			x sin n xdx . Затем 2-й шаг,
		n				x sin n xdx . Затем 2-й шаг,
		n			0
					0
	u			x,u									1, v				sin n x, v																				1			cosn x .
	u	2		x,u							2		1, v				sin n x, v																							cosn x .
		2									2						2																1				n
																																					n
			4		1																				4									x									1					1			1
					1																																						1								1
						x sin n xdx =																														cos n x															cos n xdx								=
		n				x sin n xdx =																		n										n		cos n x											n				cos n xdx								=
					0																																						0								0
					0																																						0								0
			4								1												1														1							4													4( 1) n
			4								1												1														1							4													4( 1) n
															cos n														sin n x											=									cosn					0 =							.
		n								n												n2 2																				n2 2																n 2 2
														4( 1)n							a		0					1									0
																																					0
Итак, a																		,												,				b		0 .
									n						n2 2						2							3						n
															n2 2						2							3
Разложение функции в ряд Фурье:
							1									4( 1)n																																1				4				( 1)n
	x2																						cosn x то есть x2																																					cosn x .
	x2						3									2			2				cosn x то есть x2																									3					2			n		2		cosn x .
							3					n 1				n																																3						n 1		n
																									1								4						( 1)				n
Подставим x 0.																				0					1								4						( 1)					, то есть
Подставим x 0.																				0																								, то есть
																									3							2				n 1				n2
4								( 1)							n			1																										( 1)						n					2
4								( 1)										1			, из чего следует																							( 1)											.
																					, из чего следует																									n2									.
	2 n 1									n2								3																							n 1					n2								12
																										1							4					( 1)					n
Подставим x 1.																				1						1							4					( 1)						cosn , то есть
Подставим x 1.																				1					3						2									n2				cosn , то есть
																									3						2				n 1					n2

				n	( 1)	n
2	4		( 1)		( 1)		4		1	, из чего следует
										, из чего следует
3	2	n 1		n2			2	n 1 n2

ЛЕКЦИЯ № 15. 27. 06. 2016

Обзорная лекция + дополнительный материал.

	1		2
				.
	2	6
n 1 n

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023540.44 Кб06041.pdf
#
05.02.2023305.26 Кб06042.pdf
#
05.02.20231.2 Mб16044.pdf
#
13.02.2021517.85 Кб06045.pdf
#
13.02.2021177.86 Кб06060.pdf
#
13.02.2021938.68 Кб16077.PDF
#
13.02.2021344.02 Кб06079.pdf
#
05.02.2023757.12 Кб166082.pdf
#
05.02.2023550.39 Кб06139.pdf
#
05.02.2023364.98 Кб06149.pdf
#
05.02.2023314.39 Кб06157.pdf