Алмаев Р.Х. и др. Линейная алгебра в примерах и задачах Часть I

51

хода Tb→a .

3.37. Построить матрицу перехода от базиса 1, x, x2 к базису 1, x −1, (x −1)2 в пространстве многочленов степени не выше 2 .

3.38. В пространстве многочленов степени не выше 2 найти разложение вектора 3x2 −5x + 4 по базису 1, x −2,(x −2)2 .

3.5. Линейные оболочки и подпространства

Определение. Подпространством L линейного пространства V называется множество векторов из V такое, что для любых двух векторов x и y из L и любых двух вещественных чисел α и β

линейная комбинация αx +βy также принадлежит L .

Утверждение. Подпространство само является линейным пространством.

Определение. Линейной оболочкой системы векторов v1 ,...,vk называется множество всех линейных комбинаций векторов v1 ,...,vk . Обозначается L(v1 ,...,vk ) .

Утверждение. Линейная оболочка системы векторов является подпространством.

Определение. Пересечением двух подпространств L1 и L2 называется множество всех векторов, принадлежащих одновременно и L1 , и L2 . Обозначается L1 ∩ L2 .

Определение. Суммой двух подпространств L1 и L2 называется множество всех векторов z , представимых в виде z = x + y , где

x L1 , y L2 . Обозначается L1 + L2 .

Утверждение. Сумма и пересечение подпространств L1 и L2 являются линейными пространствами, и их размерности связаны равенством dim (L1 + L2 ) + dim (L1 ∩ L2 ) = dim L1 + dim L2 .

Определение. Сумма двух подпространств называется прямой суммой, если пересечение этих подпространств состоит только из нулевого вектора.

52

Примеры

1. Найти размерность и какой-нибудь базис суммы и пересечения подпространств, порожденных векторами

x1 = (1,2,1,0), x2 = (−1,1,1,1), y1 = (2,−1,0,1), y 2 = (1, −1,3,7) .

Решение. Вычислим вначале размерность подпространств. С этой целью установим, являются ли линейно независимыми векторы, порождающие данные подпространства. Для подпространства L1 , порожденного векторами x1 , x2 , равенство нулю линейной ком-

бинации α1 x1 +α2 x2 = 0 , эквивалентное системе уравнений α1 −α 2 = 0, 2α1 +α2 = 0, α1 +α2 = 0, α2 = 0 , достигается лишь при условии α1 = 0, α2 = 0 . Следовательно, векторы x1 , x2 линейно независимы и размерность подпространства L1 равна 2: dim L1 = 2 . Для подпространства L2 , порожденного векторами y1, y2 , проводя аналогичный анализ, получим dim L2 = 2 .

Вычислим теперь размерность пересечения подпространств L1 и L2 . По определению векторы, составляющие пересечение, принадлежат одновременно обоим подпространствам. Произвольный вектор x подпространства L1 является линейной комбинацией базисных векторов x1 , x2 : x =β1x1 +β2 x2 . Аналогично для подпространства L2 имеем y = γ1 y1 + γ2 y2 , тогда условие принадлежности пере-

сечению есть β1x1 +β2 x = γ1 y1 + γ2 y2 или β1x1 +β2 x − γ1 y1 − γ2 y2 = 0 .

Это условие представляет собой систему уравнений относительно коэффициентов β1 ,β2 , γ1, γ2 . Составим матрицу системы и упростим ее с помощью элементарных преобразований:

53

Как видно, ранг системы равен 3. Значит ФСР состоит из одного линейно независимого вектора. Найдем его, решив систему уравнений, соответствующих последней матрице, получим

β1 −β2 −2γ1 − γ2 = 0, β2 − γ1 −7γ2 = 0, γ1 +3γ2 = 0 , откуда β1 = −γ2 , β2 = 4γ2 , γ1 = −3γ2 .

Полагая свободное неизвестное γ2 = −1, для остальных имеем β1 =1,β2 = −4, γ1 = 3 . Итак, пересечение подпространств L1 , L2 име-

ет один базисный вектор z = x1 −4xG2 =3yG1 − yG2 .

Размерность пересечения dim(L1 ∩ L2 ) =1 . Следовательно, в соответствии с равенством dim(L1 +L2 ) +dim(L1 ∩ L2 ) = dim L1 +dim L2 размерность суммы подпространств dim(L1 +L2 ) =3. В качестве

базиса суммы подпространств можно взять, например, векторы xG1 , xG2 , дополненные вектором y1 . В линейной независимости век-

торов xG1 , xG2 , yG1 убедиться нетрудно.

Задачи

3.41. Является ли подпространством в указанном пространстве множество

а) векторов, выходящих из начала координат и заканчивающихся на фиксированной прямой, в пространстве R2;

б) бесконечно малых числовых последовательностей в пространстве сходящихся последовательностей;

в) сходящихся к числу a последовательностей в пространстве сходящихся последовательностей;

г) диагональных матриц в пространстве квадратных матриц того же порядка;

д) невырожденных матриц в пространстве симметричных матриц того же порядка;

54

е) дифференцируемых на интервале (a,b) функций в пространстве функций, непрерывных на отрезке [a,b].

3.42. Почему не является подпространством в указанном пространстве множество

а) векторов, каждый из которых лежит на одной из координатных плоскостей, в пространстве R3;

б) векторов из пространства Rn, координаты которых удовлетворяют уравнению x1 + x2 +... + xn =1;

в) расходящихся числовых последовательностей в пространстве ограниченных последовательностей;

г) вырожденных матриц в пространстве квадратных матриц того же порядка;

д) монотонно возрастающих и ограниченных на множестве (−∞,∞) функций в пространстве функций, ограниченных на том

же множестве.

3.43. Найти размерность и какой-либо базис подпространства

3.44. Доказать, что данное множество является подпространством в Rn, найти его размерность и какой-либо базис:

а) все n-мерные векторы, координаты которых удовлетворяют уравнению x1 + x2 +... + xn = 0 ;

б) все n-мерные векторы, у которых первая координата равна нулю;

в) все n-мерные векторы, у которых первая и последняя координаты равны между собой;

г) все n-мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны нулю;

д) все n-мерные векторы, у которых координаты с нечетными номерами равны между собой.

55

3.45. Найти размерность суммы и пересечения подпространств,

порожденных векторами a1 = (1,2,0,1) , a2 = (1,1,1,0) и b1 = (1,0,1,0) ,

b2 = (1,3,0,1) . Является ли эта сумма прямой суммой?

3.46. Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек векторов a1 = (1,1,1,1) , a2 = (1, −1,1, −1) , a3 = (1,3,1,3) и b1 = (1,2,0,2) ,

b2 = (1,2,1,2) , b3 = (3,1,3,1) . Является ли их cумма прямой?

3.47. Найти базис суммы и пересечения двух подпространств, порожденных соответственно векторами a1 , a2 , a3 и b1 ,b2 ,b3 , если

3.6. Евклидово пространство, ортонормированные системы

Определение. Вещественное линейное пространство V называется евклидовым пространством, если каждой паре x, y V по-

ставлено в соответствие вещественное число, которое называется скалярным произведением векторов x и y , обозначается (x, y) и для любых x, y, z V , α,β R удовлетворяет следующим требованиям:

1)(x, y) =(y, x );

2)(αx +βy, z )= α(x, z )+β(y, z );

3)(x, x)≥ 0 , причем равенство возможно лишь в том случае, ко-

гда x = 0 .

56

Утверждение. Арифметическое пространство Rn, в котором скалярное произведение векторов задано равенством

(x, y) = x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn ,

является евклидовым пространством. Оно обозначается En. Определение. Векторы x и y называются ортогональными, ес-

ли их скалярное произведение равно нулю.

Определение. Нормой (длиной) вектора v называется число

Определение. Система ненулевых векторов v1 ,...,vk называется

ортогональной системой, если скалярное произведение любых двух различных векторов этой системы равно нулю.

Утверждение. Ортогональная система линейно независима. Определение. Ортогональная система векторов v1 ,...,vk называ-

ется ортонормированной системой, если норма любого вектора из этой системы равна единице.

Процесс ортогонализации базиса. Пусть даны n линейно не-

зависимых векторов f1 , f2 ,... fn . Для построения по этим векторам n попарно ортогональных векторов e1 ,e2 ,...en необходимо провести следующую процедуру ортогонализации. Положим вначале

e1 = f1 . Затем вектор e2 будем искать в виде e2 = f2 +α e1 . По условию ортогональности (e1 ,e2 ) = 0 .

Следовательно, ( f2 ,e1 ) +α (e1 ,e 1) = 0. Откуда

α = −( f2 ,e1 ) = −( f2 , f1 ) . (e1,e1 ) ( f1 , f1 )

Предположим, что уже построено k −1 ортогональных векторов e1 ,e2 ,...ek −1 . Будем искать e k в виде

ek = fk +λ1 e1 +λ2 e2 +...+λk −1 ek −1 .

57

Неравенство нулю этого определителя означает, что однородная система уравнений для коэффициентов линейной комбинации рассматриваемых векторов имеет лишь тривиальное решение. Следо-

Таким образом, окончательно в качестве ортогонального базиса

3.50. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника ABC , вершины которого заданы своими координатами:

A(2,4,2,4,2), B (6,4,4,4,6), C (5,7,5,7,2).

60