1 семестр_Лекции / Линейная алгебра. Системы линейных уравнений
.pdfВариант 29.
1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований
|
2 |
−1 |
1 |
1 |
−3 |
|
|
1 |
1 |
− 2 |
2 |
4 |
|
|
|
|||||
|
−5 |
3 |
2 |
1 |
1 |
. |
|
|
|||||
|
− 2 |
3 |
1 |
4 |
2 |
|
|
|
2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:
5x |
|
− 2x |
2 |
+ x |
= −18, |
6x |
− 2x |
2 |
+ x =3, |
3x |
− 4x |
2 |
+5x |
|
= −1, |
||||||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|||||
а) −3x1 + |
2x2 + 4x3 =17, |
б) 4x1 |
−5x2 − 2x3 =1, |
в) − 2x1 + x2 + 6x3 =3, |
|||||||||||||||||||
x |
− 2x |
2 |
− 4x |
= −11; |
− 2x +8x |
2 |
+5x =1; |
−5x +5x |
2 |
+ x |
3 |
=0. |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:
3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 =0,3x1 + 2x2 − 2x3 + x4 =0,
3x1 + 2x2 +16x3 + x4 + 6x5 =0.
4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не
входящие в данную базу, выразить через векторы базы: |
|
a1 =(−1 2 1 3), |
a2 =(3 4 −1 2), |
a3 =(5 10 −1 7), |
a4 =(− 4 − 2 2 1).. |
5.Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:
2x1 − x2 +3x3 + 7x4 +11x5 =5,
2x1 − x2 + x3 + 2x4 +3x5 = 2,6x1 −3x2 + 2x3 + 4x4 +5x5 =3,
4x1 − 2x2 + x3 + x4 + 2x5 = 4.
6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,
f (−1) = −6 , f (2) =9 , f (−2) = −27 , f (3) =38.
7.Выяснить, образуют ли строки матрицы
|
2 |
0 |
−7 |
2 |
−3 |
|
|
− 23 |
8 |
19 |
−3 |
0 |
|
|
|
|||||
|
19 |
−8 |
−5 |
−1 |
6 |
|
|
|
фундаментальную систему решений для системы уравнений
x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + x5 =0,2x1 − x2 +3x3 + x4 −5x5 =0,x1 +3x2 − x3 −6x4 − x5 =0.
Вариант 30.
1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований
|
1 |
2 |
1 |
2 |
−1 |
|
|
3 |
1 |
0 |
1 |
−5 |
|
|
|
|||||
|
− 2 |
3 |
4 |
−1 |
2 |
. |
|
|
|||||
|
0 |
5 |
3 |
5 |
2 |
|
|
|
2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:
− 4x |
|
+3x |
2 |
+ |
2x = |
22, |
2x |
−3x |
2 |
+13x = −3, |
−5x |
|
+ 6x |
2 |
+ x |
3 |
=0, |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
а) −3x1 + x2 +8x3 = 23, |
б) 3x1 − 2x2 |
+5x3 = −2, |
в) 2x1 |
− x2 +3x3 =1, |
||||||||||||||||||||||
x |
− |
8x |
2 |
+`2x |
|
= −3; |
|
− 4x + x |
2 |
+3x =1; |
x + |
3x |
2 |
+ |
10x = −2. |
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:
x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 =0,x1 − 2x2 −3x3 + x4 − x5 =0,2x1 − x2 − 2x3 +3x4 =0.
4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не
входящие в данную базу, выразить через векторы базы: |
|
a1 =(2 1 0 −3), |
a2 =(−1 1 4 2), |
a3 =(1 3 2 −1), |
a4 =(4 3 − 2 −6). |
5.Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:
−3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = −3,2x1 − x2 − x3 − 2x4 =1,− x1 + x3 + 24x4 =1,
4x1 −3x2 − x3 − 2x4 =5.
6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,
f (1) =6 , f (2) = 27 , f (−2) = −9 , f (−3) = −38 .
7.Выяснить, образуют ли строки матрицы
|
1 |
−1 |
−1 |
−3 |
3 |
|
|
2 |
−1 |
−1 |
2 |
0 |
|
|
|
|||||
|
−1 |
−1 |
3 |
7 |
1 |
|
|
|
фундаментальную систему решений для системы уравнений
2x1 − x2 +3x3 − x4 − x5 =0,x1 +5x − x3 + x4 + 2x5 =0,x1 +16x2 −6x3 + 4x4 + 7x5 =0.
ЛИТЕРАТУРА
1.Курош А.Г. Курс высшей алгебры.–М.: Физматгиз, 1963.
2.Мальцев А.И. Основы линейной алгебры.–М.: Наука, 1975.
3.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.–М.: Физматгиз, 1962.
4.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре.–М.:
Наука, 1972.