Семинар 6 Процессы переноса
.pdf6.Процессы переноса
Вотсутствии внешнего силового поля равновесное состояние системы характеризуется постоянными во внешнем объеме системы значениями концентрации частиц n и температуры Т. Если отклонения от равновесия невелики, можно ввести представление о локальном равновесии в малых макроскопических областях системы. Каждая такая область характеризуется своими величинами концентрации и температуры. Благодаря хаотическому тепловому движению частиц в неравновесной системе самопроизвольно (спонтанно) формируются процессы переноса вещества (диффузия) и температуры (теплопроводность). Эти процессы переноса стремятся выравнить значения n и Т по всему объему системы и перевести систему в равновесное состояние.
Взадачах рассматриваются стационарные (не зависящие от времени) процессы диффузии и теплопроводности в идеальном газе. Допустим, что процессы переноса происходят только вдоль оси х. Диффузия описывается законом Фика
Inx D dndx ,
где Inx – плотность потока частиц вдоль оси x (число частиц, проходящих за
единицу времени через единичное поперечное сечение, перпендикулярное оси x), D – коэффициент диффузии, n – концентрация частиц. Теплопроводность определяется законом Фурье
IQx |
|
dT |
, |
|
dx |
||||
|
|
|
где IQx – плотность полюса теплоты вдоль оси x (количество теплоты,
переносимой за единицу времени через единичное поперечное сечение, перпендикулярное оси x), – коэффициент теплопроводности, Т – температура.
В равновесном состоянии n const , T const , поэтому dndx 0 и dTdx 0 , а потоки частиц и теплоты обращаются в нуль.
Задача №16 Для случая идеального газа получить формулы для коэффициентов
диффузии D и теплопроводности . Решение
Задача решается с помощью закона Фика
Inx |
D |
dn |
. |
(16.1) |
|
||||
|
|
dx |
|
Пусть распределение частиц по скоростям теплового движения является изотропным, т.е. все направления движения произвольной частицы равновероятны. В этом случае плотность потока частиц в направлении оси x описывается формулой
22
|
I |
|
|
1 |
n(x) , |
(16.2) |
|
nx |
|
||||
|
|
6 |
T |
|
||
|
|
|
|
|
||
где T |
– средняя скорость теплового движения, n(x) – концентрация частиц в |
|||||
точке |
x . Температура газа Т и, |
следовательно, скорость T |
одинаковые во |
всех точках газа. Распределение Максвелла по скоростям является изотропным.
Если концентрация n зависит от координаты x (см. рисунок),
суммарная плотность потока частиц в направлении оси x имеет вид
I |
|
|
1 |
[n(x ) n(x )] |
1 |
[n(x) |
dn |
n(x) |
dn |
] |
1 |
|
|
dn |
D |
dn |
. (16.3) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
nx |
|
6 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
3 |
T |
|
dx |
|
|
dx |
|
|||||||||
Отсюда находим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.4) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Здесь – средняя длина свободного (без столкновений) пробега частиц. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Плотность потока теплоты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
(T ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.5) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qx |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где T (T ) – тепловая энергия, приходящаяся на 1 частицу. Используя |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n T (T ) nm |
T (T ) |
Cуд.V T , |
|
|
|
|
|
|
|
(16.6) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
– плотность газа, |
Cуд.V |
– удельная теплоемкость газа при постоянном |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
объеме V, плотность потока теплоты (16.5) можно переписать следующим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
1 |
|
C |
|
|
T (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.7) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qx |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
T |
|
|
уд.V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Плотность полного потока теплоты вдоль оси x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
1 |
C |
|
|
[T (x ) T (x )] |
1 |
C |
|
dT |
|
|
dT |
|
(16.8) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уд.V dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Qx |
6 |
T |
уд.V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 T |
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||
и коэффициент теплопроводности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
C |
|
|
D C |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.9) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
T |
|
уд.V |
|
|
|
|
уд.V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: |
D |
1 |
|
, D C |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
уд.V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
Задача №17 Средняя длина свободного пробега молекул водорода Н2 при
нормальных условиях (Т=273К, Р=105Па) равна 1,3 10 7 м. Определить газокинетический диаметр d молекулы водорода.
Решение Согласно молекулярно – кинетической теории газа средняя длина
свободного пробега частицы определяется формулой |
|
||||||
|
1 |
, |
|
|
|
(17.1) |
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
|
||||
где n – концентрация частиц |
|
газа, d 2 |
– эффективное |
сечение |
|||
столкновений частицы, d – газокинетический диаметр частицы. |
|
||||||
Используя известную формулу для давления газа |
|
||||||
p nkT , |
|
(17.2) |
|||||
с помощью (17.1) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
kT |
|
3,46 10 10 |
м . |
(17.3) |
|
|
|
||||||
|
|
p |
|
|
Таким образом, газокинетический диаметр порядка диаметра самой молекулы, а средняя длина свободного пробега много больше среднего расстояния между молекулами r ~ 1 3 n 3 kT p 3,3 10 9 м .
Ответ: d 3,46 10 10 м .
Задача №18
Сколько столкновений Z за 1 секунду испытывает атом неона Ne при давлении газа Р=100Па и температуре Т=600К, если его газокинетический диаметр d 2 10 10 м ? Масса атома неона m 3,310 26 кг .
Решение Согласно молекулярно-кинетической теории газа среднее
столкновений частицы за интервал времени t определяется формулой
Z T t n ,
где T 3kTm – среднеквадратичная скорость частиц,
сечение столкновений частицы, n – концентрация частиц газа. Используя известные формулы
d 2 и n |
|
p |
, |
|
|
|||||
|
kT |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
с помощью (18.1) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
3kT |
d 2 |
|
p |
6 105 |
1 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
m |
|
kT |
|
c |
Ответ: Z 6 105 1c .
число
(18.2)
(18.3)
24