Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4612 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Воронежская государственная лесотехническая академия
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

4783

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
08.01.2021
Размер:
1.71 Mб
Скачать
☆

11

Рис.1

12

13

14

Рис. 2

15

E( y) ( ; ) .

2. РГР № 2 «Интегралы и их приложения»

2.1. Теоретический материал Таблица основных неопределённых интегралов

1.

x dx

 

 

 

x 1

C ( 1);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2.

 

dx

ln

 

x

 

C .

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

 

 

3.

axdx

 

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

ln a

4.exdx ex C .

5.sin xdx cos x C .

6.cos xdx sin x C .

7.

 

 

 

 

 

 

dx

tgx C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

8.

 

 

 

 

dx

ctgx C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

C .

x2

a2

a

a

10.

 

 

 

 

dx

 

 

 

1

ln

 

x a

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

a2

2a

x a

11.

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

arcsin

x

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

 

 

 

 

 

ln

x

 

x2 a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx x C .

C .

16

Основные правила интегрирования

1.C f (x)dx C f (x)dx .

2.f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx .

3.

Если f (x)dx F(x) C , то

 

 

 

f (kx b)dx

1

F (kx b) C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

f (x)dx

ln

 

f (x)

C .

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

f (x)dx

2

 

f (x) C .

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.Интегрирование по частям: udv uv vdu .

b

7.Формула Ньютона-Лейбница: f (x)dx F (x) ba F (b) F (a)

a

Приложения определенного интеграла

1. Площадь фигуры, изображённой на рис.1, вычисляется по формуле:

b

S f2 (x) f1(x) dx .

a

Рис.1.

17

2. Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением , где вычисляется по формуле

 

 

1

 

 

 

 

S

 

2 d

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3.

Формулы для вычисления объёма тела вращения

 

 

b

 

 

 

 

 

VOx y2 (x) dx – вокруг оси Ox ;

 

 

a

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

VOy x2 ( y) dy – вокруг оси Oy .

 

 

c

 

 

 

 

4.

Длина кривой, заданной уравнением y f x ,

a x b

вычисляется по формуле

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

L

 

1 f 2 x

dx .

 

a

2.2 Варианты Расчетно-графической работы по теме «Интегралы и их приложения»

Задача № 1. Найти неопределенные интегралы.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

 

 

1 x 2

 

 

 

 

x

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x2

 

x )2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

dx ;

1.

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

x2

xdx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

2.

 

cos

 

 

 

x

dx ;

2.

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgx

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

3 x dx ;

 

ln6 x

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

dx ;

3.

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

x cos(2x)dx ;

4.

x arctgxdx ;

4.

x e xdx ;

 

 

 

 

5.

x2exdx ;

 

 

5.

ex sin xdx ;

5.

x2 cos(2x)dx ;

18

6.

 

 

 

 

3x 1

 

 

 

 

dx ;

6.

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

dx ;

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 3x 1

3x2 4x 2

 

2x2 x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

3sin x 4 cos x

 

 

( x2 1)(x 1)

(x 1)( x2 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(2x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

1.

 

3x

5x

4

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2

x sin

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg

7 x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 x3

4

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

cos x

sin xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

tg

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

lg x

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

x cos(2x)dx

4.

x2 sin(2x)dx

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

x e3xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

e x sin xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

x2 e 2 xdx

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

dx

6.

 

 

 

 

3x 1

 

 

 

dx

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 3

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x2 x 1

4x2 x 2

 

 

3x2 x 1

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

dx

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x cos x

 

x 1 2 x 2

 

x 2

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 7.

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg2 xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg2 xdx

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

(

 

x 2)3

dx

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos xdx

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

x

 

 

 

 

 

 

dx

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 e

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

x2 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

xln x2 1 dx

4.

e x cos 2x dx

4.

x2 sin 3x dx

5. sin

3x cos 5x dx

5.

arctgxdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

arccos xdx

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

dx

6.

 

 

 

 

 

 

 

x 6

 

 

 

 

 

 

 

dx

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x2 x 3

2x2 7x 1

2x2 x 1

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

dx

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

x x2

x 2

 

 

 

 

2 cos x

 

x2 3 x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 11.

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

dx

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2x sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

5

 

 

 

4

1dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

x

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

ln x

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x tg4 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

ln x

dx

3.

 

 

sin(e ) dx

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3cos2 x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

x2 ln xdx

4.

x sin 2x dx

4.

x 3x dx

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

e x cos 2xdx

5.

(x 5) e x dx

5.

sin ln x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 4

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

 

 

 

dx

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

3x2 x 3

 

2x2 6x 3

 

 

 

 

 

 

3x2 5x 6

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4sin x 5cos x

 

 

 

 

5

4sin x

 

 

 

2sin x 5cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 13.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 14.

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x2 x )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

cos

3

x sin 2x dx

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln2

x 5

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2

x ctgx

arcsin3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 x2 )

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

1 x2

arctg3 x

4.

x arctgx dx

4.

arccos x dx

4.

(x 7) e 5x dx

5.

(3 x) e x dx

5.

ex sin 2x dx

5.

x sin 3x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 2

 

 

 

 

 

 

 

x dx

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

 

 

 

dx

6.

 

 

 

dx

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x2 4x 16

 

 

 

3x2 6x 5

 

 

 

 

x2 3x 4

 

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin x 3cos x

 

3

4 cos x

 

 

 

5 4sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

Вариант 16.

Вариант 17.

Вариант 18.

1.

 

 

 

 

 

cos(2x)

dx

1.

 

3x2 5x 4

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg(

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

x )

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

cos x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

ln

2

 

x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

5

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

 

 

 

 

 

 

ectgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

x

 

 

 

5 dx

 

3.

 

 

dx

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

x3 e x2

dx

 

 

 

 

4.

(4 x) e2 x dx

4.

e3x sin x dx

 

 

 

 

 

5.

x cos

x

dx

 

 

 

 

5.

x 7x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

x ln2 x dx

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

x 1

 

 

dx

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

7x 3

 

 

 

 

dx

6.

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x2 2x 5

 

 

x2 4x 3

 

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin x cos x 5

sin x 2 cos x

3

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 19.

 

 

 

 

Вариант 20.

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 21.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg2 xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x 2)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 ln3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 x8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

arccos3 x 5

dx

3.

 

3x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

4arctgx x

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

ln(x 7) dx

 

 

 

 

4.

x2

2 e 6 x dx

4.

sin ln 2x dx

 

5.

(4x 3) sin 5x dx

5.

x sin 3x dx

 

 

 

 

 

 

5.

(8 3x) cos5x dx

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

dx

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

 

 

 

7x 3

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2x 5x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 4x 4x2

 

 

 

 

 

4x2 4x 3

 

7.

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

 

cos x dx

 

 

 

 

 

 

7.

 

2x4 5x2

8x 8

dx

 

 

 

5 3cos x

 

 

 

 

 

 

 

1 cos x sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x( x 2)( x 2)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности