4781
.pdf31
Вариант 18.
Вариант 19.
Вариант 20.
Вариант 21.
Вариант 22.
Вариант 23.
Вариант 24.
Вариант 25.
Задача № 7.
Вариант 1.
Вариант 3.
Вариант 5.
Вариант 7.
Вариант 9.
Вариант 11.
Вариант 13.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3 ln |
|
x2 |
1 , |
2 x 3 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
. |
|||||||
y 1 x2 |
arcsin x, |
0 x |
||||||||||
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y 2 ln sin x , |
|
x |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
y2 x 1 3 , |
1 x 2 . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ln |
|
x2 |
1 , 3 |
x 4 . |
|
|
|
|||||
x2 y2 25. |
|
|
|
|
|
|||||||
y 7 ln sin x , |
|
x |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
3y2 x 1 3 , 1 x 2 .
Исследовать на сходимость несобственный интеграл.
1 dx
x2 .
dx
1 x2 .
1 dx
0 x .
xe x2 dx .
0
arctgx dx .
0 1 x2
1 |
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
||||
|
|||||||
0 |
|
1 x6 |
|
|
|||
|
|
x2dx |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
. |
|
x3 3 |
2 |
||||||
0 |
|
|
|
Вариант 2.
Вариант 4.
Вариант 6.
Вариант 8.
Вариант 10.
Вариант 12.
Вариант 14.
0 dx
4 x2 .
2 |
dx |
|||
|
||||
|
|
. |
||
x2 |
4 |
|||
0 |
|
|
|
x2 e x3 dx .
0
e |
ln x dx |
|
|
|
|
|
||||||
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e |
|
|
dx |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
x ln x |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
xdx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
1 x2 |
||||||||
1 |
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
1 x4 |
Вариант 15.
Вариант 17.
Вариант 19.
Вариант 21.
Вариант 23.
Вариант 25.
|
|
|
dx |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
4 x2 |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
dx |
. |
|
|
|
|||
x2 |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
||
e |
|
|
dx |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
. |
||||
|
x ln2 x |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
dx |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
. |
||||||
|
9 x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
. |
||||||
16 x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e ln2 x dx
0 x .
32
Вариант 16.
Вариант 18.
Вариант 20.
Вариант 22.
Вариант 24.
|
x2dx |
|
|
|
|
|
. |
x3 3 |
3 |
||
0 |
|
|
0
xex2 dx .
3 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
x2 9 |
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 xdx |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
e2 x 2 |
3 |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 x4 |
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 8. Вычислить приближѐнно определѐнный интеграл с помощью формулы прямоугольников, формулы трапеций и формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на n частей. Все вычисления производить с точностью до 0,001.
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1. |
4 1 x3 dx, n 8. |
Вариант 2. |
|
4 x3 dx, n 10. |
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3. |
|
16 x2 dx, n 10. |
Вариант 4. |
4 |
|
64 x3 dx, n 8. |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 5. |
|
4 8 x3 dx, n 8. |
Вариант 6. |
|
9 x3 dx, n 10 . |
|||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7. |
|
18 x2 dx, n 10. |
Вариант 8. |
4 |
|
27 x3 dx, n 8. |
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9. |
|
4 1 x3 dx, n 8 . |
Вариант 10. |
|
4 27 x2 dx, n 8 . |
8 |
5 |
33
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Вариант 11. |
|
4 x2 9 dx, n 8 . |
Вариант 12. |
|
4 4 x2 dx, n 10 . |
||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Вариант 13. |
4 |
8 x3 dx, n 10 . |
Вариант 14. |
|
1 x3 dx, n 10 . |
8
4
Вариант 15. 4x2 16 dx, n 10 .
6
4
Вариант 17. 4 x3 dx, n 8.
0
4
Вариант 19. 464 x3 dx, n 10 .
6
3
Вариант 21. 9 x3 dx, n 10 .
2
7
Вариант 23. 427 x3 dx, n 10 .
3
6
Вариант 25. 18 x2 dx, n 10 .
4
9
10
Вариант 16. 41 x3 dx, n 10 .
0
7
Вариант 18. 16 x2 dx, n 10 .
3
2
Вариант 20. 48 x3 dx, n 10 .
8
1
Вариант 22. 41 x3 dx, n 8 .
7
0
Вариант 24. 427 x2 dx, n 10.
|
5 |
|
||
|
6 |
|
|
|
Вариант . |
4 9 x2 dx, |
n 8 |
||
|
2 |
|
2.3. Образец решения РГР.
Задача № 1. Найти неопределенные интегралы.
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить интеграл |
x5 x |
|
x 2 |
dx . |
|
|
|
|
|||
|
|
x |
Преобразуем подынтегральную функцию:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 x |
|
x 2 |
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x4 x2 |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x5 |
x x 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда |
|
|
|
|
dx = x4 |
x2 |
|
|
dx = x4dx |
||||||||
|
x |
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1dx
x2 dx 2 x =
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
x5 |
x2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
2ln |
x |
C . |
5 |
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
При вычислении использовали свойства неопределѐнного интеграла: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
f1(x) f2 (x) dx f1(x)dx f2 (x)dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) |
Cf (x)dx C f (x)dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
и табличные интегралы 1) |
и 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
|
Вычислить интеграл |
x 3 5 x2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Делаем замену |
|
|
|
5 x2 t , |
тогда |
2xdx dt и |
xdx |
1 |
dt . Следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x2 t |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5 x2 4 |
|
||||||||||||||||||||||
|
x 3 5 x2 dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
t |
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
= |
|
|
t 3 dt |
3 |
C = |
C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
4 |
8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx 2 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
|
Вычислить интеграл |
|
arctg 2 x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Делаем замену |
|
|
|
arctgx t , |
тогда |
|
|
|
|
dx |
|
dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
arctg 2 x |
|
= t2dt |
t3 |
|
|
|
|
arctg3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 x2 |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
Вычислить интеграл |
xsin 5x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Воспользуемся формулой интегрирования по частям: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
udv uv vdu . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x sin(5x)dx |
|
|
u x |
dv sin(5x)dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
cos(5x)dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
du dx |
v |
1 |
|
|
|
x cos(5x) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos(5x) |
5 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
1 |
x cos(5x) |
|
|
|
1 |
sin(5x) C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.Вычислить интеграл ln 2x dx .
ln 2x dx = |
|
u ln(2x) |
dv dx |
|
xln(2x) x |
1 |
dx xln(2x) x C . |
||||
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
du |
|
dx |
v x |
|
|
|
x |
||
|
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
5x 3 |
|
|
||
6. Вычислить интеграл |
|
|
|
dx . |
|
|
|||||
3x2 |
|
3x 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2x 1 |
11 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
5x 3 |
1 |
|
|
|
|
5x 3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|||||||||||||||||||||||||||
3x2 3x 10 |
3 |
x2 x |
10 |
|
3 |
|
|
|
x2 x |
10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
1 11 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3 |
|
2 |
x2 x |
10 |
|
3 |
2 |
|
|
|
1 2 |
|
|
37 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5 |
ln |
x2 |
x |
10 |
|
|
|
11 |
|
1 |
|
|
arctg |
|
2 |
|
|
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
6 |
|
|
37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Воспользовались правилом |
|
|
|
(x) dx |
ln |
(x) |
C и табличным |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интегралом 9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7. |
|
|
|
|
Вычислить интеграл |
|
|
|
7x 15 |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 2x2 |
3x |
|
|
|
|
|
|
а) Знаменатель подынтегральной функции разложим на множители: x3 2x2 3x x x2 2x 3 x x 1 x 3 .
б) подынтегральную функцию представим в виде суммы простейших дробей:
|
7x 15 |
|
A |
|
B |
|
|
C |
. |
|
x3 2x2 3x |
|
x 3 |
|
|||||
|
|
x |
|
|
x 1 |
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x 15 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
Bx |
|
|
|
|
Cx |
|
x 3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
3 |
|
|
|
x 1 |
|
x |
1 |
|
|
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
x3 2x2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x 3 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
7x 15 A x 3 x 1 Bx x 1 Cx x 3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Определим постоянные А, В и С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Если |
|
x 0 , |
то |
15 3A |
|
|
|
и |
A 5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
если |
x 3 , |
то |
|
|
36 12B |
и |
B 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
если |
|
x 1, |
то |
|
8 4C |
|
|
|
и |
C 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
7x 15 |
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x3 2x2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5 |
dx |
3 |
dx |
2 |
|
dx |
|
5ln |
|
x |
|
3ln |
|
x 3 |
|
2ln |
|
x 1 |
|
C . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x |
x 3 |
x 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
Задача № 2. Вычислить указанные определѐнные интегралы.
2dx
1.1 7 3x 3 .
Пользуясь правилом |
|
f kx b dx |
|
1 |
F |
kx b C , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
табличным интегралом 1) и формулой Ньютона-Лейбница, получаем: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
dx |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
7 3x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 7 3x 3 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
7 3x |
3 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
7 3x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
6 7 |
3 2 |
2 |
6 7 3 1 |
2 |
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 6 |
|
|
|
|
|
6 |
16 |
32 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
x cos 2x dx . |
|
Интегрируя по частям, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
udv uv |
|
ba vdu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 x cos 2x dx = |
|
u x |
|
dv cos 2xdx |
= |
x |
|
sin 2x |
|
|
4 |
1 |
|
4 sin 2xdx |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
du dx |
|
v |
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
= |
sin |
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
cos 2x |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
1 |
0 |
|
1 |
1 |
2 . |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
8 |
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
sin |
|
1 |
cos |
|
1 |
cos 0 |
|
||||
8 |
2 |
4 |
2 |
4 |
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
3 x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
|
ln |
. |
Пользуясь формулой замены переменной в определѐнном |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
интеграле и учитывая, что ln1 0 |
и ln e 1,получаем: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x t |
|
1 |
|
t4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ln3 |
x dx |
= |
|
dx |
|
|
= t3dt |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
0 |
4 |
4 |
|
4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
e4 |
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 e4 |
x |
|
12 |
3 e4 4 e4 3 3 e0 e1 |
3 1 e 3 e 1 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
При вычислении интеграла воспользовались 3-им правилом |
||||||||||||||||||||||||||||
интегрирования и табличным интегралом 4). |
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y x2 3x 5; |
y x 2. |
Найдѐм абсциссы точек пересечения графиков, заданных функций. Для этого объединим уравнения в систему
y x2 3x 5,y x 2.
Решая полученную систему уравнений, получаем:
x1 3; |
x2 1. |
38
Рис.1.
После построения графиков заданных функций получим фигуру (рис.1),
ограниченную прямой y x 2 и параболой y x2 3x 5.
Площадь фигуры, изображѐнной на рис.1, вычисляется по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S f2 (x) f1(x) dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
f |
2 |
(x) x 2, |
f (x) x2 |
3x 5, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
S |
x 2 x2 3x 5 dx x2 2x 3 dx |
|
x |
|
x2 |
3x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
( 3)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
( 3) |
|
3 ( 3) |
|
|
2 |
9 9 |
9 10 |
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Задача № 5. Вычислить объѐм тела, полученного при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:
2 |
2 |
|
|
|
x |
|
y |
1, |
x 6. |
2 |
2 |
|||
3 |
2 |
|
|
39
Первое уравнение задаѐт гиперболу, а уравнение x 6 задаѐт вертикальную прямую. После их построения, получаем фигуру, ограниченную гиперболой и вертикальной прямой.
Рис.2.
Пользуясь формулой для вычисления объѐма тела вращения
b
VOx f 2 (x) dx ,
a
находим объѐм тела (рис.2), образованного вращением нашей фигуры вокруг
оси Ox : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
x3 |
|
|
6 |
|
4 |
|
63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
VOx |
|
3 |
|
|
x |
|
4 |
dx |
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
4 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
9 |
|
3 |
|
|
3 |
|
9 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
3 |
4 3 8 8 16 (куб. ед.) |
|
9 |
3 |
||||
|
|
|
Задача № 8. Вычислить приближѐнно определѐнный интеграл с помощью формулы прямоугольников, формулы трапеций и формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на n частей. Все вычисления производить с точностью до 0,001.
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 9 x2 dx, |
n 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разобьѐм отрезок интегрирования |
[–2;6] |
|
на 8 |
равных частей с шагом |
||||||||||||||||||||||||||
h |
6 ( 2) |
1 |
точками x 2, |
x |
|
1, |
|
x |
|
0, |
x 1, |
|
x |
2, |
x 3, |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x6 4, |
x7 5, |
|
|
x8 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Вычислим |
значения |
функции |
|
y 4 9 x2 |
в |
этих |
точках: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
yi y(xi ), i 0;8. |
Запишем результаты вычислений в таблицу: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i |
|
0 |
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
6 |
|
|
|
7 |
8 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
xi |
|
-2 |
|
-1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
5 |
6 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
yi |
|
1,899 |
|
1,778 |
|
1,732 |
1,778 |
|
1,899 |
|
|
2,060 |
2,236 |
|
2,415 |
2,590 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Запишем формулы приближѐнного вычисления интеграла для случая |
||||||||||||||||||||||||||||||
разбиения отрезка интегрирования на 8 частей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
Формулы прямоугольников: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) dx h y0 |
y1 |
y2 |
... y7 , |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) dx h y1 |
y2 |
y3 |
... y8 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула трапеций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) dx h |
0 |
|
|
8 |
y1 |
y2 ... y7 |
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|