Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4718

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

1.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>


x1,2	b	D	5	81	5 9

	2 a		2 2		4
	2 a		2 2		4

7 x1 2 ,

x2 1.

Следовательно,

2x2				5x			7	2				x				7				x		1					(2x						7)(x							1) .

																2
																2
				Знаменатель														разложим,																используя												формулу						разности										квадратов
a2			b2			(a				b)		(a					b) . Тогда x2																1				x2			12			(x					1)(x 1) .
				Имеем
lim			2x2			5x		7					lim					(2x 7)(x 1)																	lim				2x			7			2 1					7	9	4			1		.
lim					x2		1						lim						(x				1)(x					1)							lim					x		1				1 1					2	4		2			.
x 1					x2		1							x		1			(x				1)(x					1)							x	1				x		1				1 1					2			2
				б)		lim				7x3					2x2							4x
				б)		lim						2x				3		1
						x										3


Получили неопределенность																																	. Для раскрытия этой неопределенности нужно
Получили неопределенность																																	. Для раскрытия этой неопределенности нужно
разделить числитель и знаменатель на x																																								в старшей степени, т.е. на x3 .
																					7x3						2x2							4x							7			2		4
			7x3			2x2
lim			7x3			2x2					4x						lim						x3						x3						x3					lim				x					x2	7	0			0				7		3	1		.
lim					2x		3	1									lim							2x		3														lim						1					2 0							2		3	2		.
x					2x			1									x							2x				1												x						1					2 0							2			2

																																										2

																																																x3
																									x3							x3
																									x3							x3
				в)		lim						x2													02													0
				в)		lim			1 cos 6x													1 cos(6 0)														0
						x 0			1 cos 6x													1 cos(6 0)														0
Получили неопределенность																														0	.
Получили неопределенность																												0			.
																												0
				Сначала применим формулу																													1				cos					2 sin 2								, а затем воспользуемся
				Сначала применим формулу																													1				cos					2 sin 2								, а затем воспользуемся
																																														2
первым замечательным пределом lim																																					sin x					1.
первым замечательным пределом lim																																						x				1.
																																	x 0					x
																																	x 0
					x2													x2																x2						1									x	2	1 1									3x	2
lim					x2					lim								x2							lim									x2						1		lim							x		1 1					lim				3x
lim										lim															lim																	lim														lim
x 0		1			cos 6x						x	0			2sin					2 6x							x			0 2sin 2						3x				2		x		0			sin 3x				2		3 x				0		sin 3x
															2sin							2
																						2
	1			1		2			1
	1			1	1				1		.
2		3			1			18			.
2		3						18

				12
30 – 39. Найти производные следующих функций.
		x
30. а)	y 4 x2 arcsin	x	,	б) y e 2 x ln(3x 1) ,
30. а)	y 4 x2 arcsin	2	,	б) y e 2 x ln(3x 1) ,
		2

в)

sin 4 x

arctg

31. а)

arctg

4 e x ,

в)

tg 2 x

cos 3x

32. а)

(2x

3)7

sin

в)

e5 x

ctg

33. а)

e1 6 x

cos 7x ,

в)

arcsin

4 cos5 x

34. а)

ln x ,

в)

sin 9x

ctg(2x 1)

35. а)

ln 4 x

sin 5x ,

cos

в)

e1 3x

г)

3 ln(cos x) .

б)

2x) ,

sin x

ln(8

г)

ecos( x ) .

б)

ln( x2

4) ,

cos x

г)

arccos(ln 5 x) .

sin 2 x

б)

ln x ,

г)

1 sin(x4 )

б)

e1 x2

arccos

г)

tg(3 x2

3) .

б)

arcctg2x ,

г)

5 ctg(4x

1) .

esinx ,

36. а)

arccos

4x ,

б)

в)

cos3 x

г)

2arccos(x3 ) .

arctg(x2

37. а)

1) ,

б)

ln( 3x

2) cos x ,

в)

sin 5x

г)

2arccos(x3 ) .

ctg 2 x

cos7 x

38. а)

2x ,

в)

ln( x2

39. а)

cos

e2 x ,

в)

arccos 5x

ctg

3*. а)

cos3 x

54 2 x

в)

sin 7x

б) y

sin

e5 x ,

г)

arccos

8 .

ln 4 x sin

б)

x ,

г)

sin( 4 x ) .

б)

4x ,

г)

5 log

(ex ) .

Решение задачи 3*. При нахождении производной используем (см. прил. 1):

–таблицу производных основных элементарных функций;

–основные свойства производных;

–правило нахождения производной сложной функции.

а) y	cos3 x ln	x	(cos3 x)	ln	x	3 cos2 x (cos x)	1		x
а) y	cos3 x ln	2	(cos3 x)	ln	2	3 cos2 x (cos x)	x	2
		2			2		x	2
							2

3 cos2 x (

sin x)

cos2 x

sin x

;

б)

4x tg

x2 4x

4x tg

(x2

4x)

cos

4x tg

(2x 4)

cos

;

cos

в)

2 x

sin 7x

2 x

(sin 7x)

sin 7x

(sin 7x)2

																			14
54	2 x	ln 5 (4					2x)					54 2 x		cos 7x (7x)					54		2 x		ln 5 (		2)	54 2 x cos 7x 7
									sin 2 7x																sin 2 7x
54	2 x	(			2 ln 5		7 cos 7x)						;
					sin 2 7x								;
					sin 2 7x
																1				1					4
																1									4
	г)				y	5	log				(ex )			log		(ex ) 5					log			(ex )	5	log		(ex )
	г)				y	5	log			3	(ex )			log	3	(ex ) 5			5		log		3	(ex )		log	3	(ex )
										3					3								3				3
1											1				1								1
1						4					1				1				4				1
	log		3	(ex )		5							ex			log	3	(ex ) 5							ex
5	log			(ex )				ex				ln 3	ex		5	log		(ex ) 5				ex		ln 3	ex


				1					.



5ln 3		5			log 4	(ex )
				3

40 – 49. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y f (x) и на основании полученных результатов построить еѐ график.

	y			1									y	1			x3
40.											.	41.									.
40.			x2	4x						3	.	41.				x2					.
	y			x3									y			x2			2x
42.							.					43.											.
42.		6		2x2			.					43.				x			1				.
44.	y		x2	x					4	.		45.	y			x		2	.
44.	y			2x						.		45.	y			x3			.
				2x												x3
46.	y			1				.				47.	y	x3				4				.
46.	y		x2	2x				.				47.	y			3x2						.
	y		x2										y			x3
48.					.							49.								.
48.			x2	1	.							49.			x2			1		.
4*. y			5x2
						.
			x2	25		.
		Решение							задачи			4*. Проведем исследование							функции					y	5x2		по
		Решение							задачи			4*. Проведем исследование							функции					y	x2	25	по
																									x2	25

следующей схеме:

1.Область определения функции

Вобласть определения исследуемой функции не входят лишь те значения x , для

которых		x2	25 0,	то	есть	x 5	и	x 5 .	Поэтому
D( y) (	;	5)	( 5;5) (5;	) .
2.	Вид функции
Выясним, является ли функция четной или нечетной.
Если y(	x)	y(x) для любого x			из области определения функции y				f (x) , то

эта функция называется четной. График четной функции симметричен относительно оси ординат.

	15
Если y( x)	y(x) для любого x из области определения функции y f (x) , то

эта функция называется нечетной. График нечетной функции симметричен

относительно начала координат.
Для нашей функции:
	5x2		5( x)2	5x2			5x2
y(x)		, y( x)			,	y(x)		.
	x2 25		( x)2 25	x2 25			x2 25

Видим, что y( x) y(x) для любого x из области определения функции. Поэтому

функция четная, еѐ график симметричен относительно оси ординат.

3. Точки пересечения графика функции с осями координат

Для нахождения точек пересечения графика с осью Ox решим систему уравнений

	y		0,
		5x2
y				.
y		x2	25	.

Отсюда получаем, что x 0 , y 0. Следовательно, точка (0;0) является точкой

пересечения графика функции с осью Ox .

Для нахождения точки пересечения графика функции с осью Oy решим систему уравнений

x 0,

5x2

y x2 25 .

Отсюда x 0 , y 0, поэтому точка (0;0) является точкой пересечения графика

функции с осью Oy .
		4. Исследование										функции			по	первой				производной		(интервалы
монотонности, точки экстремума)
Найдем первую производную функции:
y		5x2				(5x2 )			(x2			25)		5x2	(x2	25)	10x		(x2 25) 5x2			2x
y		x2	25									(x2	25)2							(x2	25)2
		x2	25									(x2	25)2							(x2	25)2
10x		(x2	25		x2 )						250 x			.
		(x2	25)2							(x2		25)2		.
y	0	при x		0 ,				y	не существует при							x	5 и		x	5 . Точки x1				5,	x2	0 ,
x3	5 разбивают область определения функции на четыре интервала																							(	;	5) ,
( 5;0) , (0;5) ,				(5;				) . Определим знак производной y												на каждом из них. Возьмем
любое			число				из				интервала				(	; 5) ,		например			6 .		Так			как
y (	6)		250	(	6)				1500			12,4 0 ,			поэтому			на		всем	интервале			(	;	5)

			(36	25)2					121
			(36	25)2					121
производная y						0 и, следовательно, функция монотонно возрастает. Аналогично
определяем знак производной y														на трех других интервалах:
y (	1)		250	(	1)			250				0,4	0 ,

			(1	25)2				576
			(1	25)2				576

						16
y (2)	250		2	500	1,1 0	,

	(4	25)2		441
	(4	25)2		441
y (7)	250		7	1750	3,1	0 .

	(49		25)2	576
	(49		25)2	576

Результаты исследования занесем в таблицу:

(

;

(

5;0)

(0;5)

(5;

)

−

функция

max

функция

возрастает

убывает

Итак,

функция

возрастает

на каждом

из

интервалов (

; 5) ,

(

5;0)

убывает на интервалах (0;5) , (5;

) . В точке x

0 производная меняет знак с «+»

на «−», следовательно,

0 − точка максимума функции. Значение функции в

этой точке равно:

ymax (0) 0 .

5. Исследование функции по второй производной (выпуклость,

вогнутость, точки перегиба графика)

Найдем вторую производную функции:

( y )

250 x

250

(x) (x2

25)2

((x2

25)2 )

(x2

25)2

(x2

25)4

250

1 (x2

25)2 2x

(x2

25)

250

(x2

25)

(x2

4x2 )

(x2

25)4

(x2 25)4

250

3x2

(x2

25)3

0 , если 3x2

0 . Это уравнение не имеет решения.

не существует при x

5 и x

5 .

Точки x1

5 разбивают область определения функции на три интервала:

(

;

5) ,

(

5;5) , (5;

) . Определим знак производной y

на каждом из них. Так

как

y (

250

3 62

250

133

274,8

поэтому на

всем

интервале

(62

25)2

121

(

;

5) производная y

0 и, следовательно, график функции является вогнутым

на данном интервале.

Аналогично определяем,

что

0 на интервале ( 5;5) ,

поэтому график выпуклый на данном интервале.

На интервале (5;

)

0 ,

поэтому график вогнутый на этом интервале. Результаты исследования занесем в таблицу:

x [0;5)

x	( ; 5)	( 5;5)	(5; )
y	+	−	+

y

y	вогнутый	выпуклый	вогнутый
y	график	график	график
	график	график	график

Точек перегиба на графике функции нет.

6. Точки разрыва функции и вертикальные асимптоты её графика

Точки разрыва функции – это точки

5 , в которых функция не

определена. Вычислим пределы функции в этих точках:

lim

5x2

125

, lim

5x2

125

x2 25

x 5

Поэтому прямые с

уравнениями x

являются вертикальными

асимптотами графика функции.

7. Невертикальные асимптоты графика функции

Невертикальной асимптотой будем называть асимптоту, не параллельную оси Оу.

Невертикальная асимптота графика функции y f (x) при x	существует
тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

lim	f (x)	k,
	x
x

Эта асимптота имеет уравнение y

Вычислим пределы

lim

f (x)

lim

5x2

lim

25)

lim [ f (x)

kx]

lim

5x2

lim

lim [ f (x)						kx]	b .
x
b .
		5				0
		5
lim			x				0	k ,
lim		1		25		1	0	k ,
x		1		25		1
				x2
	5x2				lim		5		5	5 b .
x	2	25			lim		25	1		5 b .
x	2	25			x	1	25	1
							x2

Так как оба предела k и b конечны,		то график функции имеет невертикальную
асимптоту при x	. Еѐ уравнение y	kx b , то есть y 5.

8. Построение графика функции

На основании результатов проведенного исследования строим график функции. Четность функции облегчает построение графика: строим часть графика функции для значений (5; ) , а затем отображаем эту часть графика

симметрично относительно оси ординат и получаем весь график.

Для уточнения графика рассмотрим несколько дополнительных точек:

y(2)	5	22		20	0,9 ,	y(7)	5		72		245	10,2 .
	22	25	21				7	2	25	24

Рис. 6

9. Множество значений функции

Вид графика (см. рис. 6) позволяет сделать вывод, что E( y) ( ;0] (5; ) .

Контрольная работа № 2

50 – 59. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

50.

а)

x dx

51.

а)

ln 2 x

52.

а)

x dx ,

53.

а)

ln x

dx ,

54.

а)

arctg5 x

dx ,

55. а)

2x5 9 dx ,

56.

а)

cos x dx

5 sin 2 x

б) x3 ln x dx .

б) x sin 3x dx . б) x cos 2x dx .

б) (1 x) sin 2x dx .

б) x3 ln x dx .

б) (x 1) sin 2x dx .

б) x ln x dx .

57.

а)

tg x

dx ,

б)

e 7 x dx .

cos2 x

ex dx

58.

а)

б)

3) cos 4x dx .

e2 x

59.

а)

sin x dx

б)

ln x

dx .

3 2

3cos x

5*. а)

e2 x3 5

x2 dx ,

б)

ln(cos x)

dx .

sin 2 x

Решение задачи 5*. При вычислении интегралов используем (см. прил. 2):

–таблицу неопределенных интегралов;

–основные свойства неопределенного интеграла;

–основные методы интегрирования в неопределенном интеграле (метод замены переменной и метод интегрирования по частям).

а) Воспользуемся методом замены переменной

2x3

2 x3

dt (2x3

5) dx

t dt 1

2 x3 5

6x2dx

С .

6 6

x2dx

Результат вычислений проверим дифференцированием:

2 x3

2 x3 5

б)

Воспользуемся формулой интегрирования по частям

u dv

u v v du .

ln(cos

x),

sin 2 x

ln(cos

x) dx

(ln(cos x))

dx,

ln(cos x)

(

ctg x)

sin 2 x

( sin x) dx,

ctg x,

cos x

( ctg x)

sin x

ctg x ln(cos x)

C .

cos x

Результат вычислений проверим дифференцированием:

( ctg x ln(cos x)

ln(cos x)

ctg x

( sin x)

sin 2 x

cos x

ln(cos x)

sin 2 x

60 – 69. Пользуясь формулой Ньютона – Лейбница, вычислить определенный

интеграл f (x) dx .

			15						dx									1				dx
									dx													dx
60.													.			61.												.
								x2		5
																		0		4				x2
	5																	0		4				x2
		3																3
	2								dx									3			dx
									dx												dx
62.															.	63.									.
																		1 3x					2
							9			x2
	2						9			x2
	2
									dx									4				dx
	8																	4

64.														.		65.											.
					cos2 2x
				0	cos2 2x													0			2x		1
	1									x											dx
	1																	2

66.							3					dx .				67.		0								.
66.	3						3			3		dx .				67.		0	cos2 3x							.
	1																	1
68.	3								dx			.				69.		1		1				x					dx .

	0 1								9x2									1		3			2
	8								dx
6*.									dx		.


	3							x		1
	3
						Решение задачи 6*. При вычислении интеграла воспользуемся формулой
																b
Ньютона – Лейбница																f (x) dx F(x)	ba F(b)				F(a) .
Ньютона – Лейбница																					F(a) .

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.20211.46 Mб24713.pdf
#
08.01.20211.46 Mб14714.pdf
#
08.01.20211.47 Mб14715.pdf
#
08.01.20211.47 Mб64716.pdf
#
08.01.20211.47 Mб14717.pdf
#
08.01.20211.47 Mб14718.pdf
#
08.01.2021201.56 Кб1472.pdf
#
08.01.20211.48 Mб04720.pdf
#
08.01.20211.48 Mб24721.pdf
#
08.01.20211.48 Mб14722.pdf
#
08.01.20211.48 Mб34723.pdf