4681

1)Данное отношение не является рефлексивным, поскольку для точки

12

1.5 Отображение множеств

Пусть M и N – два произвольных множества. Говорят, что на M определена функция f, принимающая значения из N, если каждому элементу M поставлен в соответствие один и только один элемент N. В случае

множеств произвольной природы вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении одного множества в другое.

Если a – элемент из M, то соответствующий ему элемент b=f(a) из N называется образом элемента a. Совокупность всех элементов из M, образом которых является данный элемент bN, называется прообразом элемента b и

обозначается(b).

Пусть А – некоторое подмножество из M; совокупность {f(a):aA} всех элементов вида f(a), где aА, называется образом подмножества А и

обозначается f(А). В свою очередь для каждого подмножества B из N определяется его прообраз подмножества (B), а именно: (B) есть совокупность элементов из M, образы которых принадлежат B. Может оказаться, что ни один элемент b из B не имеет прообраза, тогда полный прообраз(B) будет пустым множеством.

Установим основные свойства отображений.

Теорема 1. Прообраз суммы двух множеств равен сумме их прообразов:

(AB)= (A) (B).

Теорема 2. Прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов:

(AB)=(A) (B).

Теорема 3. Образ суммы двух множеств равен сумме их образов:

f(A B)= (A) (B).

Заметим, что образ пересечения двух множеств, вообще говоря, не совпадает с пересечением их образов.

13

2.ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

2.1Свойства действительных чисел

Операция сложения.

Для любых двух чисел a и b определено единственным способом число, называемое их суммой и обозначаемое a + b. Сумма обладает свойствами:

1.Для любых a и b выполняется a + b= b + a. Это свойство называется переместительным (коммутативным) законом сложения.

2.Для любых a, b, с выполняется a + (b + с)= (a + b)+c. Это свойство называется сочетательным (ассоциативным) законом сложения.

3.Существует число 0, называемое нулем, такое, что для любого числа a выполняется a + 0= a.

4.Для любого a существует число, обозначаемое -a и называемое противоположным данному, такое, что a +(-a)=0.

Далее вместо a +(-b) будем писать a - b.

Операция умножения.

Для любых двух чисел a и b определено единственным способом число,

8.Для любого a0 существует число, обозначаемое и называемое обратным данному, такое, что a =1.

2.2 Числовые промежутки

Отрезок, интервал, полуинтервал записываются соответственно как

[a,b]={x : a x b}, (a,b)={x : a x b}, [a,b)={x : a x < b}, (a,b]={x : a x b}.

и обозначают(а).

15

2.3.Точные грани числовых множеств

число dтакое, что все элементы множества X не меньше d, т.е.

Множество называется ограниченным, если оно ограничено как сверху, так и снизу, т.е.

Последнее условие равносильно условию

Если множество ограничено сверху, то наименьшее из чисел, ограничивающее его сверху, называют его точной верхней гранью или супремумом (supremum).

Точная верхняя грань множества обозначается sup X.

Если множество ограничено снизу, то наибольшее из чисел, ограничивающее его снизу, называют его точной нижней гранью или инфинумом (infinum).

Точная нижняя грань множества обозначается inf X.

16

Всякое ограниченное сверху (снизу) непустое множество действительных чисел имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Если множество не ограничено сверху (снизу), то пишут sup X = +∞

ограничено. Установить, какие числа являются его гранями. Найти точные верхнюю и нижнюю грани этого множества.

Докажем, что число 1 является точной верхней гранью множества X, т.е. что sup X =1. Для этого, согласно свойству точной верхней грани, надо

утверждение - sup X =1.

Докажем теперь, что число 0 является точной нижней гранью

нибудь натуральное число , получим требуемое n, а это, согласно

определению точной нижней грани, и означает, что inf X =0.

Отметим, что данному множеству X точная верхняя грань 1 принадлежит и является его наибольшим числом, а точная нижняя грань 0 не принадлежит множеству X и в этом множестве нет наименьшего числа.

где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям множества A конечными или счетными системами прямоугольников.

измеримого множества A называется его лебеговской мерой.

4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Линейным пространством называется множество , в котором

определены операции сложения элементов и умножения элемента на число, удовлетворяющие следующим условиям:

выполняется

1)x+y=y+x (коммутативность);

2)x+(y+z)= (x+y)+z (ассоциативность);

3)в существует нулевой элемент 0 такой, что x+0=0 для всех x ;

4)для любого x существует противоположный элемент -x

такой, что x+(-x)=0 (существование противоположного элемента);

19

2) 1 ;

III) Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:

1) ;

2) .

Пример 1. Прямая линия, т.е. совокупность действительных чисел, с обычными арифметическими операциями сложения и умножения, представляет собой линейное пространство.

Пример 2. n–мерное векторное пространство, т.е. совокупность всевозможных систем n действительных чисел x=( где сложение и умножение на число определяются формулами

также является линейным пространством. Оно называется n-мерным арифметическим пространством и обозначается символом .

Пример 3. Непрерывные действительные функции на некотором отрезке [a, b] с обычными операциями сложения функций и умножения их на число

Бесконечная система элементов x, y,…, w,… пространства называется линейно независимой, если любая её конечная подсистема линейно независима.

Если в пространствеможно найти n линейно независимых элементов, а

любые n+1 элементов этого пространства линейно зависимы, то говорят, что