4670

21

приводит к более "зубчатым" кривым (чем сглаживание скользящим средним) и не позволяет использовать веса.

Относительно реже, когда ошибка измерения очень большая, используется метод сглаживания методом наименьших квадратов, взвешенных относительно расстояния или метод отрицательного экспоненциально взвешенного сглаживания. Все эти методы отфильтровывают шум и преобразуют данные в относительно гладкую кривую (см. соответствующие разделы, где каждый из этих методов описан более подробно). Ряды с относительно небольшим количеством наблюдений и систематическим расположением точек могут быть сглажены с помощью бикубических сплайнов.

Многие монотонные временные ряды можно хорошо приблизить линейной функцией. Если же имеется явная монотонная нелинейная компонента, то данные вначале следует преобразовать, чтобы устранить нелинейность. Обычно для этого используют логарифмическое, экспоненциальное или (менее часто) полиномиальное преобразование данных.

Периодическая и сезонная зависимость (сезонность) представляет собой другой общий тип компонент временного ряда. Это понятие было проиллюстрировано ранее на примере авиаперевозок пассажиров. Можно легко видеть, что каждое наблюдение очень похоже на соседнее; дополнительно, имеется повторяющаяся сезонная составляющая, это означает, что каждое наблюдение также похоже на наблюдение, имевшееся в том же самом месяце год назад. В общем, периодическая зависимость может быть формально определена как корреляционная зависимость порядка k между каждым i-м элементом ряда и (i-k)-м элементом (Kendall, 1976). Ее можно измерить с помощью автокорреляции (т.е. корреляции между самими членами ряда); k обычно называют лагом (иногда используют эквивалентные термины: сдвиг, запаздывание). Если ошибка измерения не слишком большая, то сезонность можно определить визуально, рассматривая поведение членов ряда через каждые k временных единиц.

Сезонные составляющие временного ряда могут быть найдены с помощью автокоррелограммы. Коррелограмма (автокоррелограмма) показывает численно и графически автокорреляционную функцию (AКФ), иными словами коэффициенты автокорреляции (и их стандартные ошибки) для последовательности лагов из определенного диапазона (например, от 1 до 30). На коррелограмме обычно отмечается диапазон в размере двух стандартных ошибок на каждом лаге, однако обычно величина автокорреляции более интересна, чем ее надежность, потому что интерес в основном представляют очень сильные (а, следовательно, высоко значимые) автокорреляции.

22

Исследование коррелограмм. При изучении коррелограмм следует помнить, что автокорреляции последовательных лагов формально зависимы между собой. Рассмотрим следующий пример. Если первый член ряда тесно связан со вторым, а второй с третьим, то первый элемент должен также каким-то образом зависеть от третьего и т.д. Это приводит к тому, что периодическая зависимость может существенно измениться после удаления автокорреляций первого порядка, т.е. после взятия разности с лагом (рис. 13).

Рисунок 13 – Автокоррелограмма до и после взятия разности ряда

Другой полезный метод исследования периодичности состоит в исследовании частной автокорреляционной функции (ЧАКФ), представляющей собой углубление понятия обычной автокорреляционной функции. В ЧАКФ устраняется зависимость между промежуточными наблюдениями (наблюдениями внутри лага). Другими словами, частная автокорреляция на данном лаге аналогична обычной автокорреляции, за исключением того, что при вычислении из нее удаляется влияние автокорреляций с меньшими лагами. Частная автокорреляция дает более "чистую" картину периодических зависимостей.

Удаление периодической зависимости. Как отмечалось выше, периодическая составляющая для данного лага k может быть удалена взятием разности соответствующего порядка. Это означает, что из каждого i-го элемента ряда вычитается (i-k)-й элемент. Имеются два довода в пользу таких преобразований.

Во-первых, таким образом можно определить скрытые периодические составляющие ряда. Напомним, что автокорреляции на последовательных лагах зависимы. Поэтому удаление некоторых автокорреляций изменит другие автокорреляции, которые, возможно, подавляли их, и сделает некоторые другие сезонные составляющие более заметными.

Во-вторых, удаление сезонных составляющих делает ряд стационарным, что необходимо для применения авторегрессии и скользящего среднего и других методов, например, спектрального анализа.

23

Библиографический список

1.Дьяконов, В.В. MathCad 2001 [Текст]: специальный справочник / В.В. Дьяконов. СПб.:Питер, 2002. – 150 с..

2.Лазарева, Т.Я. Основы теории автоматического управления [Текст]: пособие / Т.Я. Лазарева, Ю.Ф. Мартемьянов. – Тамбов : Изд-во Тамб. гос.

техн. ун-та, 2003. – 308 с.

3.Лазарева, Т.Я. Основы теории автоматического управления [Текст]: пособие / Т.Я. Лазарева, Ю.Ф. Мартемьянов. – Тамбов : Изд-во Тамб. гос.

техн. ун-та, 2004. – 352 с.

4.Лазарева, Т.Я. Линейные системы автоматического управления [Текст]: пособие / Т.Я. Лазарева, Ю.Ф. Мартемьянов. – Тамбов : Изд-во Тамб. гос.

техн. ун-та, 2001. – 264 с.

24

Мещерякова Анна Анатольевна

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ТЕХНИЧЕСКОГО И ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Методические указания к лабораторным работам по направлению подготовки магистров 15.04.04 – «Автоматизация технологических процессов и производств» для всех форм обучения

Редактор С.Ю. Крохотина

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный лесотехнический университет имени Г.Ф. Морозова»