4616

11

Эти цены превышают себестоимость товаров на заводе фирмы на 1,5 тыс.руб. за единицу товара А и на 2 тыс.руб. за единицу товара В. Надо найти такое соотношение закупаемых и производимых товаров, которое обеспечило бы выполнение контракта с минимальными общими затратами.

Задача 7. Компания планирует производство и запасы продукции на первое полугодие следующего года. Прогноз спроса шесть месяцев отражен в таблице. Компания хотела бы иметь такой план, который не предусматривал бы отсрочки поставок. Из-за колебаний затрат на сырье и энергию себестоимость продукции изменяется от месяца к месяцу. Максимальный уровень производства компании также колеблется из-за неравномерного ремонта оборудования и числа рабочих дней в месяце. Компания не проводит политику частого изменения числа рабочих. Чтобы предотвратить простои, компания устанавливает минимальный уровень производства, составляющий 50% от максимального уровня.

Предполагаемый запас товаров на 1 января - 3500 штук. Страховой уровень запасов, который компания старается регулярно поддерживать, составляет 2500 штук; это означает, что и в конце каждого месяца такое количество товара должно храниться на складе как минимально допустимое. Однако площади складов позволяют хранить 7000 единиц товара. Бухгалтерия компании подсчитала, то хранение одной единицы товара на складе обходится в 8 руб. в месяц. Чтобы подсчитать затраты на хранение всех товаров, нужно их количество определять как среднемесячное, т.е. среднее между запасами на

12

начало и конец месяца, и умножить это значение на 8. Задача состоит в том, чтобы определить объемы производства и запасов на каждый месяц, при которых суммарные затраты (затраты на производство плюс затраты на хранение) минимальны при условии удовлетворении спроса на продукцию без отсрочки поставок.

Задача 8. Мощности завода позволяют произвести в текущем месяце ингредиенты для производства удобрений в количествах: 10 т нитратов, 15 т фосфатов и 12 т поташа. В результате смешения этих активных ингредиентов на заводе могут быть получены четыре типа удобрений. Цены на удобрения соответственно 400, 500, 400 и 450 руб. за тонну. Причем, объем спроса на удобрения практически не ограничен. Стоимость производства одной тонны нитратов 360 руб., фосфатов 240 руб. и поташа 200 руб. На текущий месяц завод уже заключил контракт на поставку 10 т удобрения 3. Определить, какие удобрения и в каких количествах следует производить, чтобы в текущем месяце завод получил максимальную прибыль.

Задача 9. Предприятие производит продукцию двух видов: П1 и П2. Объем сбыта продукции П1 составляет не менее 38 % общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции П1 и П2 используется одно и то же сырье, суточный запас которого равен 194 кг. Расход сырья на единицу продукции П1 равен 3,4 кг, а на единицу продукции П2 – 6,2 кг. Цены продукции П2 и П1 – 60 и 27 ден. ед. соответственно. Постройте математическую модель задачи, на основании которой можно оптимальное распределение имеющегося в наличии сырья для изготовления такого количества продукции П1 и П2, при продаже которых будет получен максимальный доход.

Задача 10. Технологическому отделу завода нужно решить задачу о приготовлении не менее 9 т сплава для производства деталей. Сплав приготавливается из чистой стали и отходов цветных металлов. Отношение

13

массы цветных металлов к массе стали в сплаве не должно быть больше, чем 2:5. Расход чистой стали не должен превышать 10 т, а цветных металлов – 6 т. Производственно-технологические условия таковы, что на процессы плавки и литья не может быть отведено более 25 ч, при этом на 1 т стали уходит 3 ч, а на 1 т цветных металлов – 2,1 ч производственного времени. Стоимость 1 тонны стали – 45 тыс.руб., цветных металлов – 30 тыс.руб. Построить математическую модель задачи, на основании которой можно найти состав сплава при условии минимизации его стоимости.

Задача 11. Цех мебельного комбината выпускает трельяжи, трюмо и тумбочки под телевизоры. Норма расхода материала в расчете на одно изделие, плановая себестоимость, оптовая цена предприятия, плановый ассортимент и трудоемкость единицы продукции приведены в таблице. При этом, запас древесно-стружечных плит, досок еловых и березовых 100, 55 и 19 м3 соответственно. Плановый фонд рабочего времени 21300 чел.-ч. Исходя из необходимости выполнения плана по ассортименту и возможности его перевыполнения по отдельным (и даже всем) показателям, постройте математическую модель, на основе которой можно найти план производства, максимизирующий прибыль.

Задача 12. Имеются корма двух видов: сено и силос. Их можно использовать для кормления скота в количестве соответственно не более 26 и 84 кг. Построить математическую модель, на основе которой можно составить кормовой рацион минимальной стоимости, в котором содержится не менее 52 кормовых единиц, не менее 1,6 кг перевариваемого протеина, не менее 145 г

14

кальция, не менее 74 г фосфора. Данные о питательности кормов и их стоимости в расчете на 1 кг приведены в таблице.

Задача 13. В новом плановом году городские власти решили перейти к сооружению домов четырех типов Д1, Д2, Д3 и Д4. Годовой план ввода жилой площади составляет соответственно 1050, 2200, 1600 и 3000 квартир указанных типов. Данные о количестве квартир разного типа в каждом из указанных типов домов, а также их плановая себестоимость приведены в таблице. Исходя из необходимости выполнения плана ввода квартир (а возможно и перевыполнения по всем показателям) постройте математическую модель, на основании которой можно определить объемы жилищного строительства на плановый год.

1.3 Двухиндексные задачи и задачи на раскрой

Задача 1. Доски длиной 110 см необходимо разрезать на заготовки длиной 45, 35, и 50 см. Определить, сколько досок по каждому из возможных вариантов следует разрезать, чтобы получить не менее нужного количества заготовок каждого вида (40,30,20) при минимальных отходах.

15

Задача 2. Требуется определить все рациональные способы раскроя досок длиной 115 см на заготовки трех типов длиной 10, 20 и 50 см. Составить математическую модель, при которой получается не менее требуемого количества заготовок (30, 50, 10) при минимальных отходах.

Задача 3. При изготовлении парников используется материал в виде досок длиной 200 см. Этот материал разрезается на заготовки длиной 120 см, 100 см и 70 см. Для выполнения заказа требуется изготовить 80 заготовок длиной 120 см, 120 заготовок длиной 100 см и 102 заготовок длиной 70 см. Какое минимальное количество материала следует разрезать, чтобы выполнить заказ?

Задача 4. Из прямоугольника железа размером 100 на 60 см необходимо изготовить квадратные заготовки со сторонами 50, 40 и 20 см. Эти заготовки нужны в качестве перегородок при изготовлении пластмассовых коробок для хранения инструментов. Чтобы сделать одну коробку, нужно иметь четыре заготовки со стороной 50 см, шесть заготовок со стороной 40 см и двенадцать заготовок со стороной 20 см. На складе находятся 100 листов материала. Сколько существует рациональных способов раскроя? Какое максимальное количество коробок можно изготовить при условии, что оставшиеся заготовки можно использовать при изготовлении следующей партии коробок?

Задача 5. Завод заключил договор на поставку комплектов отрезков стержней длиной по 18, 23 и 32 см. Причем количества отрезков разной длины в комплекте должны быть в соотношении 2:5:3. На сегодняшний день имеется 80 стержней длиной по 89 см. Как их следует разрезать, чтобы количество комплектов было максимальным?

Задача 6. При раскрое деталей для производства единственного изделия на швейной фабрике используются два артикула ткани. Ширина ткани 1 м. Изделие собирается из двух деталей, причем каждая из этих деталей может быть получена путем раскроя ткани любого типа. Ткани можно раскраивать тремя способами, выход деталей каждого вида из одного погонного метра ткани указан в следующей таблице.

16

На фабрику 1-й ткани поступает в два раза больше (по длине), чем 2-ой ткани. Расход второй ткани ограничен 10000 м. Выход готовых изделий должен быть максимальным.

Задача 7. Существует три рациональных способа раскроя материала 1 на заготовки трех типов. Эти же заготовки могут быть получены двумя рациональными способами раскроя материала 2. Количество заготовок, получаемых по каждому способу, показано в следующей таблице.

Изготовленные заготовки используются для производства бытовой техники. В комплект поставки входит четыре заготовки первого типа, три заготовки второго типа и семь заготовок третьего типа. На складе имеется 100 единиц материала первого типа и 300 единиц материала второго типа. Какое максимальное число комплектов заготовок можно изготовить из имеющегося материала в предположении, что оставшиеся заготовки можно использовать при выполнении следующего заказа?

Задача 8. На производство поступила партия стержней длиной 250 и 190 см. Необходимо получить 470 заготовок длиной 120 см и 450 заготовок длиной 80 см. Отходы должны быть минимальны.

Задача 9. Бригада приняла заказ на изготовление 57 шт. продукции П1, 68 шт. продукции П2 и 80 шт. продукции П3. Продукция производится на станках А и В. Для изготовления на станке А единицы продукции П1 требуется 15 мин., единицы продукции П2 – 50 мин., единицы продукции П3 – 27 мин., на станке В – соответственно 11, 15 и 13 мин. Постройте математическую модель задачи, на основании которой можно найти сколько продукции и какого вида следует изготовить на станках А и В, чтобы заказ был выполнен в минимальное время.