4576
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Г.Ф. МОРОЗОВА»
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Методические указания к практическим занятиям для студентов по направлению подготовки
38.03.01 – Экономика
Воронеж 2016
3
УДК 512.8
Раецкая, Е. В. Математический анализ [Текст] : методические указания к практическим занятиям для студентов по направлению подготовки 38.03.01 – Экономика / Е. В. Раецкая, И.В. Сапронов, Н.М. Спирина; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. – 43 с.
Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (протокол № 5 от 22 апреля 2016 г.)
Рецензент д-р физ.-мат. наук, доцента кафедры математического анализа ВГУ Зубова С.П.
4
Содержание
Введение……………………………………………..……………………………………4
1.Предел функции………… ………………………… …………………………………5
1.1Практическая часть…………………………………………………………………5
1.2Индивидуальные задания…………………………………………………………..7
2.Производная …………………….…………………………………………………..…7
2.1 Практическая часть…………………………………………………………………7
2.2 Индивидуальные задания…………………………………………………………..9
3.Полное исследование функции………………………...…………………………..10 3.1 Практическая часть…………………………………………………..……………10
3.2 Индивидуальные задания…………………………………………………..……..14
4.Функции двух переменных...……………………………………………………….15
4.1 Практическая часть……………………………………………………………..…15
4.2 Индивидуальные задания……………………………………………………..…..17
5.Неопределенный интеграл…………………………………………………..……..18 5.1 Практическая часть………………………………………………………..………18
5.2 Индивидуальные задания………………………………………………….……..21
6.Определенный интеграл……………………………………………….…….…….23
6.1 Практическая часть…………………………………………………………..……23
6.2 Индивидуальные задания…………………………………………………..……..27
7.Дифференциальные уравнения …………………………………….…………….29 7.1Практическая часть………………………………………….…………………..…29
7.2 Индивидуальные задания……………………………..…………………………..33
8.Ряды……………………...……………………………………………………...……..35 8.1Практическая часть……………………………………………………………..…35
8.2 Индивидуальные задания…………………………………………….…………..40 Библиографический список……..……………………………………………….…...43
5
ВВЕДЕНИЕ
Целью изучения дисциплины «Математический анализ» является воспитание достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современных видов математического мышления, обучение основным понятиям и методам математического анализа, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений практических задач, методам обработки и анализа результатов численных экспериментов для экономических задач.
Основной задачей является выработка умения решать примеры и задачи для последующего применения математических методов в различных приложениях.
Студент по результатам освоения дисциплины «Математический анализ» должен обладать способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы.
Врезультате освоения дисциплины студент должен:
-знать основные понятия, определения и методы исследования объектов с помощью теорем и формул различных разделов математического анализа;
-уметь: решать задачи и примеры по различным разделам высшей математики
сдоведением решения до практического приемлемого результата (формулы, числа, графика, качественного вывода и т.п.),
- уметь при решении задач выбирать необходимые вычислительные методы и средства (ПЭВМ, таблицы и справочники);
-самостоятельно изучать научную литературу по математике;
- иметь представление о численных алгоритмах решения математических и прикладных задач его профессиональной области.
6
1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
1.1. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
П р и м е р 1. |
Вычислить предел |
lim |
2x2 |
5x 7 |
. |
||||||
|
|
x2 |
1 |
||||||||
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
||||
|
2x2 5x 7 |
|
2 12 5 1 7 |
|
0 |
|
|
||||
Решение. lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
x2 1 |
12 |
1 |
|
|
|
|
|||||
x 1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
Получили неопределенность |
0 |
|
. Для раскрытия этой неопределенности |
|
|
|
|
||
|
||||
|
0 |
|
|
необходимо, воспользовавшись формулами сокращенного умножения, разложить числитель и знаменатель дроби на множители, а затем сократить дробь на общий множитель, дающий в пределе ноль.
Для числителя воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на
множители a x2 b x c a (x x ) (x x ) , где |
x |
и |
x |
2 |
– корни квадратного |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
||
трѐхчлена. Получаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2x2 5x 7 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
D b2 4 a c 52 4 2 ( 7) 25 56 81 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
b D |
5 81 5 9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1,2 |
|
|
2 a |
|
2 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
7 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2x |
|
5x 7 2 x |
x 1 |
(2x 7)(x 1) . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Знаменатель разложим, используя формулу
a2 b2 (a b) (a b) . Тогда x2 1 x2 |
12 (x 1)(x 1) . |
|
|||||||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
2x2 5x 7 |
|
lim |
(2x 7)(x 1) |
lim |
2x 7 |
|
|
2 1 7 |
||||||
x2 |
1 |
(x 1)(x 1) |
x |
1 |
|
1 1 |
|||||||||
x 1 |
x 1 |
x 1 |
|
|
|||||||||||
П р и м е р 2. Вычислить предел |
lim |
7x3 |
2x2 |
|
4x |
. |
|||||||||
|
|
2x3 |
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
7x3 2x2 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
lim |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
2x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разности квадратов
92 4 12 .
Получили неопределенность |
|
|
. Для раскрытия этой неопределенности |
|
|
||
|
|
|
|
нужно разделить числитель и знаменатель на x в старшей степени, т.е. на x3 .
7
|
|
|
|
|
|
7x3 |
2x2 |
|
|
4x |
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
7x3 2x2 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
7 0 0 |
|
7 |
|
1 |
|
|||||||
lim |
lim |
x3 |
|
|
x3 |
x3 |
lim |
x |
x2 |
|
|
|
3 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
||||||||||||||||||||
x |
2x3 1 |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
П р и м е р 3. |
Вычислить предел lim |
|
sin x2 tg 4x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
3x arcsin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
sin x2 tg 4x |
|
|
|
sin 0 tg 0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 0 3x arcsin 2x |
3 |
0 arcsin 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получили неопределенность 0
.0
Выражение под знаком предела содержит тригонометрические функции, которые позволяют выделять первый замечательный предел, а именно,
lim |
sin x2 |
1, |
lim |
tg 4x |
1 , |
|
lim |
|
|
|
|
|
2x |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 0 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
4 x 0 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x 0 arcsin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Домножив |
исходную |
дробь |
|
на дроби |
|
|
x2 |
1, |
4x |
1, |
2x |
1 , выделим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
4x |
2x |
||||
выражения для первых замечательных пределов из исходного выражения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
sin x2 tg 4x |
|
|
lim |
|
sin x2 |
|
|
|
tg 4x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x arcsin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
arcsin 2x |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
sin x2 |
|
|
x2 |
|
tg 4x |
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
1 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4x |
|
|
arcsin 2x |
|
|
2x |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
lim |
sin x2 |
|
|
tg 4x |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
x2 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
sin x2 |
lim |
tg 4x |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
lim |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 0 |
|
|
|
4 x 0 |
|
|
|
4x |
|
|
|
2 x 0 arcsin 2x |
|
x 0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 1 1 |
2 0 |
|
|
0 |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
П р и м е р 4. |
|
Вычислить предел |
|
lim |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos6x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение. |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
1 cos6x |
|
|
|
|
1 |
cos(6 0) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Получили неопределенность |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сначала применим формулу 1 cos 2sin 2 |
, а затем воспользуемся первым |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
замечательным пределом lim |
sin x |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
lim |
x2 |
|
|
lim |
x2 |
|
1 |
|
x 2 |
|
1 |
1 |
|
3x 2 |
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|||||||
1 cos6x |
|
|
6x |
|
2sin 2 3x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
x 0 |
2sin |
2 |
|
x 0 |
|
2 |
x 0 |
sin 3x |
|
2 |
3 x 0 |
sin 3x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
3 |
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Вычислить пределы
1. а) |
lim |
3x2 7x 20 |
, |
|
б) |
|
lim |
|
x4 6x2 5 |
, |
|
|
в) lim |
1 cos5x |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4x4 |
3x |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2. а) |
lim |
|
x2 25 |
|
|
|
|
|
, |
б) lim |
2x3 |
x |
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) lim |
|
|
|
x2 |
|
|
|
. |
|||||||||||
3x2 11x 20 |
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 5 |
|
|
|
x 7x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
3. а) |
lim |
|
x2 1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
б) |
|
lim |
|
2x2 |
4x 5 |
, |
|
|
|
|
|
|
в) |
|
lim |
sin 2x |
. |
|
|
|||||||||||||||||
x2 |
|
3x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10x2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg3x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4. а) |
lim |
x2 25 |
|
|
|
|
, |
|
|
б) |
lim |
|
4x5 1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
lim |
tg2x |
. |
|
|
||||||||||||||
x2 |
|
7x 10 |
|
|
|
|
5 7x x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x 5 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5. а) |
lim |
x2 |
2x 8 |
, |
|
|
|
|
б) |
lim |
|
4x2 5x 10 |
|
|
|
, |
|
в) lim |
1 cos5x |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x2 |
4 |
|
|
|
|
|
2x3 |
11x2 |
|
|
1 cos3x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
6. а) |
lim |
x2 |
6x 8 |
, |
|
|
|
|
б) |
lim |
|
2x2 |
4x 1 |
, |
|
|
|
|
|
|
в) |
|
lim |
sin 7x |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||
x2 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
7x |
1 |
|
|
|
|
|
|
tg5x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7. а) |
lim |
x2 |
2x 1 |
|
, |
|
|
|
б) |
lim |
|
3x4 x2 x |
, |
|
|
|
|
в) lim |
|
|
|
x2 |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos4x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
x 1 3x2 4x 1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
8. а) |
lim |
2x2 |
72 |
|
, |
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
2x3 |
4x |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
lim |
cos x 1 |
. |
|||||||||||||||
x2 |
|
7x |
6 |
|
|
|
|
|
|
4x5 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9. а) |
lim |
x2 |
7x 12 |
|
, |
|
|
б) lim |
x3 4x2 7x 1 |
, |
в) lim |
|
|
|
2x2 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x2 9 |
|
|
|
|
|
|
|
x4 x 2 |
|
|
|
|
|
|
1 cos4x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||
10. а) lim |
x2 1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
7 x x2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) lim |
|
sin 6x |
. |
|
|
|
|
||||||||||
x2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 x 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
tg4x |
|
|
|
|
|
2.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
2.2ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
3 |
x |
|
|
П р и м е р 1. Найти производную функции y cos |
x ln |
|
. |
|
|||
|
|
2 |
|
Решение. При нахождении производной используем
–таблицу производных основных элементарных функций;
–основные свойства производных;
9
– правило нахождения производной сложной функции.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
|
|
3 |
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|||||||||
y |
cos x ln |
|
|
(cos |
ln |
|
|
3 |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x) |
x (cosx) |
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
3 cos2 |
x ( sin x) |
2 |
|
1 |
3 cos2 |
x sin x |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
П р и м е р 2. |
Найти производную функции |
y tg |
|
|
|
|
|
x |
|
|
4x . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. При нахождении производной используем
–таблицу производных основных элементарных функций;
–основные свойства производных;
–правило нахождения производной сложной функции.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y tg |
|
|
|
|
|
x |
|
|
4x |
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
4x tg |
|
|
x |
|
4x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
4x |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 x2 |
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
4x tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x 4) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x2 |
4x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
4x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
П р и м е р 3. |
|
Найти производную функции |
|
|
|
y |
54 2 x |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 7x |
Решение. При нахождении производной используем
–таблицу производных основных элементарных функций;
–основные свойства производных;
–правило нахождения производной сложной функции.
|
|
|
5 |
4 2 x |
|
5 |
4 2 x |
|
|
|
4 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
|
|
|
|
sin 7x 5 |
|
|
(sin 7x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(sin 7x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sin 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 2 x |
ln 5 |
(4 |
|
|
4 2 x |
cos7x |
|
|
|
4 2 x |
ln 5 |
|
|
|
4 2 x |
cos7x 7 |
|
||||||||
|
5 |
|
|
2x) |
5 |
|
(7x) |
|
5 |
|
( 2) 5 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 7x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
54 2 x |
( 2 ln 5 7 cos7x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
sin 2 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
П р и м е р 4. |
Найти производную функции |
|
log |
3 |
(ex ) . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. При нахождении производной используем
–таблицу производных основных элементарных функций;
–основные свойства производных;
–правило нахождения производной сложной функции.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
54 |
|
|
|
x |
|
||||
y |
log |
3 (e |
|
) |
|
|
|
log3 |
(e |
|
) |
|
|
|
|
log |
3 (e |
|
) |
|
log |
3 (e |
|
) |
|
|||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
log |
3 |
(ex ) 5 |
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
log |
3 |
(ex ) 5 |
|
|
|
ex |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ex ln 3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ex ln 3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5ln 3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
log 4 |
(ex ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Найти производные следующих функций.
1. а) y 4 x2 arcsin 2x ,
в) |
y |
sin 4 |
|
x |
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
e x , |
||||||||||||
2. а) y arctg |
|
|
|
|
|
|
|
1 4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в) |
y |
tg 2 x |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
cos 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
3. а) y (2x 3) |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||
в) |
y |
e5 x |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. а) y e1 6 x cos7x , |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) |
y |
4 |
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||
5. а) y 4 cos5 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
ln x , |
||||||||||||||||||
в) |
y |
|
sin 9x |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ctg(2x 1) |
|
|
6. а) y ln 4 x sin 5x ,
б) y e 2 x ln(3x 1) ,
г) y 3 ln(cos x) .
б) y sin x ln(8 2x) ,
г) y ecos( x ) .
б) y cos x ln( x2 4) ,
г) y arccos(ln5 x) .
б) y sin 2 x ln x ,
г) y 81 sin( x4 ) . |
|
|||
б) y e1 x |
2 |
x |
|
|
|
arccos |
|
, |
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
г) y tg(3 x2 3) .
б) y 3 x2 arcctg 2x ,
11
|
x |
|
|
|
|
|||
|
cos |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
7 |
|
|
|
|
|
||
в) y |
, |
г) y 5 |
ctg(4x 1) . |
|||||
e1 3x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. а) y arccos |
|
|
|
|
6 4x , |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
в) y |
cos3 x |
|
, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x
8.а) y 3 e9 arctg (x2 1) ,
в) y sin 5x , ctg 2 x
9.а) y cos7 x 3 2x ,
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
y |
x |
|
|
, |
|||
ln( x2 1) |
||||||||
|
|
x |
|
e2 x , |
||||
10. а) |
y cos |
|
|
|
||||
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
в) y |
arccos 5x |
, |
||
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
ctg |
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
x |
|
|
sin x |
|
|
б) |
y ln |
|
|
e |
|
, |
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
г) y 2arccos(x3 ) .
б) y ln(3x 2) cos x ,
г) y 2arccos(x3 ) .
|
x |
|
|
5 x |
|
|
б) |
y sin |
|
|
e |
|
, |
|
|
|||||
|
|
4 |
|
|
|
|
г) y arccos x4 8 .
б) y ln 4 x sin x ,
1
г) y sin(4 x ) .
|
|
3. ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ |
|||
|
|
3.1 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ |
|||
|
П р и м е р 1. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию |
||||
y |
5x2 |
|
|||
|
и на основании полученных результатов построить еѐ график. |
||||
|
|||||
|
x2 25 |
|
|||
|
Решение. Проведем исследование функции y |
5x2 |
по следующей схеме: |
||
|
x2 25 |
|
1.Область определения функции.
|
В область |
определения исследуемой функции не входят лишь те значения x , |
||||||
для |
которых |
x2 25 0 , |
то |
есть |
x 5 |
и |
x 5. |
Поэтому |
D( y) ( ; 5) ( 5;5) (5; ) . |
|
|
|
|
|
|
2.Вид функции.
Выясним, является ли функция четной или нечетной.
12