3859
.pdf31
Ответ: 92 кв. ед.
Дифференциальные уравнения.
Укажите номера всех правильных ответов. 100. Укажите дифференциальное уравнение.
|
dy |
|
dx |
|
|
2 |
1) |
|
|
|
0 |
; |
2) 2x -3x+4=0; |
x 2 |
y |
|||||
3) 3x-4=0; |
|
4) 2х=64. |
101.Укажите дифференциальное уравнение первого порядка.
1) y"= cos(x); |
|
|
|
2) y"+3y'+4=0; |
||||||||||
3) y'=2x+4; |
|
|
4) y"=5x; |
|||||||||||
102. Разделить переменные в уравнении: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
dy |
|
|
dx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
y |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
dy |
|
dx |
; |
|
|
2) ydy=x2dx; |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
y |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) ydy=-x2dx; |
|
|
4) |
|
dy |
|
dy |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
y |
103. Назовите дифференциальные уравнения:
1)xdy+3ydx=0; |
2) y'-3y=0; |
3)3x2+2x-1=0; |
4) y"=cos(x). |
104. Назовите дифференциальные уравнения первого порядка.
1) y'-3y=6x; |
2) ydx-5xdy=0; |
3) y'=3x+2; |
4) y"=x2. |
105. Назовите линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
|
32 |
1) y"=cos(x); |
2) y"+3y'-4y=0; |
3) y"+2y'+4y=0; |
4) y"+3y'-4y=x. |
106. Назовите функции, которые являются решением линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:
λ x |
λ x |
|
|
x3 |
||
1) y=c1e 1 |
+c2e 2 |
; |
2) y= |
|
c1 x c2 ; |
|
6 |
||||||
|
|
|
|
|
||
3) y=c1eaxcos(bx)+c2eaxsin(bx); |
4) y=c1eλx+c2xeλx; |
107. Назовите уравнения с разделяющимися переменными:
1) 3x2dy-4y2dx=0; |
2) y'=ex; |
|
|||
x |
|
dx |
|
dy |
0. |
3) y"=e ; |
4) |
|
|
||
y 2 |
x 2 |
108. Назвать общее и частное решение дифференциального уравнения:
dy 2 x
dx
1) y= |
x 3 |
; |
2) y= |
x 2 |
c; |
||
|
|
|
|||||
3 |
|
2 |
|
|
|||
3) y=2x+c; |
4) y= |
x3 |
c |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Дополните утверждения.
109.Уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у и еѐ производные, называется______________ уравнением.
110.Решением дифференциального уравнения называется всякая
______________, которая обращает данное уравнение в тождество .
111.Задача нахождения частного решения, дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей
______________.
Решение типовых задач на нахождение решений дифференциальных уравнений
Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
y' cos2 x y tgx
33
Решение: Уравнение вида y' P(x)y Q(x) называется линейным. Если
Q(x) 0, то уравнение называется линейным неоднородным, а при Q(x) = 0 – линейным однородным. Общее решение однородного уравнения получается разделением переменных в уравнении y' P(x)y 0 . Нам надо уравнение
y' cos2 x y tgx , разделить на cos2 x , тогда получим, что y' |
y |
|
tgx |
, а |
||||||||||||||||||||
cos2 x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
соответствующее однородное уравнение |
y |
+ cos 2 |
x = 0. Разделяем в этом |
|||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
уравнении переменные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dy |
|
|
|
y |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dx |
cos 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
dy |
|
dx |
|
|
|
tgx ln |
|
|
тогда у = c e tgx . Полагаем |
|||||||||||||
|
|
|
|
и интегрируем ln |
y |
c |
, |
|||||||||||||||||
|
|
y |
cos 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теперь, что С – функция от х, т.е. С=С(х) и найдем эту функцию, используя правую часть уравнения
у=С(х) e tgx
|
|
|
|
tgx |
|
1 |
|
|
y C x e |
tgx |
C x e |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
cos 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
Подставляем теперь в уравнение, тогда получаем
|
|
|
C x e tgx |
C x |
e tgx |
|
C x e tgx |
|
|
tgx |
|
|
|
|||||
|
|
|
cos 2 x |
cos 2 x |
cos 2 |
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
после приведения подобных членов получаем: |
||||||||||||||||||
|
|
|
С x e tgx |
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
cos 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
разделяя переменные получаем: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dC x |
|
etgx tgx |
; |
|
|
|
dC x |
etgx tgxdx |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
dx |
|
cos 2 x |
|
|
|
|
|
|
cos 2 |
x |
|
|
|
||||
dC x |
etgx tgx dtgx ; |
|
C x tgx etgx etgx |
C |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(C1 - произвольная постоянная)
подставляем теперь полученное значение для С(х) в выражение для общего решения и получаем:
у = tgx etgx etgx C1 e tgx это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.
Линейные уравнения 1-го порядка можно интегрировать также методом Бернулли, который заключается в следующем. Полагая у=UV, где U=U(х) и V=V(х), преобразуем исходное уравнение у' +Р(х)у = Q(х) к виду:
U V UV P x U V Q(x ) или
U[V' + Р(х)V] + VU ' = Q(х) выберем теперь V таким образом, чтобы
V'+Р(х) V =0, т.е. V= e P ( x )dx ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
||
тогда V U |
|
Q(x ) |
или |
U |
|
|
Q(x ) |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
V |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
U Q(x ) e P ( x )dx |
или U c Q(x ) e P ( x )dx dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||
Теперь найдем общее решение |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
y U (x ) V (x ) e |
P ( x )dx |
|
|
|
P ( x )dx |
dx |
c |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
Q(x )e |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нашего примера будем иметь: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
y |
y |
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
cos 2 |
|
x |
cos 2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y U V ; |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
U V V U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
U V V U |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
U V |
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
cos 2 |
|
x |
cos 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
U V |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
V |
|
V U |
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
cos |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
V |
|
cos 2 |
x V 0 тогда V e |
|
|
подставляем это значение в уравнение и получаем:
|
tgx |
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
tgx |
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
e |
U |
|
cos 2 |
x |
тогда U |
|
e |
cos 2 |
x |
U tgx etgx etgx c
иy U V (tgxe tgx etgx c)e tgx tgx 1 c e tgx , т.е. общее решение
уравнения y tgx 1 c e tgx .
Библиографический список
Основная литература 1. Шипачев, В.С. Высшая математика. Полный курс [Электронный
ресурс]: учебник для бакалавров / В.С. Шипачев; под ред. А.Н. Тихонова. – 4- е изд., испр. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2014. – Серия: Бакалавр. Академический курс. – ЭБС «Юрайт».
2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс] : учеб. пособие для бакалавров / В.Е. Гмурман. – 12-е изд. – М.: Издательство Юрайт, 2014. – Серия: Бакалавр. Прикладной курс. – ЭБС «Юрайт».
35
Дополнительная литература
1.Сборник задач по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 [Электронный ресурс]
:учеб. пособие для бакалавров / под ред. А.С. Поспелова. – М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2014. – Серия: Бакалавр. – ЭБС «Юрайт».
2.Сборник задач по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 [Электронный ресурс]
:учеб. пособие для бакалавров / под ред. А.С. Поспелова. – М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2014. – Серия: Бакалавр. – ЭБС «Юрайт».
3.Уточкина, Е.О. Математика. Теория вероятностей [Электронный ресурс]: учеб. пособие / Е.О. Уточкина, Е.В. Смирнова, В.В. Зенина; ВГЛТА.
– Воронеж, 2014. – ЭБС ВГЛТУ.
4.Сапронов, И. В. Математическая статистика [Электронный ресурс]: лабораторный практикум / И.В. Сапронов, Е.О. Уточкина, А.И. Фурменко; ВГЛТА. – Воронеж, 2014. – ЭБС ВГЛТУ.
5.Математика. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра [Текст]: учеб. пособие: для студентов, обучающихся по направлениям подгот. 151000, 190600, 190700,250400, 230400, 220700, 080200, 022000 / И.В. Сапронов, В.В.
Зенина, Е.О. Уточкина, С.С. Веневитина; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВПО «ВГЛТА». – Воронеж, 2014. – 196 с. – Электронная версия в ЭБС ВГЛТУ.
36
Иван Васильевич Сапронов Александр Иванович Фурменко
Подписано в печать |
. Формат 60 90/16 |
|
Усл. печ. л. |
Уч.-изд. л. . |
|
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный лесотехнический университет имени Г.Ф.Морозова»
ФГБОУ ВО «ВГЛТУ», 394087, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8