3780

При дальнейшей обработке, например, расчете коэффициентов по формуле (2.10), целесообразно подставить в формулу (2.10) и в другие расчетные

Гипотеза о значимости коэффициентов регрессии проверяется следующим образом. Рассчитывают дисперсию коэффициента регрессии. Для факторных планов на двух уровнях она равна

i n

Затем находят доверительный интервал для коэффициента - тот интервал, в пределах которого коэффициент, в действительности равный нулю, может отклониться от истинного значения с данной малой вероятностью. Доверительный интервал dbi составляет

где t находят по таблицам критерия Стьюдента для выбранного уровня значимости.

Если для какого-либо коэффициента окажется, что

то данный член можно считать незначимым и исключить из уравнения регрессии.

Гипотезу адекватности проверяют следующим образом. Для каждой j-й

~

строки матрицы плана вычисляют расчетное значение y j . Предварительно из

12

уравнения регрессии вычеркивают незначимые члены. Затем находят остаточную дисперсию

n - число строк матрицы плана; p - число значимых коэффициентов регрессии. Проверку адекватности проводят по критерию Фишера

критерия Фишера для выбранного уровня значимости в зависимости от количества степеней свободы числителя (2.21) и знаменателя (2.15). При неадекватности уравнения переходят к более сложной модели.

2.4. Математическая формулировка оптимизационных задач

Целью математического моделирования зачастую является оптимизация параметров моделируемого процесса или объекта. При этом математическая модель оптимизации принимает форму, отличающуюся от математического описания процесса или объекта. В эту модель включаются физические представления о качестве управления процессом или объектом, или о степени полезности объекта, когда речь идет о проектировании. Вопросами моделирования и оптимизации различных процессов или объектов занимается наука «Исследование операций». В рамках этой науки операцией называют всякую целенаправленную человеческую деятельность, в том числе и производственную.

13

В общем случае для проведения операции ее исполнители располагают ограниченными ресурсами R. Имеется определенная свобода в выборе способов проведения операции (способов расходования ресурсов). Очевидно, различные способы x расходования ресурсов будут приводить к различным конечным результатам операции. Очевидно также, что всегда следует стремиться к наилучшему конечному результату операции, достижимому при заданных ресурсах, то есть ресурсы должны быть израсходованы наилучшим образом. Следовательно, результаты операции надо уметь сравнивать между собой и оценивать. Для оценки качества проведения операции служит критерий эффективности операции, который может быть представлен виде целевой функции (или функционала) W, зависящей от возможных способов проведения операции x , от затраченных ресурсов r , а также от случайных факторов :

где запись x X означает, что принятый способ проведения операции x должен принадлежать области допустимых значений X, а запись r R означает, что фактически затраченные ресурсы r должны принадлежать области допустимых значений затрат ресурсов R.

Соотношение (2.23) представляет собой в общем случае операционную математическую модель.

Первое уравнение, входящее в (2.23) есть критерий эффективности - целевая функция; два других соотношения образуют систему ограничений. Решение оптимизационной задачи состоит в поиске таких элементов решения

14

Под возможными способами проведения операции x обычно подразумевают управляемые параметры процесса или объекта, то есть такие параметры, которые можно менять по желанию людей, проводящих операцию (проектирование технологического процесса, объекта и т.п.).

Ограничения на управляемые параметры и ресурсы могут быть заданы в

или равенств

Частным случаем ограничений типа неравенств являются прямые ограничения

детерминированной. Если случайные факторы учитываются, модель называется стохастической. Часто величины, входящие в модель (2.24), могут быть функциями времени. В этом случае модель называется динамической. Если величины, входящие в (2.24), от времени не зависят, модель называется

статической.

Вформулировке (2.24) задача оптимизации есть задача

математического программирования. Если целевая функция и функции ограничений линейны, то имеем задачу линейного программирования. В

противном случае имеем задачу нелинейного программирования.

Взадаче математического программирования ограничения могут отсутствовать. В этом случае задача оптимизации есть задача безусловной оптимизации. Если ограничения присутствуют, то имеется задача условной оптимизации.

15

2.5. Метод неопределенных множителей Лагранжа решения нелинейных задач оптимизации

К классическим методам поиска экстремумов целевых функций относятся аналитические методы исследования функций с применением аппарата дифференциального исчисления. Как правило, эти методы позволяют найти лишь безусловные экстремумы.

Для непрерывной функции F( xi , ..., xn ) , имеющей непрерывные производные первого и второго порядков, необходимым условием экстремума в точке пространства управляемых параметров x служит равенство нулю в этой точке частных производных по всем переменным. Другими словами, для поиска экстремума берут частные производные от целевой функции по всем переменным, и полученные уравнения приравнивают к нулю:

Решив систему уравнений, находят координаты всех стационарных точек целевой функции. Однако остается неясным вопрос о характере стационарной точки. Это может быть либо максимум, либо минимум, либо точка вовсе не является экстремальной, а лишь точкой перегиба. Теоретически достаточное условие максимума имеет вид:

а условие минимума -

В некоторых случаях характер стационарной точки ясен из физического смысла задачи.

Аналитические методы исследования функций в общем случае не позволяют находить условные экстремумы. Но в случае ограничений-равенств задача условной оптимизации может быть сведена к задаче безусловной

16

оптимизации методом неопределенных множителей Лагранжа. Заметим, что ограничения-равенства в задаче оптимизации означают, что область допустимых значений представляет собой границу той области, которая бы была задана неравенствами. Часто из анализа характера целевой функции становится ясно, что внутри области допустимых значений, задаваемой ограничениями-неравенствами, целевая функция не имеет локальных экстремумов и, следовательно, ее экстремальное значение будет находиться на границе этой области. Таким образом, во многих случаях, предварительный анализ характера целевой функции позволяет заменить ограничениянеравенства на ограничения-равенства в модели оптимизационной задачи. Если же целевая функция имеет экстремумы внутри области допустимых значений, то задача, по сути, является задачей безусловной оптимизации и может быть решена классическими методами исследования функций на максимум-минимум.

Пусть в общем случае заданы целевая функция W ( x) и m ограничений равенств f j ( x) a j . Тогда можно введением новой вспомогательной функции

G свести задачу на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум (без ограничений). Эта функция формируется в следующем виде:

j 1

Здесь величины j , (j=1,...,m) называются неопределенными множителями

Лагранжа и выступают как новые независимые переменные наравне с xi, (i = 1,

..., n). Взяв производные

и приравняв их к нулю, получим систему из n + m уравнений. Ее можно решить либо аналитически, либо численно. В точке условного экстремума x * будем иметь G( x* , * ) W ( x* ) .

17

3. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

Рассмотрим задачу моделирования и оптимизации процесса резания древесины. К процессам резания мы отнесем точение, сверление, пиление, фрезерование, шлифование и др. операции. Этот вопрос в течение длительного времени исследовался Ф.Р. Фергиным. Им было выведено эмпирическое уравнение для себестоимости обработки 1 погонного метра заготовки, которое имеет вид:

где V1 - скорость подачи заготовки (величина посылки), измеряемая в мм; V2 - стойкость режущего инструмента, км;

A и B - коэффициенты, зависящие от затрат, соответственно первой и второй статьи.

К первой статье затрат относятся затраты на оплату труда рабочих, техническое обслуживание станка, электроэнергию. Ко второй статье затрат относятся затраты на замену режущего инструмента, его переточку, здесь же учитываются простои станка в период смены инструмента. Коэффициенты А и В определяются методом математического моделирования по результатам экспериментов.

Уравнение (3.1) может быть переписано в следующем виде:

тогда нетрудно установить, что диапазон изменения факторов u1 и u2 определяются неравенствами:

Значения u10 = (0,8 + 5)/2 = 2,9 и u20 = (0,08 + 2,5)/2 = 1,29 естественно принять за центр плана, а отклонения от этих значений до границ допустимого диапазона - за интервалы варьирования: 1 2,1 и 2 1,21.

Совершив операцию приведения переменных по формуле (2.8),

Значения откликов С, полученных в результате эксперимента при варьировании х1 и х2 на двух уровнях, приведены в таблице (аналогичные данные в качестве индивидуального задания к курсовой работе даны в приложении I).

Таблица 3.1 Расширенная матрица ортогонального плана первого порядка

Рассчитаем критерий Кокрена G по формуле (2.12) (наибольшая дисперсия в третьей строке)

G = 12,8·10-5/18,6·10-5 = 0,688.

Критическое значение критерия Кокрена, которое находим из приложения II, равно Gкр = 0,906 (n = 4, f = 1, a = 0,05). Полученное значение G меньше критического и, следовательно, можно принять гипотезу однородности. То есть задача нахождения коэффициентов регрессии (3.5) при полученных значениях откликов поставлена корректно и мы можем приступить к ее решению.

19

Рассчитаем усредненную оценку дисперсии воспроизводимости по формуле (2.14)

S2 = 18,6·10-5/4 = 4,65·10-5.

Дисперсия величин C j , вычисляемая по (2.16), составит

S 2 (C ) 4,65·10-5/2 = 2,325·10-5.

Число степеней свободы (2.15) при этом составит

f = 4·(2 - 1) = 4.

Теперь можно перейти к расчету коэффициентов регрессии по формуле (2.10). Поскольку коэффициент b0 определяется через фиктивную переменную

x0 (x01 = x02 = x03 = x04 = 1), то

Аналогично рассчитываем b1 и b2:

заменяя нормированные факторы x1 и x2 на u1 и u2 по формуле (2.9), получим

Для проверки гипотезы о значимости коэффициентов регрессии рассчитаем дисперсию коэффициентов регрессии по формуле (2.17)

20

S 2 (b1 ) 2,325 10 5 0,581 10 5 . 4

Из таблиц критерия Стьюдента (приложение II) находим t = 2,38 (f = 4; а = 0,05), а затем доверительный интервал для коэффициента b1 (2.18):

d b1 2,785,8110 6 6,7 10 3 .

Таким образом, коэффициенты регрессии, меньшие по абсолютной величине, чем 6,7·10-3 , можно считать незначимыми. Из уравнения регрессии можно исключить свободный член. Математическая модель примет вид:

Вычислим по этой формуле значение отклика для каждой строки матрицы планирования:

Остаточная дисперсия вычисляется для двух степеней свободы (см. формулу (2.21): f = n – p = 4 – 2 = 2) по формуле (2.20)

Sост2 0,5476 10 5 .

Критерий Фишера (2.22) равен

F 0,5476 10 5 / 2,325 10 5 0,2355.

Критическое значение Fкр по уровню а = 0,05 (f1 = 2, f2 = 4) равно 6,94 (приложение II). Полученное значение критерия Фишера меньше критического, следовательно, уравнение адекватно.

Таким образом, результатом математического моделирования явилось определение коэффициентов А = 0,055 и B = 0,32 в уравнении (3.1) для определения себестоимости С обработки 1 пог. м заготовки.