Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

461.13 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

A + B = 0

p :

2A − 2B +C

0 → B = −

4A − 2C =

= −

Итак,

−

p + 4

−

p +1

−

p3 −8

p −2

+ 2 p + 4

p −2

( p +1)2 +( 3)2

( p +1)

+( 3)2

Используя формулы из таблицы и теорему смещения изображения, получим

f ( p ) =

e 2 t

−

e − t (cos

3 +

3 sin t

3 ).

§ 5. Решение дифференциальных уравнений с помощью операционного исчисления

Рассмотрим применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем.

Схема решения дифференциального уравнения следующая:

1.Искомую функцию, ее производные, правую часть уравнения заменяем их изображениями. В результате получаем так называемое операторное уравнение.

2.Решаем операторное уравнение относительно изображения искомой

функции.

3.Переходим от изображения искомой функции к оригиналу.

Пример 24. Найти решение дифференциального уравнения x ′′(t ) − 4 x′(t ) + 5 x (t ) = 0 , удовлетворяющее начальным условиям x (0 ) = 0, x′(0 ) = 1 .

Решение. Пусть x (t ) → X ( p ), тогда x′(t ) → pX ( p ) − x (0 ) = pX ( p ),

x′′(t ) → p 2 X ( p ) − px (0 ) − x′(0 ) = p 2 X ( p ) − 1 .

Запишем

операторное

уравнение

p2 X ( p) −1−4 pX ( p) +5X ( p) = 0,

откуда

X ( p) =

или

( p) =

→ e2t

sin t = x(t)

– искомое

− 4 p +5

( p − 2)

решение.

Пример

25.

Найти

решение

дифференциального

уравнения

x′′′(t ) + 4 x′(t ) = 1 ,

удовлетворяющее

начальным

условиям

x (0 ) = x′(0 ) = x′′(0 ) = 0 .

Решение.

Операторное

уравнение

имеет

вид

p3 X ( p) + 4 pX ( p) =

Выразим изображение X ( p) =

, разложим на простые дроби

( p

+ 4)

X ( p) =

+ 4 − p2

−

→

−

sin 2t.

p2 ( p2

+ 4)

p2 + 4

Итак, решение имеет вид x(t) =

−

1 sin 2t.

Пример

26.

Решить

дифференциальное

уравнение

′′

′

x (t) − 2x (t) −3x(t) = e

при начальных условиях x(0) = x (0) = 0.

Решение. Переходим к операторному уравнению

′

p −3

X ( p) − px(0) − x

(0) − 2(pX ( p) − x(0))−3X ( p) =

или p2 X ( p) −2 pX ( p) −3X ( p) =

−3

Выразим X ( p) : ( p2

− 2 p −3) X ( p) =

−

или ( p +1)( p −3) X ( p) =

, откуда

X ( p) =

p −3

( p +1)( p −

Разложим дробь на простейшие дроби

( p +1)( p −3)2

( p −3)2

p −3

p +1

1 = ( p +1) + B( p −3)( p +1) +C( p −3)2 .

При p = −1 имеем 1 =16C , т.е.

C =

При

p = 3 имеем 1 = 4 A , т.е.

A =

Сравнивая коэффициенты при

p2 :

B +C = 0 , откуда получаем B = −

Итак

X ( p) =

−

→

te3t −

e3t +

e−t .

4( p −3)2

16( p −3)

16( p +1)

Решение

дифференциального

уравнения

имеет

вид

x(t) =

te3t −

e3t

e−t .

Пример

27.

Найти общий

интеграл

дифференциального

уравнения

′′

′

= 2e

−t

cos 3t.

x (t) + 2x (t) +10x(t)

Решение. Возьмем произвольные начальные условия x(0) = c1 , x′(0) = c2 .

Операторное уравнение имеет вид

′

2( p +1)

X ( p)

− px(0) − x (0) + 2(pX ( p) − x(0))+10 X ( p) =

( p +1)2

+ 9

или

p2 X ( p) − c p − c

− 2 pX ( p) − 2c

+10 X ( p) =

2( p +1)

( p +1)2 + 9 .

Найдем X ( p) = c1

p +1

+ (c1 + c2 )

p +1

→

( p +1)2 +9

( p +1)2

(( p +1)2 +9)2

→ c e−t

cos 3t +

+ c

)e−t

sin 3t + 2e−t

sin 3t.

Ко всем дробям применено свойство смещения изображения, дающее

множитель e−t , к последней дроби применено свойство умножения изображений.

Искомое решение x(t) = c1e−t cos 3t + 13 (c1 + c2 )e−t sin 3t + 2e−t 6t sin 3t.

§ 6. Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений

Метод интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений сходен с методом интегрирования одного уравнения. В результате применения преобразования Лапласа получается система алгебраических уравнений для изображений.

Пример 28. Решить систему дифференциальных уравнений

x′ = x + 2 yy′ = 2x + y +1

при начальных условиях x(0) = 0, y(0) = 5.

Решение. Переходя к изображениям, получаем систему операторных уравнений

pX ( p) − x(0) = X ( p) + 2Y ( p);

pY ( p) − y(0) = 2 X ( p) +Y ( p) +

Найдем ее решение X ( p)

10 p + 2

Y ( p) =

5 p2 − 4 p −1

p( p +1)( p −3)

Разложим X ( p), Y ( p) на простые дроби

X ( p) =

10 p + 2

Приравняем числители

p( p +1)( p − 3)

p +1

p − 3

дробей

A( p2 − 2 p −3) + B( p2 −3 p) +C( p2 + p) =10 p + 2 .

Приравняем коэффициенты при равных степенях p

p2 :

A + B +C = 0

A = −

p : − 2A −3B +C =10 →

−3A −

=10 → B = −2

−3A = 2

C = −A − B

C =

X ( p) = − 2

−

→ x(t) = −

2 −2e−t

8 e3t .

3( p −3)

3 p

					25
Аналогично найдем		y(t) =	1	+ 2e−t +		8	e3t .
Аналогично найдем		y(t) =		+ 2e−t +			e3t .
		3			3
Пример 29.	Найти решение системы дифференциальных уравнений
x′′+5 y′− 4x = 0
		,
y′′−5x′− 4 y = 0		,
удовлетворяющее	начальным				условиям			′	=1,
удовлетворяющее	начальным				условиям			x(0) = 0, x (0)	=1,

y(0) = 0, y′(0) =1.

Решение. Перейдем к операторным уравнениям

	2	X ( p) −1	+5 pY ( p) − 4 X ( p)
p
		2
	p Y ( p) −5 pX ( p) − 4Y ( p) =

( p2 − 4) X ( p) +5 pY ( p) =1; или −5 pX ( p) + ( p2 − 4)Y ( p) = 0.

= 0; 0,

По правилу Крамера найдем X ( p), Y ( p) и разложим их на простые дроби

X ( p) =				p2 −4			=	1	4	−	1		1		,
		( p	2 +16)( p2 +1)					3	p2 +16		3		p2 +1

Y ( p) =				5 p		= −		1	p	+	1		p	.
	( p2		+16)( p2 +1)					3	p2 +16		3		p2 +1

Искомое решение системы имеет вид
x(t) =				1	(sin 4t −sin t),				y(t) =		1	(cos 4t −cos 4t).
											3
			3

§ 7. Интегрирование дифференциальных уравнений, содержащих в правой части функцию Хевисайда

Имеется широкий диапазон проблем, описываемых дифференциальными уравнениями, в правой части которых присутствует функция Хевисайда, например, уравнения динамики систем, которые подвержены воздействию сил не непрерывно, а только в некоторые моменты времени.

Часто правая часть исходного дифференциального уравнения является разрывной функцией, которую в обычном классическом анализе записывают в

виде нескольких аналитических выражений. Операционный метод решения таких уравнений позволяет записать правую часть в виде одного выражения.

Пример 30. Найти при нулевом начальном условии решение дифференциального уравнения

′

x (t) + x(t) = f (t),

где

f (t) = 1, 0 ≤ t < 2;

0, t ≥ 2.

Решение.

Запишем

f (t)

помощью

функции

Хевисайда

e−2 p

f (t) =η(t) −η(t − 2) →

−

. Перейдем к операторному уравнению

pX ( p) + X

( p) =

−

e−2 p

Выразим X ( p) =

1 −e−2 p

−

e−2 p

p( p +1)

p +1

и найдем x(t) =η(t) −e−t η(t) −η(t −2) +e−(t−2) η(t −2) .

Пример 31. Найти при нулевых начальных условиях решение

дифференциального уравнения

′′

x (t) + 4x(t) = f (t),

1,0 ≤ t < 2;

где

f (t) = −1,2 ≤ t < 4;

2, t ≥ 4.

Решение.

Запишем

f (t) =η(t) −2η(t −2) +3η(t

−4) →

−

2e−2 p

3e−4 p

Операторное уравнение имеет вид

( p2 +4) X ( p)

= 1−2e−2 p +3e−4 p .

Отсюда

X ( p) =

−2e−2 p

+3e−4 p

−

e−2 p

e−4 p

−

e−2 p p

−

e−4 p p

p( p2

+ 4)

4 p

2 p

p2 + 4

2( p2 +4)

p2 + 4

Решение дифференциального уравнения находим, пользуясь свойствами преобразования Лапласа

x(t) = 14η(t) − 12η(t −2) + 34η(t −4) − 14 cos 2t + 12 cos 2(t −2) η(t −2) −

−34 cos 2(t − 4) η(t − 4) .

§8. Разложение полиномов с вещественными коэффициентами на множители

В математическом моделировании в ряде случаев возникает необходимость в разложении полиномов высоких степеней на множители, т.е. в вычислении корней этих полиномов. Корни полиномов третьей и четвертой степеней можно вычислить по точным формулам, однако расчет достаточно сложен. Корни полиномов более высоких степеней в большинстве случаев можно вычислить только приближенно.

На основании метода Лина можно составить итерационные формулы приближенного вычисления корней полинома, которые и приводятся ниже для полиномов третьей, четвертой, пятой и шестой степеней. Для каждого из полиномов дается два варианта решения. Разложение полинома можно начинать по любому из вариантов, так как расположение корней заранее неизвестно. Если процесс вычисления оказывается расходящимся, то необходимо прейти к другому варианту. Вычисление следует закончить, если на некотором шаге значения коэффициентов разложения отличаются от предыдущих с допустимой погрешностью.

Полином третьей степени

G(s) = a	s3 + a s2		+ a	s +1
0		1	2
Вариант 1. Итерационные формулы
q1i = a2 − ci−1;		q0i = a1 − q1i ci−1; ci = a0 q0i			; где i =1,2,...; c0 = 0.

	28
Разложение полинома	G(s) = (cs +1)(q0 s2	+ q1s +1).
Вариант 2. Итерационные формулы
ri = a2 −b1,i−1; b0i = a0 r ; pi = a1 −boi ; b1i		= pi r ; где i =1,2,...; b10 = 0.
	i	i
Разложение полинома	G(s) = (rs +1)(b0 s2	+ b1s +1).

Полином четвертой степени

G(s) = a0 s4 + a1s3 + a2 s2 + a3s +1

Вариант 1. Итерационные формулы

q2i = a3 − ci−1; q1i

= a2 − q2i ci−1;

q0i

= a1 − q1i ci−1;

ci = a0 q0i

;

где

i =1,2,...;

= 0.

Разложение полинома

G(s) = (cs +1)(q0 s3 + q1s2

+ q2 s +1).

Вариант 2. Итерационные формулы

r = a −b ;

r = a −b

− r b ;

b0i = a0

;

1,i−1

2 0,i−1

1,i−1

r0i

pi = a1 − r1i boi ; b1i

= pi r

;

где i =1,2,...;

b00

= b10

= 0.

Разложение полинома

G(s) = (r0 s2 + r1s +1)(b0 s2

+ b1s +1).

Замечание. Предложенные итерационные формулы не применимы к полиномам, у которых a1 = a2 = 0. В этих случаях используют следующие возможности.

Если полином третьей степени, то его раскладывают в соответствии с формулами сокращенного умножения

a0 s3 +1 = (cs +1)(c2 s2 −cs +1), где c = 3 a0 .

Для разложения полиномов других степеней необходимо сделать подстановку s = z −γ , где γ = const (например, γ =1 ). Затем в полученных сомножителях следует вернуться к прежней переменной s.

§ 9. Решение дифференциальных уравнений методом операционного исчисления

Пример 32. Найти при нулевых начальных условиях решение дифференциального уравнения

′′′

′′

′

(t) − 4x (t) +5x

(t) + x(t) =1.

Решение. Перейдем к операторному уравнению

p3 X ( p) − 4 p2 X ( p) + 5 pX ( p) + X ( p) =

или

X ( p)( p

3 − 4 p2 + 5 p +1) =

Выразим

X ( p) =

.Чтобы

найти

оригинал, нужно

p( p

− 4 p

+ 5 p +1)

разложить знаменатель дроби на простые сомножители. Применим метод Лина

для полинома третьего порядка к полиному				G(s) = p3 − 4 p2 + 5 p +1.
Воспользуемся вариантом 1, расчет сведем в таблицу (см. табл. 2.)
				Таблица 2

	i	q1i = 5 − ci−1	q0i = −4 − q1i ci−1	ci =1/ q0i
	1	5,00000	-4,00000	-0,25000
	2	5,25000	-2,68750	-0,37209
	3	5,37200	-2,00162	-0,49960
	4	5,50000	-1,25000	-0,80000
	5	5,80000	0,64000	1,56250
	6	3,43750	-9,37109	-0,10671
	7	5,10700	-3,45355	-0,28956
	8	5,29000	-2,46590	-0,40553
	9	5,41000	-1,78190	-0,56120
	10	5,56000	-0,88640	-1,12816
	11	6,13000	2,92690	0,34166

Процесс вычисления расходится, следовательно, необходимо пользоваться вариантом 2. Расчет сведем в таблицу (см. табл. 3).

Таблица 3

			i	ri = 5 −b1,i−1					b	=1/ r			p	i	= −4 −b	b		= p		i	/ r
			i						0i		i			i	0i	1i				i		i
			1	5,00000					0,20000				-4,20000			-0,84000
			2	5,84000					0,17123				-4,17123			-0,71425
			3	5,71000					0,17513				-4,17513			-0,73120
			4	5,73000					0,17452				-4,17452			-0,72854
			5	5,72800					0,17458				-4,17458			-0,72880
			6	5,72900					0,17455				-4,17455			-0,72867
			7	5,72867					0,17456				-4,17456			-0,72871
			8	5,72871					0,17456				-4,17456			-0,72871
	Итерационный процесс сходится, следовательно, полином можно
	разложить следующим образом:
	G(s) = (5,728 p +1)(0,175 p2 − 0,729 p +1) .
	Выпишем X ( p)
				X ( p) =									1						=
				X ( p) =			p(5,728 p +1)(0,175 p2 − 0,729 p +1)												=
				=								1						=
				=	p(5,728 p +1) 0,175( p2 − 4,166 p + 5,714)													=
	=									1													=
	=	p(5,728 p +1) 0,175( p2							− 2 2,083 p + 2,0832 − 2,0832 + 5,714)														=
					=								1							.
					=	p(5,728 p +1) 0,175(( p − 2,083)2 +1,375)														.
	Разложим X ( p) на простые дроби
				X ( p) =			A	+		B		+			Cp + D							=
				X ( p) =				+	5,728 p +		1	+	0,175(( p −2,083)2 +				1,375)					=
							p		5,728 p +		1		0,175(( p −2,083)2 +				1,375)
=	A(5,728 p +1)(0,175 p2 − 0,729 p +1) + Bp(0,175 p2														− 0,729 p +1) + (Cp + D) p(5,728 p +1)									.
=				p(5,728 p +1) 0,175(( p − 2,083)2 +1,375)																				.
				p(5,728 p +1) 0,175(( p − 2,083)2 +1,375)

Приравняем числители дробей

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.2021183.73 Кб3301.pdf
#
08.01.2021460.46 Кб13010.pdf
#
17.04.20232.17 Mб13011-1.pdf
#
17.04.20232.17 Mб23011-2.pdf
#
08.01.2021460.74 Кб13011.pdf
#
08.01.2021461.13 Кб13012.pdf
#
08.01.2021461.3 Кб13013.pdf
#
08.01.2021461.3 Кб23014.pdf
#
08.01.2021461.38 Кб13015.pdf
#
08.01.2021461.46 Кб13016.pdf
#
08.01.2021461.66 Кб13017.pdf