369

2

УДК 658

Мещерякова А. А. Теория оптимизации процессов [Электронный ресурс]:

методические указания для самостоятельной работы студентов по направлению

подготовки 15.03.04 Автоматизация технологических процессов и производств

/ А.А. Мещерякова; ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2018. – 11 с.

Печатается по решению редакционно-издательского совета ВГЛТУ

Рецензент: д.т.н., профессор, зав. кафедрой электротехники и автоматики ФГБОУ ВО «Воронежский государственный аграрный университет имени Петра I» Афоничев Д.Н.

3

1. Введение

Учебным планом по направлению подготовки бакалавра 15.03.04 Автоматизация технологических процессов и производств предусмотрено изучение курса «Теория оптимизации процессов».

Программа курса включает изучение наиболее полное формирование у студентов знаний основных подходов к решению оптимизационных задач, включающих методы минимизации функций одной и нескольких переменных, а также методы, применяемые для решения нелинейных задач условной оптимизации большой размерности и задач вариационного исчисления и оптимального управления.

Врезультате освоения дисциплины студент должен:

–изучить основные положения теории оптимизации;

–уяснить конструктивные особенности оптимизационных алгоритмов;

–овладение методами линейного и нелинейного программирования;

–формирование у студентов навыков, необходимых для построения математической модели процесса, выбора характеристического критерия, выбора и программной реализации соответствующего алгоритма.

2.Общие указания

Методические указания предназначены для бакалавров 3-го курса обучения.

Цель лекций – дать основные направления по наиболее сложным разделам дисциплины, а также изложить материал по новейшим достижениям, не получившим достаточного освящения в учебной литературе.

Обзорный характер лекций не дает основание рекомендовать их в качестве единственного источника при подготовке к зачету.

В состав лабораторного курса «Теория оптимизации процессов» входят

имитационное моделирование и сетевое планирование и управление. При этом студент осваивает способы построения математических моделей производственных и технологических объектов, изучается различные методы оптимизации

При изучении раздела линейного программирования студент изучает решение задачи оптимизации производственной программы мебельного предприятия и транспортной задачи. При этом основное внимание студентов уделяется изучению графо-аналитического метода и симплекс-метода решения двумерных задач линейного программирования, а также решению задач оптимизации в MS Excel.

4

При изучении раздела целочисленного программирования студент изучает основные особенности постановки и решения задач целочисленного программирования, осваивает методы решения задач данного вида на примере алгоритма Р. Гомори, метода полного перебора, а также производит поиск оптимального решения с использованием процедуры «Поиск решения» в MS Excel.

В разделе нелинейного программирования студент изучает ряд особенностей, не свойственных задачам линейного программирования, рассматривает эти особенности на примерах геометрической интерпретации и графо-аналитического метода решения нелинейных задач, число переменных в которых равно двум. Учится составлять математические модели задач нелинейного программирования на примере задачи размещения складов готовой продукции и проводить поиск ее решения в MS Excel с использованием процедуры «Поиск решения».

При изучении методических указаниях к лабораторной работе по теме «Сетевое планирование и управление в лесозаготовительных и деревообрабатывающих производствах» студенты изучают основные понятия, правила и приемы сетевого планирования и управления в промышленности и экономике.

Настоящие методические указания к выполнению лабораторных работ могут быть рекомендованы не только при изучении курса «Теория оптимизации процессов», но и при постановке и решении задач курсового и дипломного проектирования студентами и диссертационных исследований аспирантами различных специальностей, сталкивающихся в своей деятельности с проблемами математического моделирования и оптимизации процессов и объектов различного характера.

3. Содержание разделов дисциплины

Раздел 1. Структура, классификация оптимальных систем.

Основные определения и терминология, цель, задачи и основные разделы лекционного курса, другие формы занятий. Роль математического и компьютерного моделирования и решения задач оптимизации в комплексной разработке и автоматизации проектирования и подготовки производства в области новых материалов и технологических процессов. Системный подход при оптимизации процессов.

Раздел 2. Постановка задач оптимизации и поиск оптимальных решений.

Классификация и постановка задач оптимизации, условия и критерии оптимальности. Построение целевой функции, безусловная оптимизация, линейные и нелинейные ограничения, многокритериальные задачи оптимизации. Активный и пассивный эксперимент. Планирование

5

экспериментов. Полный факторный эксперимент, дробные реплики, планы высоких порядков. Методы решения задач оптимизации: расчетноаналитические методы, методы поиска оптимума на основе статистических моделей. Линейное и нелинейное программирование оптимальных задач. Составление обобщенных параметров оптимизации. Постановка задач оптимального управления. Метод экспертных оценок. Факторный и дисперсионный анализ.

Раздел 3. Методы классического вариационного исчисления. обобщённая задача Лагранжа.

Классификация методов оптимизации. Методы классического вариационного исчисления. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функций без ограничений (скалярный и векторный случаи). Необходимые и достаточные условия существования условного экстремума в задачах с ограничениями. Теорема Сильвестра. Квадратичные формы. Уравнение Эйлера. Условие Лежандра. Условие трансверсальности. Задача на условный экстремум. Функция Лагранжа. Условия оптимальности в терминах седловых точек функции Лагранжа. Теорема Куна-Таккера. Принцип двойственности в задачах математического программирования.

Раздел 4. Методы оптимизации.

Методы одномерного поиска. Математическая постановка задачи. Унимодальность и основные свойства унимодальных функций. Глобальная и асимптотическая сходимость. Методы исключения интервалов: равномерного поиска, дихотомии, Фибоначчи, золотого сечения, метод ломанных. Полиномиальная аппроксимация и методы точечного оценивания. Методы оптимизации с использованием производных. Сравнительные оценки методов. Методы поиска экстремума функций многих переменных. Методы покоординатного спуска, метод Хука-Дживса, метод сопряженных направлений Пауэлла. Градиентные методы: метод Коши, метод Ньютона, метод ФлетчераРивза. Алгоритмы с самонастройкой параметра длины рабочего шага. Проблемы вычисления элементов матрицы Гессе. Квазиньютоновские методы, методы с переменной метрикой. Алгоритмы Дэвидона-Флетчера-Пауэлла, Поллака-Рибьера, Бройдена-Флетчера-Шенно. Сравнение методов и результатов вычислительных экспериментов.

Раздел 5. Модели и методы линейного программирования

Математическая постановка и особенности задач ЛП. Основные формы записи задач ЛП. Приведение задач ЛП к стандартной и канонической форме. Графический метод решения задач ЛП, характеристика экстремальных точек. Симплекс-метод. Оптимальные планы и их определение. Симплекс-таблица. Критерий оптимальности симплекс-таблицы и процедура улучшения плана. Метод искусственного базиса. Двойственная задача ЛП, двойственный

6

симплекс-метод. Анализ чувствительности в линейном программировании. Задачи целочисленного ЛП. Метод Гомори. Метод ветвей и границ. Способы построения дополнительных ограничений. Рекомендации составления моделей и решения задач ЛП.

Раздел 6. Методы нелинейного программирования для задач с ограничениями

Математическая постановка и особенности задач НП. Задачи выпуклого программирования. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Задачи квадратичного программирования. Практические приложения алгоритмов к решению экономических задач. Метод допустимых направлений Зойтендака. Сепарабельное программирование. Метод отсекающих плоскостей, метод линейных комбинаций. Методы штрафных и барьерных функций. Методы динамического программирования. Стохастическое программирование. Проблемы многокритериальной оптимизации.

4. Лабораторные занятия

Перечень лабораторных работ по курсу «Теория оптимизации процессов» представлен в табл.1.

Таблица 1 - Перечень лабораторных работ

7

5. Самостоятельная работа студентов

Часть материала курса вынесена на самостоятельное изучение студентами. Темы этой работы представлены в табл.2.

Таблица 2 - Перечень вопросов, выносимых на самостоятельное изучение

Контроль самостоятельной работы студентов осуществляется преподавателем. Контроль качества освоения дисциплины проводится посредством текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации обучающихся. Результаты контроля отражаются в баллах модульно-рейтинговой системы оценки знаний студента.

После прослушивания курса лекций, выполнения лабораторных работ студент допускается к сдаче зачета. Контрольные вопросы к зачету для бакалавров приведены ниже.

6.Контрольные вопросы

1.Основные определения и терминология, цель, задачи и основные разделы лекционного курса, другие формы занятий.

2.Роль математического и компьютерного моделирования и решения задач оптимизации в комплексной разработке и автоматизации проектирования

иподготовки производства в области новых материалов и технологических процессов.

3.Системный подход при оптимизации процессов.

4.Классификация и постановка задач оптимизации, условия и критерии оптимальности.

5.Построение целевой функции, безусловная оптимизация, линейные

инелинейные ограничения, многокритериальные задачи оптимизации.

6.Активный и пассивный эксперимент.

7.Планирование экспериментов.

8.Полный факторный эксперимент, дробные реплики, планы высоких

порядков.

8

9.Методы решения задач оптимизации: расчетно-аналитические методы, методы поиска оптимума на основе статистических моделей.

10.Линейное и нелинейное программирование оптимальных задач.

11.Составление обобщенных параметров оптимизации.

12.Постановка задач оптимального управления.

13.Метод экспертных оценок.

14.Факторный и дисперсионный анализ.

15.Классификация методов оптимизации.

16.Методы классического вариационного исчисления.

17.Необходимые и достаточные условия существования экстремума функций без ограничений (скалярный и векторный случаи).

18.Необходимые и достаточные условия существования условного экстремума в задачах с ограничениями.

19.Теорема Сильвестра.

20.Квадратичные формы.

21.Уравнение Эйлера.

22.Условие Лежандра.

23.Условие трансверсальности.

24.Задача на условный экстремум.

25.Функция Лагранжа. Условия оптимальности в терминах седловых точек функции Лагранжа.

26.Теорема Куна-Таккера.

27.Принцип двойственности в задачах математического программирования.

28.Методы одномерного поиска.

29.Математическая постановка задачи.

30.Унимодальность и основные свойства унимодальных функций.

31.Глобальная и асимптотическая сходимость.

32.Методы исключения интервалов: равномерного поиска, дихотомии, Фибоначчи, золотого сечения, метод ломанных.

33.Полиномиальная аппроксимация и методы точечного оценивания.

34.Методы оптимизации с использованием производных.

35.Сравнительные оценки методов.

36.Методы поиска экстремума функций многих переменных.

37.Методы покоординатного спуска, метод Хука-Дживса, метод сопряженных направлений Пауэлла.

38.Градиентные методы: метод Коши, метод Ньютона, метод Флетчера-Ривза.

39.Алгоритмы с самонастройкой параметра длины рабочего шага.

40.Проблемы вычисления элементов матрицы Гессе.

41.Квазиньютоновские методы, методы с переменной метрикой.

42.Алгоритмы Дэвидона-Флетчера-Пауэлла, Поллака-Рибьера, Бройдена-Флетчера-Шенно.

9

43.Сравнение методов и результатов вычислительных экспериментов.

44.Математическая постановка и особенности задач ЛП.

45.Основные формы записи задач ЛП. Приведение задач ЛП к стандартной и канонической форме. Графический метод решения задач ЛП, характеристика экстремальных точек.

46.Симплекс-метод. Оптимальные планы и их определение. Симплекс-

таблица.

47.Критерий оптимальности симплекс-таблицы и процедура улучшения плана.

48.Метод искусственного базиса. Двойственная задача ЛП, двойственный симплекс-метод.

49.Анализ чувствительности в линейном программировании.

50.Задачи целочисленного ЛП. Метод Гомори. Метод ветвей и границ.

51.Способы построения дополнительных ограничений. Рекомендации составления моделей и решения задач ЛП.

52.Математическая постановка и особенности задач НП.

53.Задачи выпуклого программирования.

54.Метод неопределенных множителей Лагранжа.

55.Задачи квадратичного программирования. Практические приложения алгоритмов к решению экономических задач.

56.Метод допустимых направлений Зойтендака.

57.Сепарабельное программирование.

58.Метод отсекающих плоскостей, метод линейных комбинаций.

59.Методы штрафных и барьерных функций.

60.Методы динамического программирования.

61.Стохастическое программирование.

62.Проблемы многокритериальной оптимизации.

Библиографический список

Основная литература

1. Овчарова, Т. Н. Методология научного исследования [Электронный ресурс]: учебник / А.О. Овчаров, Т.Н. Овчарова. — М. : ИНФРА-М, 2018. — 304 с. + Доп. материалы [Электронный ресурс; Режим доступа http://www.znanium.com]. — (Высшее образование: Магистратура). — www.dx.doi.org/10.12737/357

Дополнительная литература

1. Пижурин, А. А. Моделирование и оптимизация процессов деревообработки [Электронный ресурс]: учебник / А.А. Пижурин. - 2-е изд., испр. - М. : ИНФРА-М, 2018. - 259 с. - (Высшее образование: Бакалавриат). -

10

www.dx.doi.org/10.12737/textbook_594d1fcca6f003.44806925. - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/814553

2. Мещерякова, А.А. Теория оптимизации процессов [Электронный ресурс] : методические указания к лабораторным работам для студентов по направлению подготовки 15.03.04 Автоматизация технологических процессов и производств / А.А. Мещерякова ; М-во науки и высшего образования РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2018. – 92 с. - ЭБС ВГЛТУ.