Михайленко Е.В. Математика. Ч. 1. Элементы общей алгебры

(x * y) * z = x * (y * z)

Пример. Операция умножения, заданная на множестве многочленов с целыми коэффициентами является ассоциативной.

Антипример. Операция деления, заданная на множестве рациональных чисел не является ассоциативной, например,

(120 : 6) : 2 = 10, однако 120 : (6 : 2) = 40.

Алгебраическая операция f на множестве A называется идемпотентной, если для x A выполняется:

x * x = x

Пример. Бинарная операция, определяемая на множестве натуральных чисел, как нахождение максимального из двух чисел max(a1, a2) является идемпотентной, например,

max(-7, -7) = -7.

Пример. Пусть множество A = {№, %, @}. Зададим на множестве A операцию с помощью таблицы Кэли:

Тогда

№ * № =№;% * % = %; @ * @ = @.

Антипример. Операция сложения, определенная на множестве натуральных чисел не является идемпотентной, например,

2 + 2 = 4 , значит 2 + 2 ≠ 2.

Нейтральные элементы

Элемент el множества A называется левым нейтральным элементом относительно операции f, если f (el, x) = x для x A .

Элемент er множества A называется правым нейтральным элементом относительно операции f, если f (x, er) = x для x A.

111

Пример. Относительно операции возведения в степень, заданной на

множестве натуральных чисел, левого нейтрального элемента нет, а правым нейтральным элементом является число 1.

Элемент e множества A называется нейтральным элементом относительно операции f, если

f (e, x) = f (x, e) = x

при любом x из множества A.

Пример. Относительно операции сложения, заданной на множестве действительных чисел, нейтральным элементом является число 0.

Пример. Относительно операции умножения, заданной на множестве действительных чисел, нейтральным элементом является число 1.

7.3. Алгебраические структуры

Определение алгебры

Алгеброй (универсальной алгеброй, Ω-алгеброй) называется структура,

заданная на некотором множестве A, называемом носителем данной алгебры, и некотором множестве операций Ω на A, называемое сигнатурой данной алгебры.

Алгебру, носитель которой есть конечное множество, называют конечной алгеброй.

Пример. Алгебра ({-1, 1}, ), где носитель – множество чисел {-1, 1}, а сигнатура состоит из операции умножения.

Пример. Алгебра (Z, +, , НОД, НОК), где носитель – множество целых чисел, а сигнатура состоит из операций сложения, умножения, нахождения наибольшего общего делителя, наименьшего общего кратного.

Группоиды, полугруппы, группы

Рассмотрим алгебры, сигнатуры которых состоят из одной. бинарной операции. Эту операцию будем обозначать точкой ∙ и условно называть в этом случае умножением.

112

Группоидом называют любую алгебру (G, ), сигнатура которой состоит из одной бинарной операции. В группоиде на бинарную операцию нет никаких ограничений.

Группоид (G, ) называют полугруппой, если его операция ассоциативна, т.е. для любых элементов a1, a2, a3 выполняется

a1 (a2 a3 ) = (a1 a2) a3.

Пример. Алгебра (V3,х), где носитель - множество свободных векторов V3 с операцией векторного умножения - группоид, но не полугруппа, так как векторное умножение не ассоциативно.

Пример. Алгебра (N,^), где носитель - множество натуральных чисел N с

операцией возведения в степень будет только группоидом, так как

a(bc ) (ab )c

Пример. Алгебра (N,+) где носитель – множество натуральных чисел N с операцией сложения является полугруппой.

Группоид (G, ) называют моноидом, если его операция ассоциативна и относительно операции существует нейтральный элемент. Его называют нейтральным элементом моноида или единицей моноида и обозначают 1.

a 1 = 1 a = a.

Полугруппа называется коммутативной, если ее операция

коммутативна.

Пример. Алгебра (N0,+), где носитель – множество неотрицательных целых чисел, а сигнатура состоит из операции сложения, есть коммутативный моноид, в котором единица моноида – число 0.

Пример. Алгебра (Z, ), где носитель – множество целых чисел, а сигнатура состоит из операции умножения, есть коммутативный моноид, в котором нейтральный элемент - число 1.

Коммутативную полугруппу, операция которой идемпотентна, называют

полурешеткой.

113

Пример. Алгебра (N, НОК), где носитель – множество натуральных чисел, а сигнатура - операция вычисления наименьшего общего кратного двух чисел, является полурешеткой.

Группоид (G, ) называют группой, если

1)операция ассоциативна;

2)существует нейтральный элемент;

3)для a G существует обратный элемент a-1, такой что

a a-1 = a -1 a = 1.

Группа называется абелевой (коммутативной), если ее операция

коммутативна.

Пример. Алгебра (Z,+,0 ) является абелевой группой, т.к. операция сложения ассоциативна и коммутативна, число 0 есть нейтральный элемент, для каждого целого числа a существует обратный элемент -a.

Пример. Алгебры (Q/{0}, ,1) и (R/{0}, ,1) называют мультипликати-

вной группой рациональных чисел и мультипликативной группой действительных чисел. Обе группы являются абелевыми.

Пример. Алгебра ({0,1,2,3}, +mod4 ,0), в которой алгебраическая операция определена как остаток от деления арифметической суммы двух чисел на четыре является абелевой группой.

Пример. Алгебра ({-1,1}, ,1), является абелевой группой.

Группа подстановок

Взаимно однозначное отображение множества A на себя, называется подстановкой множества A.

В случае, когда множество A конечно, подстановку удобно записывать в виде таблицы из двух строк.

Например,

Последовательное выполнение отображений двух подстановок π1 и π2 называется композицией этих подстановок.

114

Пример. Выполнить композицию двух подстановок π1 и π2, если

При выполнении композиции получим:

Множество S(A) всех подстановок непустого множества A образует группу относительно операции композиции. Она называется симметрической группой подстановок множества A. Данная не является абелевой.

Пример. Выполнить композицию двух подстановок π2 и π1, если

При выполнении композиции получим:

Как видим, результат выполнения композиции получился отличным от результата предыдущего примера.

7.4. Кольца, тела, поля

Кольцом называют алгебру (R,+, , 0, 1), сигнатура которой состоит из двух бинарных операций, причем для любых a, b, c R выполняются равенства:

1)a + (b + c) = (a + b ) + c

2)a + b = b + a

3)a + 0 = a

4)для a G существует элемент a*, такой что a + a* = 0

5)a (b c) = (a b ) c

6)a 1 = 1 a = a

7)a (b + c) = a b + a c, (b + c) a = b a + c a

Операцию + называют сложением кольца, операцию умножением кольца, элемент 0 – нулем кольца, элемент 1 – единицей кольца.

115

Е.В. Михайленко. – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2008.

7.Михайленко Е.В. Информатика и математика: учеб. пособие / под общ. ред. Е.В. Михайленко / Е.В. Михайленко, С.В. Гуде, И.Н. Старостенко, Ю.Н. Сопильняк, П.В. Арбузов. – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2007. Ч. 2: Информатика. – 330 с.

8.Михайленко, Е.В. Комбинаторный анализ: лекция / Е.В. Михайленко.

– Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2014. – 26 с.

9.Михайленко Е.В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учеб. пособие / Е.В. Михайленко, М.А. Жукова. –- Краснодар: Краснодарский

университет МВД России, 2010. – 163 с.

117

Е.В. Михайленко. – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2010. – 44 с.

13. Михайленко Е.В. Прикладная математика: курс лекций / Е.В. Михайленко, А.А. Хромых. – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2014. – 192 с.

14.Михайленко Е.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / Михайленко Е.В., Жукова М.А, Бараненко Ф.Ф. – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2011. – 142 с.

15.Михайленко Е.В. Эконометрика: учебное пособие / Е.В. Михайленко.

– Краснодарский университет МВД России, 2009.

16.Михайленко Е.В. Экономико-математические методы и модели: учебное пособие / Е.В. Михайленко, М.А. Жукова, Ф.Ф. Бараненко. –

Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2011.

17. Михайленко Е.В. Дискретная математика: учеб. пособие / Е.В. Михайленко, А.А. Хромых. – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2016. – 104 с.

18.Михайленко Е.В. Математический анализ и дифференциальные уравнения: учеб. пособие / Е.В. Михайленко М.А. Швецова. - Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2010. – 126 с.

19.Михайленко Е.В. Матричные игры: лекция / Е.В. Михайленко. – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2015. – 28 с.

118

119

Учебное издание

Михайленко Евгений Владимирович

МАТЕМАТИКА

Часть 1 Элементы общей алгебры

Курс лекций

В авторской редакции

ISBN 978-5-9266-1506-4

9 785926 615064

Подписано в печать 23.07.2019. Формат 60х84 1/16. Усл. печ. л. 7,0. Тираж 70 экз. Заказ 809.

Краснодарский университет МВД России. 350005, г. Краснодар, ул. Ярославская, 128.

120