2471

в 15 раз за счет применения ребер тепловой поток увеличился в 11 раз, что позволило охладить рабочее тело на 50 0С.

Для определения передачи тепла от горячей стенки к рабочему телу (воздуху) вначале находим режим течения воздуха (ламинарный или турбулентный) по формуле

где – средняя скорость воздуха (м/c) в зазоре между поршнем– вытеснителем и цилиндром; эквивалентный диаметр кольцевого зазора dэ dц dп, м; – кинематическая вязкость воздуха, м2/с при сред-

ней температуре – 100 0С.

Следовательно, движение в пограничном слое ламинарное

(Rе<105).

Для определения коэффициента теплоотдачи от нагретой стенки цилиндра к воздуху найдем критерий Нуссельта по формуле

где Pr – критерий Прандтля, для воздуха он равен 0,7 и характеризует соотношение между полями скоростей и температур.

Nu 0,67 6900,5 0,70,33 15.

Коэффициент теплоотдачи определяют из выражения

где – коэффициент теплопроводности воздуха, Вт/(м· К),

15 0,0321 240 Вт/(м2·К). 0,002

Тепловой поток, переданный горячим цилиндром рабочему телу, находится по формуле

где F – площадь нагрева цилиндра, м2 при прохождении воздуха в кольцевом зазоре; t – средний температурный напор в кольцевом зазоре при входе и выходе из него.

Ф 240 0,0084 50 100 Вт.

С увеличением зазора между цилиндром и поршнемвытеснителем уменьшаются коэффициент теплоотдачи и переданное количество теплоты рабочему телу.

Средний температурный напор определен из условия, что температура гильзы постоянная, например 200 0С. Воздух входит в кольцевой зазор (щель) при температуре 50 0С, на выходе приобретает температуру примерно равную температуре поверхности гильзы.

Двигатель Стирлинга представляет изолированную систему, не имеющую обмена с окружающей средой, которую он не загрязняет. Процесс сгорания топлива не зависит от времени (как у двигателей внутреннего сгорания), и его можно организовать с минимальным выбросом вредных веществ. При использовании энергии Солнца двигатель Стирлинга представляет механизм, не загрязняющий атмосферу. Главное преимущество двигателя Стирлинга в том, что он не имеет токсичного выхлопа газов и может работать на любом виде топлива.

Контрольные вопросы

1.Принцип работы двигателя внешнего сгорания.

2.Какой газ используется в качестве рабочего тела в двигателе внешнего сгорания?

3.Для чего предназначен рабочий поршень и поршень - вытеснитель?

4.Последовательность протекания цикла двигателя Стирлинга.

5.Расскажите принцип работы действующей модели Стирлинга.

6.Как рассчитывается теплообмен в каналах двигателя Стирлинга?

Приложение 1

Таблица П.1.1

Таблица производных

Таблица П.1.2

Таблица дифференциалов

Таблица П.1.3

Таблица основных неопределенных интегралов

11.cos2 x

Приложение 2

2.1. Число

Как известно, число входит в ряд формул по математике, физике, химии, биологии. Число («Пи») – математическая константа, выражающая отношение длины окружности к ее диаметру. Число выражается бесконечной десятичной дробью: 3,14159… . В расчетах чаще всего используется значение числа 3,14. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια − «окружность», «периферия» и περίμετρος − «периметр».

Если принять диаметр окружности за единицу d 1 , то длина окружности будет равна L d . В Евклидовой геометрии радиан равен 1800, один радиан равен 57,320.

Основное приближение числа = 22/7 принадлежит древнегреческому ученому Архимеду (212−287 гг. до н. э.). Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления числа . Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник,

Архимед получил оценку 3 10 3 1 .

717

Вавтомобилестроении число π играет важную роль. Например,

максимальная скорость у проектируемого автомобиля должна быть 40 м/с, или 144 км/ч (40 · 3,6). Наружный диаметр ведущего колеса D равен, например, 0,6 м. За один оборот колеса без пробуксовки автомобиль пройдет путь, равный ( D), или 1,88 м. Определим число полных оборотов колеса, чтобы автомобиль за один час преодолел расстояние 144 км, или 144 000 м. Для этого необходимо 144 000 м разделить на 1,88 м и получим 76 596 об/ч или 1276 об/мин. Зная частоту вращения колеса и частоту вращения вала двигателя, определяют передаточное отношение трансмиссии. При частоте вращения вала двигателя, например, равного 5600 об/мин, передаточное отношение трансмиссии должно быть равно 4,4.

2.2. Число e

Известно, что незатухающую волну во времени графически можно изобразить синусоидой или суммой синусоиды и косинусоиды. В математике, физике, электротехнике такую волну (с амплитудой, рав-

ной 1, описывает экспоненциальная функция ei t cos t isin t, где − частота гармонических колебаний. Здесь записана одна из самых знаменитых математических формул − формула Эйлера. Именно в честь великого Леонарда Эйлера (швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук (1707 − 1783) по первой букве его фамилии и названо число е. Покажем, чему равно значение этой известной константы.

Если последовательность xn монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел (теорема Вейерштрасса). Вспомним определение предела последовательности. Итак, число а называется пределом последовательности xn , если для любого положительного числа найдется такое натуральное число N , что при всех n N выполняется неравенство xn a .

Проверим выполнимость условий этой теоремы на примере по-

Перепишем полученное выражение в следующем виде:

Покажем, что последовательность xn – возрастающая. Действительно, запишем выражение xn 1 и сравним его с выражением xn:

Непосредственным сопоставлением правых частей равенств для xn и xn 1 убеждаемся в том, что каждое слагаемое в выражении xn 1 больше соответствующего значения xn. Это следует из того, что для

еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность xn − возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех (то есть последовательность xn ограничена сверху): xn 3. Для доказательства заметим, что каждое выражение, стоящее в круглых

и ограниченная сверху, то есть имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3, то есть 2,5 e 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е с точностью до пяти знаков после запятой имеет вид 2,71828… .

Если в выражении f x ax в качестве a взять число e, то мы получим показательную функцию f x ex, играющую важную роль в естественных науках. Так, например, данная функция применяется для описания следующих процессов:

Процессы (органического) роста: g t g0ect , где g0 − начальная величина; с – постоянная роста.

Процессы распада: m t m0e t , где m0 − начальная величина;

– постоянная распада.

Затухающие колебания: f t e kt sin t , где − частота; − смещение по фазе; t − время.