2042
.pdf4.Дать понятие сюръективного соответствия.
5.Что называется образом и прообразом элемента, множества?
6.Дать понятие функционального и взаимно-однозначного соответствия.
7.Что называется функцией?
8.В чем разница отображения A в B и A на B ?
9.Что называется преобразованием множества?
10.Дать понятие обратного соответствия.
11.Дать определения инъективной, сюръективной и биективной функций.
12.Что называется сложной функцией?
13.Перечислить способы задания функций.
14.Что называется операцией? Понятие n -арной операции на множестве A.
15.Дать определения унарной, бинарной операций. Привести примеры.
16.Перечислить свойства бинарных операций.
17.Указать способы задания операций.
18.Перечислить способы задания унарных, бинарных операций.
19.Дать понятие алгебры. Что называется носителем и сигнатурой алгебры?
20.Что называется группоидом?
21.Дать определения мультипликативного и аддитивного группоида.
22.Дать определение алгебраической структуры, обозначение.
23.Дать определение группы.
24.Дать понятие коммутативной или абелевой группы.
25.Что называется гомоморфизмом и изоморфизмом алгебры?
26.Дать определения кольца, тела, поля.
Упражнения
1.Проверить, является ли полем множество рациональных чисел.
2.Проверить, является ли множество квадратных матриц второго порядка относительно операций сложения и умножения кольцом.
3.Определить, является ли множество A 3;0; 3 с операцией
сложения «+» группой.
4.Проверить, является ли телом множество чисел вида a 2b , где a,b N .
5.Определить, является ли алгебра A 
a sin x, 
группой?
Расчетно-графическая работа по разделу «Множества и отношения»
Вариант 1 |
|
|
1. Даны множества A a,b,d,e, f ,k ; |
B a,b,e, f ; |
C b,e, f ,h . |
Найти A B; B C ; A B; A \ B; A B C . |
|
|
2.Дано множество чисел M 2,4,6,8,10 . Для этого множества задано отношение T : a,b T , где b делится без остатка на a . Построить матрицу смежности для T . Определить свойства T .
3.Определить, является ли алгебра A a x, группой. Пусть a
целое число. Построить семейство функций a x .
4. Найти образ отрезка 1,3 при отображении y x12 . Построить график функции, найти область ее определения и значений.
Вариант 2 |
|
|
|
|
1. Пусть M |
множество рабочих завода. |
Подмножества: K |
||
квалифицированные рабочие; |
B ветераны завода; C рабочие со |
|||
средним образованием; |
H рабочие с неполным образованием. Что |
|||
означает |
запись |
K B ; |
K B \ C ; |
K C B H ; |
B C K H ? Построить диаграмму Венна.
2.Задано множество чисел M 1,2,3,6,8,9 . Для этого множества дано отношение T : a,b T , если «b a » четное число. Построить матрицу смежности для T . Определить свойства T .
3.Определить, является ли алгебра A a x2, группой. Пусть a
целое число. Построить семейство функций a x2 .
4. Пусть функция |
y x4 |
осуществляет отображение множества |
1;2 на множество |
0,16 . |
Является ли это отображение взаимно- |
однозначным? |
|
|
|
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
|
1. |
Пусть Q множество автомашин в гараже. Подмножества: Л |
||||||
легковые; Г грузовые, |
причем Q Л Г ; О отечественные |
||||||
машины; И импортные; |
K машины красного цвета; Р |
машины |
|||||
на |
ремонте. Что означает запись |
Л О \ К ; |
Г И |
Л \ Р ; |
|||
Л Р Г \ И ? Построить диаграмму Венна. |
|
|
|
||||
2. |
Два завода З1 и З2 |
поставляют продукцию на склад С . Со склада |
|||||
продукция поступает в три магазина: М1,М2,М3 . |
|
|
|
||||
|
Ввести бинарное |
отношение Т |
«поставщик |
потребитель». |
|||
Построить матрицу смежности для Т . Определить его свойства. |
|||||||
3. |
Определить, является ли алгебра A a ln x, группой. Пусть a |
||||||
целое число. Пусть a – |
натуральное число. Построить семейство |
||||||
функций a ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти образ отрезка 0,3 при отображении y 3x2 . |
Построить |
|||||
график функции. Найти область её определения и значений. |
|
||||||
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
1. |
Даны множества |
A 1,3,5,7,9 ; |
B 3,4,5,7 . |
Найти |
A B; |
||
A B; A \ B; A B A \ B . |
|
|
|
|
|||
2. |
Карьер поставляет |
глину на два |
кирпичных |
завода, |
а |
заводы |
|
поставляют кирпичи на три ДСК. Ввести бинарное отношение Т «поставщик – потребитель», построить матрицу смежности для Т , определить его свойства.
3. |
Определить, является ли алгебра A |
a sin x, |
группой. Пусть a |
||||
целое число. Построить семейство функций a sin x . |
|
|
|||||
4. |
Найти образ отрезка 1,10 при отображении |
y lg x . Построить |
|||||
график функции, область её определения и значений. |
|
|
|||||
|
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
|
1. |
В библиотеке множества K |
|
книги |
и |
Ж |
|
журналы. |
Подмножества: Р раритеты; |
Н новинки; И |
|
книги на |
||||
иностранных языках. Что |
означает |
запись |
К Н \ И ; |
||||
Ж Р Ж \ И ; К Ж \ Н ?
2. Карьер поставляет песок на два завода, заводы поставляют продукцию на три ДСК. Ввести бинарное отношение Т
«поставщик потребитель», построить обратные отношения и суперпозицию отношений.
3. |
Определить, является ли алгебра А а ln x, |
группой. Пусть a |
|||
целое число. Пусть a |
натуральное число. Построить семейство |
||||
функции |
a ln x . |
0,3 при отображении |
|
||
4. |
Найти |
образ отрезка |
y 3x . Построить |
||
график функции, найти область определения и значений. |
|||||
|
Вариант 6 |
|
|
|
|
1. |
Пусть Q множество студентов в группе. Подмножества: Д |
||||
девушки; Ю юноши; |
Q Д Ю . Подмножества: О отличники; |
||||
Т |
|
троечники. |
Дать |
определение |
Ю \ О Д Т ; |
Д О Ю Т . Построить диаграмму Венна. |
|
||||
2. |
Фирма направила распоряжения двум своим филиалам: Ф1 и Ф2 . |
||||
Первый филиал Ф1 отдал распоряжение отделу рекламы, второй
филиал Ф2 |
отделу рекламы и бухгалтерии. |
|
|
||||
|
Ввести |
бинарное отношение |
Т «…отдать распоряжения…». |
||||
Построить матрицу смежности для Т , определить свойства Т . |
|
||||||
3. |
Определить, является ли алгебра |
A a tg x, группой. Пусть a |
|||||
|
целое число. Построить семейство функций a tg x . |
|
|
||||
4. |
Найти образ отрезка |
1;e2 |
при отображении y ln x. Построить |
||||
графики функции, область её определения и значений. |
|
|
|||||
|
Вариант 7 |
|
|
|
|
|
|
1. |
Пусть Ф множество фирм |
в городе. Подмножества: К |
|
||||
крупные; С средние; М |
|
мелкие фирмы; |
П фирмы, |
||||
выпускающие продукты питания; |
Б строительные фирмы; Г |
|
|||||
государственные предприятия; |
Ч |
частные фирмы. Что означает |
|||||
запись К Г \ С Ч ; |
К Г \ С Ч М Г ; |
М \ Б Ч ? |
|||||
Построить диаграмму Венна.
2. Германия имеет дипломатические отношения с Россией и Китаем. Германия и Китай поставляют в Россию автомобили. Ввести
бинарное отношение T1 «имеет дипломатические отношения», а также T2 «поставщик–потребитель». Построить матрицу смежности
для T1 и T2 . Определить свойства бинарных отношений. |
|
|
π |
|
3. Определить, является ли алгебра A cos nx, |
группой в |
|
0; |
|
|
. |
|||
Пусть a - целое число. Построить семейство функций cosnx . |
|
|
2 |
|
|
|
|
||
4. Найти образ отрезка 1,3 при отображении |
y 2x . Построить |
|||
график функции, область ее определения и область значений.
Вариант 8
1.Пусть множество A состоит из чисел вида 2n , а множество B состоит из чисел вида 3n . Из чисел какого вида состоит множество
M A B?
2.В порту Новороссийска были загружены два танкера. Первый танкер был разгружен в Адлере, а второй – в Феодосии. Ввести
бинарное отношение T «поставщик получатель». Определить его свойства. Ввести обратное отношение и суперпозицию бинарных отношений.
3. |
Определить, |
является ли алгебра A 2n , группой. |
Пусть n |
|
целое число. Построить семейство функций 2n . |
|
|
||
4. |
Найти образ |
отрезка 2,3 при отображении |
y x3 . |
Построить |
график функции, область её определения и область значений.
Вариант 9
1.Пусть A множество чисел вида 3n , а В – множество чисел вида 2n . Из чисел какого вида состоит множество M A B?
2.Сотрудники фирмы: директор, главный инженер, главный механик, главный бухгалтер, начальник отдела, кассир. Введено отношение «начальник–подчиненный». Определить обратное отношение и суперпозицию отношений. Задать его на матрице смежности.
3.Определить, является ли алгебра A 
xa2 , 
группой. Пусть a –
натуральное число; a целое число. Построить семейство функций
a .x2
4. |
Найти |
образ отрезка 1;3 |
при отображении y 1 |
. Построить |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
график функции, область её определения и область значений. |
|||||||||||||||
|
Вариант 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Пусть U a,b,c,d ; X a,c ; Y a,b,d ; Z b,c . |
X Y Z ; |
|||||||||||||
|
Что |
означает |
запись |
|
|
|
|
|
|
X Z Y |
; |
||||
|
X Y |
; |
|||||||||||||
X Y X Z ; |
X Y ; |
|
|
; |
|
; X Y Z ; |
X Y Z ; |
||||||||
|
|
|
|
X Y |
|||||||||||
X |
Y |
||||||||||||||
X\ Z ; X \ Z Y \ Z ?
2.В структуру завода входят: администрация, бухгалтерия, механический цех, автотранспортный цех. Введено бинарное
отношение T «руководящая структура подчиненное звено». Задать бинарное отношение T на матрице смежности и определить его свойства.
3. Определить, является ли алгебра A 
a 3x, 
группой. Пусть a
целое число; a натуральное число. Построить семейство функций
a 3x .
4. Найти образ отрезка 1,10 при отображении y lg x . Построить график функции, найти область её определения и значений.
Вариант 11
1. Пусть даны множества U 1,2,3,4,5,6,7 ; A 1,2,3 ; B 1,3,5,6 ;
C 4,5,6 . Найти множества A \ C ; B \ C ; C \ B ; A \ B; |
|
B ; |
||
A |
||||
B |
|
; A C ; C A \ B A . |
|
|
A |
|
|
||
2. Каждый из двух банков Б1 и Б2 кредитует каждый из трех заводов З1, З2 , З3 . Завод З1 поставляет продукцию на завод З2 , а завод З2 на завод З3 . Ввести отношение Т1 «кредитор заемщик» и Т2
«поставщик получатель продукции». Определить эти бинарные отношения на матрице смежности.
3. Определить, является ли группой алгебра A 
5kx ,
. Пусть k
натуральное число. Построить семейство функции 5kx .
4. Найти образ отрезка 1;1 при отображении y sin x . Построить график функции, область её определения и значений.
Вариант 12 |
|
|
|
|
|
1. Даны множества |
U a,b,c,d,e ; |
A a,b ; |
B a,c,d ; |
||
C b,c,d,e . |
Что |
означают |
|
множества |
A B C ; |
A B A C ; |
A B \ C ; |
C \ B A; |
C \ B C B ? |
||
Показать на диаграмме Венна.
2.Пусть M m множество книг в библиотеке. Введено отношение
T «две книги находятся в отношении T , если цвет переплета первой книги совпадает с цветом переплета второй книги». Проверить, является ли T отношением эквивалентности.
3. Определить, является ли алгебра A 
ax2,
группой. Пусть a –
целое число. Построить семейство функций ax2 .
4. Найти образ отрезка 0,2 при отображении y 3x . Построить график функции, найти область определения и значений.
Вариант 13 |
|
|
|
1. Пусть даны множества X 0,1 ; |
Y a,b . Найти |
X Y ; |
Y X ; |
X 2 ; X Y X ; Y X Y . |
|
|
|
2.Отношение T на множестве целых чисел определяется следующим образом: x, y T , если число x2 y2 делится на 2. Проверить, является ли T отношением эквивалентности.
3.Определить, является ли алгебра A a x, группой. Пусть a
целое число. Построить семейство функций a x .
4. Пусть функция y x4 осуществляет отображение множества1,2 , но множество 0,16 . Является ли это отображение взаимнооднозначным?
|
Вариант 14 |
|
|
1. |
Пусть даны множества A, |
B , |
C , такие, что A B C U , где U |
– |
универсальное множество; |
A, |
B и C попарно не пересекаются. |
Доказать справедливость равенств A B C ; B A C ; C A B ;
A B U \ C; A C U \ B; B C U \ A.
2. Два механических завода З1 и З2 поставляют оборудование на склад C . Со склада C продукция поступает в магазины M1 , M2 , M3 .
Ввести бинарное отношение T «поставщик – потребитель». Построить матрицу смежности для T , определить его свойство.
3.Определить, является ли множество квадратных матриц второго порядка относительно операций сложения и умножения кольцом.
4.Найти образ отрезка 1,10 при отображении y lg x . Построить
график функции, область её определения и значения.
Вариант 15
1. Пусть M множество машин в автопарке. Подмножества: Л легковые; Г грузовые, причем М Л Г ; И импортные; З
машины завода «ЗиЛ»; К машины завода «КамАЗ»; Р машины |
||||||||||
на |
ремонте. |
Что |
означает |
запись |
Л И ; |
Л И \ Р ; |
||||
Г И Л \ Р ; Л Р Г \ К ; Г \ З Л \ И ? |
|
|||||||||
2. |
Дано |
множество |
чисел |
М 2,3,6,8,9 . |
Для |
этого |
множества |
|||
задано |
отношение T : a, T , |
если « a » |
четное число. |
|||||||
Построить матрицу смежности для T . Определить свойства T . |
||||||||||
3. |
Определить, |
является ли алгебра A 2n , |
группой. Пусть n – |
|||||||
целое число. Построить семейство функции 2n . |
|
|
||||||||
4. |
Пусть |
функция |
y x2 |
осуществляет отображение |
множества |
|||||
2;3 на |
множество 0;8 . |
Является ли это отображение взаимно- |
||||||||
однозначным? Построить график функции, область её определения и значений.
Вариант 16
1. Пусть Q множество студентов группы. Подмножества: Д девушки; Ю юноши, Д Ю Q . Подмножества: B высокие; Б
брюнеты; Р |
рыжеволосые; О отличники; Т |
троечники. Дать |
||
определение |
Ю \ Б Д ; |
Д \ Т Ю \ Т ; |
Ю \ О |
Д Т ; |
Ю \ Б Д \ Р . |
|
|
|
|
2. Банки Б1 |
и Б2 дают кредиты заводам З1, |
З2 , З3 . |
Завод З1 |
|
поставляет продукцию на завод З3 , З2 на завод З1. Ввести отношение Т1 «кредитор заемщик» и Т2 «поставщик – получатель
продукции». Определить эти бинарные отношения на матрице смежности.
3. |
Определить, является ли множество М 2;0; 2 с операцией |
||||||
сложения «+» группой. |
|||||||
4. |
Пусть |
функция y |
|
tgx |
|
осуществляет отображение множества |
|
|
|
||||||
|
π ; |
π |
на множество 0,1 . Является ли это отображение взаимно- |
||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
однозначным? Построить графики функции, область её определения и значений.
|
Вариант 17 |
|
1. |
Даны множества A a,b,c,d,e, f ,k ; |
B a,b,d,k ; C b,c,e, f . |
Найти A \ B C ; A \ C B ; A B \ C ; B \ С \ A \ B . Построить |
||
диаграммы Венна. |
|
|
2. |
Дано множество чисел Q 2,3,6,8,9 . Для этого множества задано |
|
отношение T : a, T , если « a » - |
нечетное число. Построить |
|
матрицу смежности для T . Определить свойства T . |
||
3. |
Определить, является ли алгебра A |
a tg x, группой. Пусть a |
– целое число. Построить семейство функций a tg x .
4.Чему равна композиция функций f x и x , если:
a)f x 2x , g x lg x ;
б) f x x3 , g x 
x ; в) f x 2x , g x x 1?
Найти область определения функций и их композиций.
Вариант 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Даны |
множества |
U a,b,c,d |
|
|
универсальное; |
X a,c ; |
|||||||||||||
Y a,b,d ; |
Z b,c . Найти |
|
|
|
|
|
|
X Z Y |
; |
X Y Z ; |
|||||||||
X Y |
; |
||||||||||||||||||
X Y X Z ; X Y ; |
|
|
; |
|
; X Y Z ; |
X Y Z ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
X Y |
|||||||||||||||
X |
Y |
||||||||||||||||||
X \ |
|
; X \ Z Y \ Z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Z |
|
M 1,2,3,4,5,6 . |
|
|
|
|
|||||||||||||
2. Пусть |
дано множество |
|
Составить |
матрицы |
|||||||||||||||
отношения T1, T2 , T3 M M , если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) T1 «быть делителем»; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) T2 |
«иметь общий делитель, отличный от единицы»; |
||||||||||||||||||
в) T3 «иметь один и тот же остаток при делении на 2». |
|||||||||||||||||||
3. Определить, является ли алгебра A |
a 2x, |
группой. Пусть a |
|||||||||||||||||
целое число; |
пусть |
a натуральное |
число. Построить |
семейство |
|||||||||||||||
функций |
a 2x . |
y 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. Пусть |
функция |
осуществляет отображение |
|
множества |
|||||||||||||||
1;2 на множество 2;4 . Является ли это отображение взаимнооднозначным?
Вариант 19
1. Пусть Q множество рабочих цеха. Подмножества: В – ветераны
завода; C |
рабочие со средним образованием; |
T рабочие, |
|||
окончившие |
техникум; K |
квалифицированные |
рабочие. Что |
||
означает |
запись |
K B ; |
K B \ C ; |
K C B T ; |
|
B C K T ? Построить диаграмму Венна.
2.Дано множество чисел Q 1,3,6,7,8,9 . Для этого множества задано отношение T : a,b T , где b делится без остатка на a . Построить матрицу смежности для T и определить свойства T .
3.Определить, является ли алгебра A a ln x, группой. Пусть a –
целое число; пусть a – натуральное число. Построить семейство функций a ln x .
4. Найти образ отрезка 1;3 при отображении y x13 . Построить график функции, найти область её определения и значений.