1580

6. Найти вторую производную функции y x . x2 1

Решение. Сначала находим первую производную:

7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции

Решение. Запишем уравнение касательной y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ). В

y x 3 – уравнение нормали.

32

8.Найти производную функции y (sinx)sin x с помощью логарифмического дифференцирования.

89

Решение.

y (sinx)sinx; ln y ln(sinx)sinx;

y (ln(sinx)sinx ) ; y

y y (sinxlnsinx) ;

y y(cosxlnsin x sin x cos x) (sin x)sin x (cosxlnsin x sin x ctg x). sin x

9. Исследовать функцию и построить ее график:

а) y x3 4. x2

Решение.

1. Находим область определения: х 0.

2.Исследуем на четность. f ( x) f (x), следовательно, функция общего вида.

3. Находим точки пересечения с координатными осями: c осью Ох:

y = 0; с осью Оу: x = 0; y не существует.

4. Исследуем на непрерывность. Функция определена и непрерывна при всех х 0. х=0 – точка разрыва II рода, т.к.

lim y lim x3 4 .

x 0 x 0 x2

5. Находим асимптоты графика функции.

Так как в точке х=0 функция имеет бесконечный разрыв, то прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты ищем в виде y = kx + b.

Наклонная асимптота у = х.

90

6. Находим интервалы монотонности функции и точки экстремума.

y 1 8 ; y = 0 при х = 2; у = при х = 0. x3

Стационарная критическая точка x 2.

всей области определения.

8. Построим график функции, начертив сначала наклонную асимптоту , отметив точку экстремума и точку пересечения с осью Ох.

y

6

4

2

-2

-4

91

б) y lnx . x

Решение.

1.Находим область определения: х 0.

2.Исследуем на четность. f ( x) f (x), следовательно функция

общего вида.

3.Находим точки пересечения с координатными осями. С осью Ох: y = 0; x = 1. С осью Оу: x = 0; y не существует.

4. Исследуем на непрерывность. Функция определена и непрерывна в интервале (0;+ ). В граничной точке x 0 области определения

функция имеет бесконечный разрыв, так как lim ln x .

x 0 x

5. Находим асимптоты графика функции. Так как в точке x 0 функция имеет бесконечный разрыв, то прямая x 0 является вертикаль-

ной асимптотой.

Находим уравнение наклонной асимптоты y kx b.

Так как k 0, то наклонных асимптот нет.

При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя. Итак, k b 0 и уравнение горизонтальной асимптоты y 0. Таким образом, график имеет в качестве асимптот оси координат.

6. Находим интервалы монотонности функции и точки экстремума.

1 ln x

y . y = 0 при х =е. Стационарная критическая точка x e. x2

Исследуем знак производной на интервалах(0;е) и (е; ).

92

Экстремум функции ymax 1 0,37. e

7.Находим интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:

8. Построим график функции.

y

93

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y1 x3 4x 5 на отрезке 0;3 . 3

Решение. Найдём область определения функции D( f ) R. Далее

продифференцируем функцию y (1 x3 4x 5) x2 4.

3

Найдём критические точки: y 0 x2 4 0 x 2. Одна из них, x 2, принадлежит рассматриваемому промежутку.

Определим значение функции в границах отрезка и в этой точке:

y(0) 5; y(2) 1; y(3) 2. 3

Таким образом, min y 1;max y 5.

РАЗДЕЛ 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

6.1. Типовой расчет

1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных.

2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных.

a) линеаризовать функцию в окрестности точки Д ;

94

б) составить уравнение касательной плоскости и нормали к по-

~

верхности z= (x,y) в точке Д .

7.Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения.

8.Исследовать функцию z f (x, y) на экстремумы.

9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z f (x, y)

вобласти.

10.Дана система точек, координаты которых указаны в таблице.

для данной системы точек. Найти среднее квадратическое отклонение полученной прямой от системы данных точек.

95

96

10.

97

3. z x2 y2 .

7.cos460 cos590 .

8.z x2 xy y2 x 2y .

3. z x2 y2 .

98