1574
.pdfЗадачи для самостоятельного решения
1.1.На станке должны быть последовательно обработаны 5 различных деталей. Сколько вариантов должен проанализировать технолог для выбора наилучшей очерёдности их обработки?
1.2.Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, не повторяя цифр в числе?
1.3.В урне 10 белых шаров и 5 чёрных. Сколькими способами из урны можно вынимать наугад 3 шара, чтобы:
а) все три шара оказались белыми; б) все три шара оказались чёрными;
в) два шара оказались белыми, а один – чёрным; г) один шар оказался белым, а два – чёрными?
1.4.Сколько существует различных способов распределения
восьми приборов между тремя лабораториями, если:
а) все приборы различны; б) все приборы идентичны?
1.5.Текст кодируется цифрами от 0 до 9. Сколько различных сообщений можно передать комбинацией из 7 цифр?
1.6.Сколько существует пятизначных чисел, состоящих из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
1.7.Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, у которых каждая
следующая цифра:
а) больше предыдущей; б) меньше предыдущей?
1.8.Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, если каждую из них можно использовать не более одного раза?
1.9.Из слова “кот” перестановками букв можно получить такие слова: кот, ток, кто, тко, окт, отк. Их называют анаграммами. Сколько анаграмм можно составить из слова “логарифм”?
1.10.Сколько существует различных трёхцветных флагов с тремя вертикальными полосами одинаковой ширины, если можно использовать материю семи цветов?
1.11.Сколько пятизначных чисел, не кратных 5, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, используя каждую такую цифру в любом из чисел по одному разу?
1.12.Сколькими способами можно рассадить учащихся в классе, если мест 34,
априсутствует 30 человек?
1.13.Сколькими способами можно расставить 8 ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
1.14.Каждая сторона квадрата разбита на n частей. Сколько можно получить треугольников, вершинами которых являются точки деления (вершины квадрата считаются точками деления)?
1.15.Номер автомашины состоит из трёх букв русского алфавита (33 буквы) и четырёх цифр. Сколько существует различных номеров автомашин?
1.16.Сколькими способами можно разложить 7 монет различного достоинства по трём карманам?
1.17.У одного человека 6 книг по математике, а у другого - 10. Сколькими способами можно обменять 3 книги одного из них на 3 книги другого?
1.18.Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на 5?
1.19.Сколько можно составить пятизначных чисел, в десятичной записи которых хотя бы один раз встречается цифра 5?
1.20.Сколько можно указать пятизначных чисел, делящихся на 5, в десятичной записи которых нет одинаковых цифр?
1.21.Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 8, если каждую из них можно использовать любое число раз?
1.22.Сколькими способами из чисел 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13 можно составить несократимую дробь?
1.23.Имеются пять отрезков, длины которых равны соответственно 1, 3, 5, 7 и 9 единицам. Сколькими способами из них можно построить треугольник?
§2. Классическое определение вероятности
Событием (или случайным событием) называется всякий факт, который в результате опыта (эксперимента) может произойти или не произойти. Обозначаются события А, В, С, ….
Достоверным называется событие, которое в результате опыта непременно должно произойти, а невозможным – событие, которое в результате опыта не может произойти.
Пример 1. Если в урне находятся только цветные шары и из урны извлечён шар, то событие “извлечён цветной шар” является достоверным.
Пример 2. Если в ящике имеются только стандартные детали и из ящика наудачу извлечена деталь, то невозможным будет событие «извлечена нестандартная деталь».
Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае события называются совместными.
Пример 3. В ящике имеются стандартные и нестандартные детали. Наудачу берут одну деталь. Событие А – “появилась стандартная деталь” и событие В – “появилась нестандартная деталь” являются несовместными событиями.
Пример 4. Брошена игральная кость. Событие А – “появление двух очков” и событие В – “появление чётного числа очков” совместны, так как появление одного из них не исключает появления другого.
События А1, А2,..., Аn называются попарно несовместными, если любые два из этих событий несовместны.
Пример 5. Произведено два выстрела по мишени, события А1 - “два попадания”, А2 - “только одно попадание”, А3 - “ни одного попадания” попарно
несовместные.
Полной группой событий называется множество событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.
Элементарными событиями будем называть события i , которые:
1)составляют полную группу событий;
2)несовместны;
3)по известному элементарному событию можно судить, произошло или не произошло событие А, возможное в данном эксперименте.
Множество элементарных событий, поставленных в соответствие
эксперименту, называется пространством элементарных событий, обозначается
1, 2,....
Пример 6. При однократном бросании игральной кости элементарными
событиями |
являются |
события: |
1 |
1 |
– “появление одного очка”, |
2 2 , |
3 3 , |
4 4 , |
5 5 , |
6 |
6 . |
Событие А 1 , 3 , 5 – |
появление |
“нечётного числа очков” является подмножеством пространства элементарных событий, т.е. некоторым событием.
Элементарные события, принадлежащие событию А, называются благоприятствующими наступлению события А. В примере 6 это элементарные события 1, 3, 5.
События А1, А2,... называются равновозможными, если условия испытания
обеспечивают одинаковую возможность осуществления каждого из них.
Пример 7. Появление того или иного числа очков при бросании игральной кости есть события равновозможные, т. к. игральная кость изготовлена из однородного материала и имеет строго симметричную форму.
Таким образом, каждое событие А определяется как подмножество пространства элементарных событий . Очевидно, невозможному событию А не благоприятствует ни одно элементарное событие из , т. е. оно совпадает с пустым множеством ; достоверному событию благоприятствуют все события пространства
.
Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных равновозможных событий, благоприятствующих наступлению события А, к числу элементарных равновозможных событий:
Р(А) m . n
Рассмотрим некоторую область. Если вероятность попадания случайной точки в любую часть области пропорциональна мере этой области (длине, площади, объёму) и не зависит от её расположения и формы, то может быть использовано геометрическое определение вероятности: пусть геометрическая мера всей области геометрическая мера части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию, есть Sd , то вероятность события равна: P Sd /SD .
Задача 1. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.
Решение. Пространство элементарных событий представляет собой множество:
1– герб на первой монете, герб на второй монете;
2 – герб на первой монете, цифра на второй монете;
3 – цифра на первой монете, герб на второй монете;
4 – цифра на первой монете, цифра на второй монете.
Событие А (выпадение хотя бы одного герба) = 1, 2, 3 ,1, 2, 3, 4 . Следовательно, Р(А) 3/4 0,75.
Задача 2. В урне 3 белых и 9 чёрных шаров, из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар оказался чёрным (событие А)?
Решение. Число случаев, благоприятствующих событию А, равно 9. Число всех равновозможных случаев равно 12 (9+3). Следовательно, Р(А) 9/12 0,75.
Задача 3. В урне 4 белых и 7 чёрных шаров. Из урны одновременно вынимают
два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые (событие А)? |
|
11 10 |
|
||||||
Решение. Найдём число |
элементарных событий: n С2 |
|
55. |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
11 |
|
1 2 |
|||
Число случаев, благоприятствующих событию А, можно определить по формуле |
|||||||||
2 |
|
4! |
|
2 3 4 |
|
|
|
||
m С4 |
|
|
|
|
6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2!2! |
2 2 |
|
|
|
|||
т. к. белых шаров 4, а выбираем из них 2. Тогда Р m 6/55 0,109. n
Задача 4. Десять различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что три определённые книги окажутся поставленными рядом.
Решение. Представим себе, что три определённые книги связаны вместе. Тогда число возможных способов расположения связки на полке равно числу перестановок из 8 элементов (связка плюс оставшиеся 7 книг), т. е. Р8 8!. Внутри
связки три книги можно распределить Р3 3! раз. При этом каждая комбинация внутри связки может сочетаться с каждой из Р8 комбинаций. Поэтому число m
благоприятствующих случаев равно Р8 Р3. Число равновозможных исходов,
поставленных в соответствие опыту, n Р10 10!. Таким образом, исходная вероятность
Р |
Р8 Р3 |
|
8!3! |
|
1 2 3 4 5 6 7 8 1 |
2 3 |
|
|
1 |
0,067. |
Р10 |
|
|
|
|
||||||
|
|
10! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
10 |
15 |
||||||
Задачи для самостоятельного решения
2.1.В партии из 8 деталей имеется 6 стандартных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей ровно три - стандартные.
2.2.Бросаются одновременно две игральные кости. Найти
вероятности следующих событий:
А – "сумма выпавших очков равна 8"; В – "произведение выпавших очков равно 8";
С – "сумма выпавших очков больше, чем произведение".
2.3.Восемь различных книг расставлены наугад на одной полке. Найти вероятность того, что две определённые книги окажутся поставленными рядом.
2.4.Оля и Коля договорились встретить Новый год в компании из
10 человек. Оба хотели сидеть за праздничным столом рядом. Найти вероятность исполнения их желания, если среди друзей принято распределять места по жеребьёвке.
2.5.В урне 6 белых и 6 чёрных шаров. Из урны вынимают два шара. Найти вероятность того, что шары разного цвета.
2.6.На шести карточках написаны буквы к, а, р, е, т, а. После тщательного перемещения берут наудачу по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово "ракета"?
2.7.В конверте среди 100 фотокарточек находится разыскиваемая карточка. Из конверта наудачу извлекают 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная карточка.
2.8.В группе студентов 17 юношей и 8 девушек. Какова вероятность того, что студент, фамилия которого в списке группы окажется на первом месте, окажется девушкой?
2.9.В партии готовой продукции из 20 лампочек имеется 5 лампочек повышенного качества. В выборку отбирается 7 лампочек. Какова вероятность того, что в этой выборке окажется 3 лампочки повышенного качества?
2.10.Найти вероятность того, что среди пяти случайно взятых цифр нет совпадающих.
2.11.Буквы а, а, в, к, к, о, х написаны на отдельных карточках. Какова вероятность того, что, извлекая эти карточки по одной наудачу (без возвращения обратно), получим в порядке их выхода слово "Каховка"?
2.12.Телефонный номер состоит из пяти цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны.
2.13.Найти вероятность того, что при шести бросаниях игральной кости появятся все грани.
2.14.Четырёхтомное сочинение стоит на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что номера томов образуют монотонную последовательность?
2.15.Из 15 билетов выигрышными являются 4. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 6 билетов будет 2 выигрыша?
2.16.Из последовательности целых чисел 1, ..., 10 наудачу выбирают 2 числа. Какова вероятность, что одно из них меньше 6, а другое больше 6?
2.17.В урне находится 16 шаров, помеченных номерами 1, 2, 3, ...,
16.Наудачу извлечены 5 шаров (без возвращения). Найти вероятность того, что среди извлечённых шаров окажутся шары с номерами 1 и 2.
2.18.Из тридцати карточек с буквами русского алфавита наугад
выбираются 4 карточки. Какова вероятность, что эти четыре карточки в порядке выхода составят слово "небо"?
2.19.Вычислить вероятность того, что дни рождения всех 20 человек различны, предполагая, что в году 365 дней и что все дни рождения одинаково вероятны для каждого человека.
2.20.Трое пассажиров входят в лифт пятиэтажного дома. Какова вероятность того, что двое из них выйдут на одном этаже? Вероятность выхода пассажиров на каждом этаже считается одинаковой.
2.21.На складе имеется 15 кинескопов, причём 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 5 кинескопов окажется 3 кинескопа Львовского завода.
2.22.Телефонный номер состоит из 5 цифр. Найти вероятность того, что цифры одинаковы.
2.23.Куб, все грани которого окрашены, распилен на 125 кубиков одинакового размера. Все кубики перемешаны. Определить вероятность того, что кубик, извлечённый наудачу, будет иметь три окрашенные грани.
|
|
|
|
§3. Операции над событиями |
|
|
|
|
|
|||
|
Рассмотрим события: А – “появление трёх очков при бросании игральной |
|||||||||||
кости”, |
А 3 , В – “появление нечётного |
числа очков |
при |
бросании игральной |
||||||||
кости”, |
В 1, 3, 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Очевидно, что если произошло событие А, то непременно произошло и |
|||||||||||
событие В. В этом случае говорят “А влечёт за собой В” и записывается А В |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Суммой |
или |
объединением |
|||
|
|
|
|
|
|
|
двух событий А и В называется |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
событие С, состоящее в наступлении |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
хотя бы одного из событий А или В. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Символически это |
записывают так: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
С А В или С А В |
|
||||
|
|
|
|
|
В |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
событий |
||
|
|
А |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
интерпретируется |
|
как |
объединение |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(сумма) множеств (подмножеств), |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
множества |
элементарных |
событий |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 1.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
|
1. |
Найти |
сумму |
|
|
|
|
|
|
|
|
событий А – “появление одного очка |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
при бросании игральной кости” и В – |
|||||
|
|
|
Рис. 1.1 |
|
|
|
“появление двух очков при бросании |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
игральной |
кости”. |
Суммой |
А В |
||
является событие – “появление не больше двух очков при бросании игральной кости”.
Таким образом, суммой или объединением нескольких событий |
А1,А2,...,Аn |
называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного |
из событий |
А1,А2,...,Аn. Символически: |
|
АА·В
Рис. 1.2
n |
n |
С Ai |
, или Ai . |
l 1 |
l 1 |
Произведением или пересечением двух событий А и В называется событие С состоящее в
Водновременном наступлении А и В. Символически произведение записывается так:
C А В или С А В.
Интерпретация произведений событий дана на рис. 1.2.
Произведением или пересечением нескольких событий А1,А2,...,Аn называется событие С,
состоящее в одновременном наступлении всех событий А1,А2,...,Аn. Символически:
nn
СП Аi или C Ai .
l 1 |
l 1 |
Пример 2. Найти произведение событий А – “студенту попался экзаменационный билет с чётным номером” и В – “ студенту попался экзаменационный билет с номером, кратным 5”.
Решение. Произведением АВ является событие – “студенту попался экзаменационный билет с номером, кратным 5”.
Противоположными событиями называются два случайных события, если одно из них происходит в том и только в том случае, когда не происходит другое.
Событие, противоположное событию А, обозначается через А (читается “не
А”).
Вероятность противоположного события вычисляется по формуле |
|
Р(А) 1 Р(А). |
(1.1) |
Пример 3. Каждый из стрелков делает по одному выстрелу в мишень.
а) Какое событие противоположно событию А – “хотя бы один стрелок попал в
цель”?
б) Какое событие противоположно событию С – “каждый из стрелков попал в
цель”?
Решение.
а) А – “каждый из стрелков промахнулся”. Справедливость ответа вытекает из
того, что событие А означает поражение мишени, а событие А – не поражение мишени.
б) С – “хотя бы один из стрелков промахнулся”.
На основании этого примера приведём формулы, справедливые в
алгебре событий: А1 А2 ... Аn = А1 А2 ... Аn ;
А1 А2 ... |
Аn А1 А2 ... |
Аn , если Ai обозначает “i-й стрелок |
попал в цель”, а Ai – “ i-й стрелок промахнулся”.
Несовместными событиями называются два события А и В, если не существует элементарного события, благоприятствующего одновременно обоим событиям.
Например, при бросании игральной кости событие А – “выпадает количество очков, равное 1 или 2” и событие В – “выпадает количество очков, равное 4 или 5” несовместны.
Условной вероятностью события А относительно события В называется вероятность события А, вычисленная в предположении, что имело место событие В. Эта вероятность обозначается: Р (А/В) или РА(В)
Например, в урне 4 белых и 3 чёрных шара. Из урны последовательно вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар окажется чёрным при условии, что первый был чёрным.
Обозначим события: В – “первый шар чёрный”; А – “второй – чёрный”. Если произошло событие В, то в урне осталось 6 шаров, из которых два чёрных. Поэтому
искомая условная вероятность Р(А/В) 2/6 1.
3
Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них,
умноженной на условную вероятность другого относительно первого: |
|
||
Р(А В) Р(А) Р(В/ А) Р(В) Р(А/ В). |
(1.2) |
||
Для нескольких событий |
|
|
|
Р(А1 А2 ... Аn) Р(А1) Р(А2 / А1) ... Р(Аn / А1 ... Аn 1). |
(1.3) |
||
События А или В называются независимыми, если |
|
||
Р(А В) Р(А) Р(В). |
|
||
В этом случае |
|
|
|
Р(А) Р(А/В), |
Р(В) Р(В/ А). |
(1.4) |
|
Верно и обратное утверждение. |
|
|
|
События А1, А2,..., Аn называются независимыми в совокупности, если |
|
||
n |
n |
|
|
Р(П A ) П Р(А ). |
(1.5) |
||
l 1 i |
l 1 |
i |
|
Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме |
|||
вероятностей этих событий: |
|
|
|
Р(А В) Р(А) Р(В). |
(1.6) |
||
Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме их |
|||
вероятностей: |
|
|
|
n |
n |
|
|
Р( Ai) P(Ai). |
(1.7) |
||
l 1 |
l 1 |
|
|
Если события А и В совместны, вероятность их суммы вычисляется по |
|||
формуле |
|
|
|
Р(А В) Р(А) Р(В) Р(А В). |
(1.8) |
||
Для нескольких совместных событий вероятность их суммы определяется по
формуле
n
Р( Ai ) P(Ai ) P(Ai Aj ) P(Ai Aj Ak ) ...
l 1 i i j i j k (1.9)
|
( 1)n 1P(A |
A |
... A ), |
|
1 |
2 |
n |
где суммы |
распространяются |
на |
все возможные комбинации различных индексов |
i, j, k,..., |
взятых по одному, по два, по три и т. д. |
||
Задача 1. На заводе в цехе деталь определённого сорта изготовляют на двух станках. Вероятность изготовления детали на первом станке равна 0,6. Вероятность изготовления годной детали на первом станке равна 0,8. Найти вероятность того, что годную деталь изготовили на первом станке.
Решение. Обозначим события: А – “деталь изготовлена на первом станке”, В – “деталь годная”. Имеем: Р(А) 0,6, Р(В/ А) 0,8.
По формуле (1.2) находим: Р(А В) Р(А) Р(В/ А) 0,6 0,8 0,48.
Задача 2. В ящике находится 7 деталей первого сорта, 5 – второго сорта и 3 – третьего сорта. Из ящика последовательно вынимают три детали. Найти вероятность
того, что первая, наугад вынутая деталь окажется первого сорта (событие |
А1), вторая |
|||||||||||||||||
деталь – второго сорта (событие А2) и третья деталь – третьего сорта (событие А3). |
|
|||||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
Очевидно, |
|
что |
Р(А ) |
7 |
, |
Р(А / А ) |
5 |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
15 |
|
2 |
1 |
14 |
|
|||
Р(А / А А ) |
|
, т. к. событие |
А / А |
означает, |
что второй раз вынули деталь |
|||||||||||||
13 |
||||||||||||||||||
3 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
второго сорта при условии, что первый раз была вынута деталь первого сорта. Значит, при повторном вытягивании в ящике осталось 14 деталей, из них второго сорта – 5. Аналогично находим Р(А3 / А1 А2) по формуле (1.3)
Р(А А А ) Р(А ) Р(А / А ) Р(А / А А ) 7 5 3 1 . |
||||||||||||
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2 |
15 |
14 |
13 |
26 |
Задача 3. В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестандартных. Из ящика наугад берут одну за другой две детали. “Появление стандартной детали при первом испытании” – событие А, “появление стандартной детали при втором испытании” – событие В. Проверить, зависимы или независимы события А и В.
Решение. Р(А) 90 0,9. Вероятность события В зависит от результата
100
первого испытания: если в первом испытании событие А произошло, то
Р(В/ А) 90 1 89; 100 1 99
если же событие А не произошло, то
Р(В/ |
|
) |
90 |
|
|
10 |
. |
|
А |
||||||||
|
|
|||||||
|
|
100 1 |
11 |
|||||
События А и В зависимы, т. к.
Р(А) 0,9 89 Р(В/ А). 99
Задача 4. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.
Решение. Обозначим события: А – “выпадает 6 очков при бросании первой игральной кости”, В – “выпадает 6 очков при бросании второй игральной кости”. Поскольку события А и В совместны, то Р(А В) Р(А) Р(В) Р(А В).
Р(А В) Р(А) Р(В), т. к. события независимы. Р(А) 1 ; Р(В) 1 , поэтому
6 6
Р(А В) 1 1 1 1 11. 6 6 6 6 36
Задачи для самостоятельного решения
3.1.Какова вероятность того, что выбранное наудачу изделие окажется первосортным, если известно, что 3% всей продукции составляют нестандартные изделия, 75% стандартных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта?
3.2.Бросается игральная кость. Событие А состоит в появлении цифры 6, событие В – в появлении цифры, кратной трём. Выяснить, зависимы или независимы события А и В.
3.3.Вероятность одного попадания в мишень при одном залпе из двух орудий равна 0,36. Найти вероятность поражения при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
3.4.На 20-ти одинаковых жетонах написаны 20 двухзначных чисел от 11 до 30. Жетоны помещают в конверт и тщательно перемешивают. Какова вероятность вынуть жетон с номером, кратным 4 или 7?
3.5.Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?
3.6.Три стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель первого, второго и третьего стрелков соответственно равна 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что все три стрелка попадут в цель.
3.7.Из трёх станков, обслуживаемых одним рабочим, вероятность остановки в течение рабочей смены для первого станка равна 0,1, для второго – 0,15, для третьего – 0,2. Найти вероятность бесперебойной работы всех трех станков в течение одной смены.
3.8.В ящике имеется 20 изделий первого сорта и 5 – второго сорта. Из ящика наудачу берут одно за другим два изделия. Найти вероятность того, что оба изделия окажутся высшего сорта.
3.9.В каждой из трёх партий, содержащих по 20 изделий, имеется