1561
.pdf5. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
6. Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим полета осуществляется в 80% всего времени полета, условия перегрузки – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, а в условиях перегрузки – 0,4. Вычислить надежность прибора во время полета.
7. В группе 3 отличника, 7 хорошо подготовленных и 10 слабо подготовленных студентов. Вероятности успешной сдачи сессии ими соответственно 0,9; 0,7; 0,3. Наугад выбранный студент успешно сдал сессию. Найти вероятность того, что это был слабо подготовленный студент.
8. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди них 2 мальчика, если вероятность рождения мальчика равна 0,51.
9. Вероятность наступления события А в одном опыте равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 опытах.
10. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А появится не более 74 раз.
Вариант №23
1.На книжной полке хранятся 20 томов собрания сочинений Л.Н.Толстого. Библиотекарь уронила все 20 томов с полки и наудачу составила их обратно. Какова вероятность того, что
а) она расставит книги в прежнем порядке; б) тома с первого по пятый попадут на прежние места?
2.В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди них находятся 3 женщины
3.В коробке 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное; б) 2 окрашенных; в) хотя бы одно окрашенное изделие.
109
4.Вероятности появления каждого из двух независимых событий
Аи В соответственно равны 0,6 и 0,5. Найти вероятность появления только одного из них.
5.Узел содержит 2 независимо работающих детали. Вероятности отказа детали соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.
6.Три стрелка стреляют по мишени. Первый делает 3 выстрела, второй – 2, третий – 4. Вероятности промахов ими соответственно равны: первого – 0,3; второго – 0,1; третьего – 0,5. Найти вероятность того, что цель не была поражена.
7.Прибор может работать в двух режимах: 1) нормальном и 2) ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора; ненормальный – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1; в ненормальном – 0,7. Прибор вышел из строя за время t. Найти вероятность того, что прибор работал в нормальном режиме.
8.20% всех людей блондины. Найти вероятность того, что из восьми случайно выбранных людей не менее двух блондинов.
9.Автоматическая телефонная связь в среднем дает 0,3% неправильных соединений. Найти вероятность того, что из 2000 соединений телефонной связи неправильных будут не более 5.
10.Вероятность изготовления детали высшего сорта равна 0,4. Найти вероятность того, что из 260 деталей половина будет высшего сорта.
Вариант №24
1.Десять вариантов контрольной работы по математике распределяются случайным образом среди восьми студентов, сидящих в одном ряду. Каждый получает по одному варианту. Найти вероятность того, что
а) варианты первый и второй достанутся первым двум студен-
там;
б) первые восемь вариантов распределятся последовательно.
2.На складе 30 подшипников, причем 20 из них изготовлены данной бригадой. Найти вероятность того, что среди пяти взятых нау-
110
дачу подшипников окажется 3 подшипника, изготовленных этой бригадой.
3.Из колоды 36 карт вынимают сразу 3 карты. Найти вероятность того, что эти карты будут дамой, семеркой, тузом.
4.Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85, из второго – 0,91. Найти вероятность поражения цели.
5.Узел содержит 3 независимо работающие детали. Вероятности отказа деталей соответственно равны 0,02; 0,01 и 0,04. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.
6.Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим полета осуществляется в 80% всего времени полета, условия перегрузки – в 20 %. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, а в условиях перегрузки – 0,4. Вычислить надежность прибора во время полета.
7.Для контроля продукции из трех партий берется для испытания одна деталь. В одной партии 2/3 деталей бракованные, а в двух других все доброкачественные . Обнаружена бракованная продукция. Найти вероятность того, что продукция выбрана из партии, где все детали доброкачественные.
8.Вероятность выигрыша по облигации займа равна 0,25. Какова вероятность того, что из 8 облигаций 3 выиграют?
9.Монета подброшена 40 раз. Найти вероятность того, что орел выпадает в 25 случаях.
10.Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый из которых
независимо от остальных выходит из строя за время Т с вероятностью Р=5. 10-4 . Найти вероятность того, что за время Т откажет: а) хотя бы один элемент; б) ровно один элемент.
Вариант №25
1. На сортировочном пункте в ожидании подачи на подъездной путь стоят 6 вагонов для разных направлений. Найти вероятность того, что в нужном порядке стоят
а) все вагоны; б) первые два вагона.
111
2.Из колоды в 36 карт наугад вынимают 3 карты. Какова вероятность того. что среди них окажутся 2 туза?
3.В партии из 10 изделий 2 бракованных. Наугад выбирают три изделия. Определить вероятность того, что среди этих изделий будет хотя бы одно бракованное.
4.При изготовлении детали заготовка должна пройти 3 операции. Предполагая появление брака на отдельных операциях событиями независимыми, найти вероятность изготовления стандартной детали, если вероятность брака на первой операции равна 0,02; на второй –
0,01 ; на третьей – 0,03.
5.Проверяются изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.
6.Три стрелка стреляют по мишени. Первый делает 3 выстрела, второй – 2, третий – 4. Вероятности промахов ими соответственно равны: первого – 0,3; второго – 0,1; третьего – 0,5. Найти вероятность того, что цель не была поражена.
7.В группе спортсменов 15 биатлонистов, 10 лыжников, 7 конькобежцев. Вероятность сдать зачет равна: для биатлонистов – 0,9, 0,8
–для лыжников, для конькобежцев – 0,75. Спортсмен, вызванный наудачу, сдает зачет. Найти вероятность того, что вызвали биатлониста.
8.В магазин вошли 10 покупателей. Вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна 0,2. Найти вероятность того, что 6 из них совершат покупку.
9.Вероятность изготовления изделия высшего качества равна 0,8. Найти вероятность того, что среди взятых 60 изделий 30 окажутся высшего качества.
10.Автоматическая телефонная связь в среднем дает 0,3% неправильных соединений. Найти вероятность того, что из 2000 соединений телефонной связи неправильных будут не более пяти.
13.2.Типовой расчет по теме «Случайные величины»
Вариант №1
1. Случайная величина Х принимает значение, равное числу дам, которые появляются, если из колоды в 36 карт произвольно
112
вытаскиваются 4 карты. Построить ряд распределения случайной величины.
2. Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
0,1 |
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
0,4 |
|
0,5 |
Р(х) |
0,3 |
|
Р2 |
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
0,15 |
|
0,25 |
Найти |
Р2 , функцию |
распределения F(x). |
Построить |
график |
||||||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Случайная величина X задана функцией распределения |
|
|||||||||||||
|
|
|
0, |
|
x 3; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
F(x) |
|
|
x |
|
, |
3 x 1; |
|
|
|
|||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1, |
|
x 1. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,1).
4.Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
0, x 0;
|
|
0 x 2; |
f (x) a 4x 3 , |
||
|
0, |
x 2. |
|
||
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне-
|
|
1 |
|
|
ние случайной величины X; 4)P |
0 X |
|
. |
|
2 |
||||
|
|
|
5.В течение часа коммутатор, установленный для включения телефонных аппаратов в офисах торговой фирмы, получает в среднем 90 вызовов. Считая, что число вызовов на любом отрезке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что в течение 4 минут поступят три вызова; не менее трех вызовов.
113
6.Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение с характеристиками M X 2, D X 4
3. Найти f(x), F(x) и вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная величина X хотя бы раз попала в интервал 1,2 .
7. Дистанция Х между двумя соседними самолетами в строю име-
ет показательное распределение |
с математическим ожиданием |
M(X) 100 м. Опасность столкновения самолетов возникает при |
|
уменьшении дистанции до 20 м. |
Найти вероятность возникновения |
этой опасности.
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=7; =2; =6; =10; =4.
9.Пусть диаметр изготавливаемой в цехе детали является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами а=4,5 см и =0,05 см. Найти вероятность того, что: а) диаметр взятой наугад детали отличается от математического ожидания не более чем на 1 мм; б) первые две наугад взятые детали имеют диаметры от 4,45 до 4,55 см.
10.В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В
первом ящике два шара с номером 1, два шара с номером 2 и 2 шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №2
1.В партии из восьми деталей 2 с браком. Наудачу выбираются 2 детали. Случайная величина X – число бракованных деталей среди отобранных. Построить ряд распределения случайной величины.
114
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
0,2 |
0,4 |
0,7 |
0,8 |
1 |
Р(х) |
Р1 |
0,15 |
0,25 |
0,2 |
0,3 |
Найти Р1 , функцию распределения F(x). Построить график
F(x). Найти М(Х),D(X), (X).
3. Случайная величина X задана функцией распределения
0, |
x 1; |
|
||||
|
|
|
1 |
|
||
1 |
|
|||||
F(x) |
|
|
x |
|
, |
1 x 4; |
3 |
|
|||||
|
3 |
|
||||
1, |
x 4. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,1).
4.Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
0, x 0;
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
f (x) a cos2x, |
0 x |
|
|
; |
||
|
||||||
|
|
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
x . |
||||
|
|
4 |
|
|
|
|
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне-
|
|
|
|||
ние случайной величины X; 4)P |
0 X |
|
|
. |
|
2 |
|||||
|
|
|
|||
5. Известно, что в партии деталей имеется 10% бракованных. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х
– числа годных деталей из пяти, выбранных наудачу.
115
6. Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение с характеристиками M X 2, D X 4
3. Найти f(x), F(x) и вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная величина X хотя бы раз попала в интервал 3,5 .
7. Срок службы прибора – случайная величина Х, распределенная по экспоненциальному закону с параметром 3. Указать плотность вероятности f (x)и числовые характеристики этой случайно величины, построить кривую распределения.
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=14; =4; =18; =34; =8.
9.Ошибка измерения подчинена нормальному закону с параметрами a 50 дм; 10 дм. Найти вероятность того, что измеренное значение будет отклоняться от истинного не более чем на 20 дм.
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, три шара с номером 2 и два шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №3
1. Из колоды в 52 карты наугад выбираются 2 карты. Х - случайная величина, равная: –1, если обе карты красные; 0, если одна карта красная, а другая черная; 1, если обе карты черные. Найти ряд распределения случайной величины.
2. Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
116
Х |
-1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
Р(х) |
0,1 |
|
Р2 |
|
|
|
|
|
|
|
0,25 |
|
0,2 |
|
0,3 |
Найти |
Р2 , функцию |
распределения F(x). |
Построить |
график |
|||||||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. Случайная величина X |
задана функцией распределения |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
0, |
|
x 1; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
F(x) |
|
|
|
x |
|
, |
1 x 2; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1, |
|
x 2. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0, 2).
4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
0, x 0;
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
|
|
|||||
f (x) |
|
sinx, |
0 x |
|
|
; |
||
3 |
|
|||||||
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
0, |
x |
|
|
. |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне-
|
|
|
|||
ние случайной величины X; 4)P |
0 X |
|
|
. |
|
2 |
|||||
|
|
|
|||
5.Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит 2 вызова?
6. Цена деления шкалы амперметра равна 0,2. Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,03 А.
117
7.В течение часа коммутатор, установленный для включения телефонных аппаратов в офисах торговой фирмы, получает в среднем 90 вызовов. Считая, что число вызовов на любом отрезке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что в течение 2 минут поступят три вызова; не менее трех вызовов.
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=8; =4; =8; =12; =8.
9. Автомат изготавливает подшипники, которые считаются годными, если отклонение Х от проектного размера по модулю не превышает 0,77 мм. Каково наиболее вероятное число годных подшипников из 100, если случайная величина распределена нормально с параметром 0,4 мм?
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, два шара с номером 2 и 3 шара с номером 3; во втором ящике один шар с номером 1, два шара с номером 2 и три шара с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №4
1. В первой урне 4 белых и 6 красных шаров; во второй –3 белых, 3 красных и 4 черных. Случайная величина X принимает значение 0, если из трех наугад взятых шаров из произвольной урны нет белых; 1 –если один белый и один черный; 2 –в остальных случаях. Найти ряд распределения случайной величины.
2. Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
118