3-й семестр / Лекции / 15 - презентация

8)( ) = 3 ∙ 12.

Особая точка функции ( ): = 0.

Она является существенно особой точкой функции ( ). Чтобы убедиться в этом, достаточно выписать лорановское разложение функции ( ) в окрестности точки = 0:

( ) = 3 ( 12 − 3!1 6 + 5!110 −. . . ) = − 3!1 3 + 5!1 7 +. ..

Оно содержит бесконечное число членов в главной части. Вычет функции

в точке = 0 есть коэффициент −1 = 0, т.е. ( ) = 0.

=0

1

9) ( ) = ( − 2)2 ∙ −2

Особая точка функции ( ): = 2.

Она является существенно особой точкой функции ( ). Чтобы убедиться в этом, достаточно выписать лорановское разложение функции ( ) в окрестности точки = 2:

Оно содержит бесконечное число членов в главной части. Вычет функции

3 6+ 2+1

11) ( ) = 7 .

Особая точка функции ( ): = 0 = НН(0)(7) = П(7).

Преобразуем функцию, поделив почленно на 7: ( ) = 3z + 15 + 17, получили разложение в ряд Лорана по степеням . Вычет функции в точке

= 0 есть коэффициент −1 = 3, т.е. ( ) = 3.

=0

6.2. Вычет функции в бесконечно удаленной точке

В теории функции комплексного переменного кроме конечных комплексных чисел вводится понятие бесконечного комплексного числа,

называемого бесконечно удаленной точкой.

ɛ-окрестностью точки = ∞ называется внешность круга радиуса ɛ с центром в начале координат: | | > ɛ. Для точки = ∞ нет понятия действительной и мнимой частей, отсутствует понятие аргумента,

|∞| = +∞.

Определение 2. Функция ( ) аналитична в бесконечно удаленной точке= ∞, если функция (ζ) = f (1) аналитична в = 0.

Определение 3. Точка = ∞ называется изолированной особой точкой функции ( ), если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек функции ( ).

→ ∞ полюсы накапливаются в бесконечности, следовательно, не являются ИОТ.

Определение 4. Если = 0 – правильная, устранимая, полюс или существенно особая точка функции ( ), то точка = ∞ называется правильной, устранимой, полюсом или существенно особой точкой функции ( ).

устранимая особая точка.

( ) = 1 + 1, −1 = 1, =∞ ( ) = −1.

Если = ∞ - устранимая особая точка, вычет в ней не обязательно равен нулю!

2) Найти вычет в = ∞ для функции ( ) = cos .

Сделаем замену = 1, тогда лорановское разложение cos 1 в окрестности

Дополнительные примеры и задачи

1. Может ли у функции ( ) в изолированной особой точке:

а) быть вычет (ровно один)?

б) не быть ни одного вычета?

в) быть более одного вычета?

2. Пусть 0 ( ) = 0. Верно ли, что

∫|−0|= ( ) = 0 для любого > 0 ?

3. Пусть 0 ( ) = 0. Верно ли, что точка 0 не является простым полюсом функции ( )?

4. Найти особые точки функции, определить их тип, найти вычеты в ИОТ и в бесконечно удаленной точке.

1). ( ) = −32.

2). ( ) = .

−

1−

3). ( ) = 4 .

2+1 4). ( ) = (+)2.

5.Вычислить 0 ( −1).

6.Найти все особые точки функции, определить их тип, найти вычеты во всех ИОТ и бесконечно удаленной точке: ( ) = +11 −11 .

Решения и ответы.

1). ( ) = −32. Особая точка этой функции 0 = 2 = НН(0)(1), она является простым полюсом. (2) = 3. Это единственная конечная ОТ функции.

∞ ( ) = − ∑ =1−1 ( ) = − (2) = −3.

Можно проверить этот результат, разложив ( ) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной особой точки.

∞ ( ) = − −1 = −3.