Матан 2 семестр. Панов
.pdfБилет 6 |
|
|
|
|
|
Ряды с положительными членами. |
|
|
|
||
(1) |
n=1∞ |
n xn > 0, an > |
|
|
|
– ряд с положительными членами. |
|
|
|
||
Достаточные признаки сходимости |
|
|
|
||
Даламбер |
|
xn+1 |
|
||
Пусть ряд (1) с положительными числами и lim |
= q |
||||
Если q > 1 ряд расходится |
n→∞ |
xn |
Если q <1 ряд сходится
Если q = 1 ряд может как сходиться, так и расходиться.
Коши
Ряд (1) сходится выполняется ε < 0; ; n > ; p n+p
xk <
k=n+1
Билет 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Незнакопостоянные ряды. Достаточные признаки сходимости |
|||||||||||||||
Пусть дан ряд |
|
n=1∞ |
−1 n+1 xn |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Причѐм последовательность xn стремиться к нулю, (2) сходится |
|||||||||||||||
|
k |
|
|
n+1 |
|
−1, − чётное |
|
|
|
|
|
|
|||
yk = |
n=1 −1 |
|
|
= { 1, n − нечётное |
-> yn – отрезок -> так как |
||||||||||
{xn} монотонно стремится к 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
То по признаку Дирихле ряд (2) сходится |
|
|
|
|
|
||||||||||
Билет 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критерий абсолютной сходимости ряда и его следствие |
|||||||||||||||
=> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1∞ |
xn+, (3) n=1∞ xn− |
||
Ряд (1) сходится абсолютно сходится (2) |
|||||||||||||||
Ряд |
n=1∞ |
xn |
– сходится когда |
xn |
≥ +и |
xn |
≥ − |
|
|||||||
По первому признаку сравнения сходятся ряды (2) и (3) |
|||||||||||||||
<= |
|
|
|
|
|
|
|
n=1∞ |
|
|
∞ |
( ++ −) (по |
|||
Так как (2) и (3) сходятся ряд |
xn = |
||||||||||||||
теореме 2 из параграфа 1) |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
сходится ряд |
|
n=1∞ |
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следствие 1: из абсолютной сходимости следует сходимость |
|||||||||||||||
Теорема Коши об абсолютно сходящихся рядах |
|
|
|
||||||||||||
Пусть ряд |
n=1∞ |
n |
сходится абсолютно, тогда ряд |
n=1∞ |
уn |
||||||||||
составленный из {yn}но взятых в произвольном порядке, тоже |
|||||||||||||||
сходится абсолютно и равен тому же числу что и |
n=1∞ |
n |
|||||||||||||
Условно сходящиеся ряды (определение) |
|
|
|
|
|
||||||||||
Ряд |
n=1∞ |
n |
называется условно сходящимся если ряд из |
||||||||||||
модулей членов ряда расходился ( |
n=1∞ |
n ) а исходный ряд |
|||||||||||||
( n=1∞ |
n)сходится |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема Римана |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если ряд с вещественными членами сходится условно, то для |
любого вещественного числа L, конечного или нет, можно так переставить члены этого ряда, чтобы полученный ряд имел сумму, равную L.
Билет 9 Определение интеграла Римана
Пусть дана функция f: [a, b]->
Выберем на *a, b+ точки, а=х0<x1<х2<x3<х4… <xn=b Такой набор ,xi}in=0 – r разбиение отрезка *a, b]
xi = xi+1 − xi – длина i-го отрезка Выберем на xi,xi+1 точку ξ
Суммой Римана функции f на отрезке *a, b+ называется S(f, r, {ξ}) = f(ξ)Δx (площадь)
Диаметром разбиения r называется = max0≤ ≤+1{ }
Функция f определена на *a, b]-> называется интегрируемой
по Риману на [a, b+ если существует конечный предел функции f
Определение интегралов Дарбу
Числа ID = infsr и ID = sr
Называются верхним и нижним интегралами Дарбу функции f на отрезке [a, b]
Связь интегралов Римана и интегралов Дарбу
A = ε > 0, r:sr − sr < ε
1
B = ε > 0 δ > 0 r из λr < δ sr − sr < ε
2
ID = I A
A B 3
B f R[a,b]
1
Пусть функция f: [a, b] -> ограничена Тогда f R[a,b] ID = I
Билет 10
f a,b f R[a,b
Монотонная на отрезке *a, b+ функция, интегрируемая по Риману на нём.
Рассмотрим произвольное разбиение r, для которого λr |
< |
|||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
S |
|
− s = |
M |
i |
− |
|
x |
i |
= |
|
+1 |
− |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
i=c |
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
−1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
+1 − |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
=0 |
− |
< |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
То есть выполняется В и тогда по лемме 3 из прошлого параграфа (параграфа 1 вот от сюда {https://goo-gl.ru/6qB8} где последняя лемма номер 2) получим интегральность функции на
[a, b].