- •Вопрсы к зачету по лин.Ал.У
- •9) Алгебраическая форма комплексного числа
- •Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Показательная форма комплексного числа
- •14) Извлечение корня из комплексного числа
- •Правило треугольника
- •Правило Саррюса
- •Разложение определителя по строке или столбцу
- •Разложение определителя по строке или столбцу
- •Свойства произведения двух матриц
Вопрсы к зачету по лин.Ал.У
1) Комплексное число (КЧ) Z - называют число вида , где и – действительные числа, – мнимая единица.
Комплексное число считается записанным корректно, если записано именно в данном виде. Запись по типу: – ошибка. Правильный вариант: .
2) Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. и .
В частности КЧ=0, когда x=y=0.
Знаками неравенств КЧ соединить нельзя.
3) 2 КЧ отличающиеся лишь знаком мнимой части называется комплексно-сопряженными
для
4) Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором R, изображающим КЧ , называется аргументом КЧ ( argZ или 𝞿)
Для нахождения arg существует правило
5 ) число – мнимая единица, которая определяется из соотношения , при
6) Число называется действительной частью комплексного числа и имеет обозначение x=ReZ. Число называется мнимой частью комплексного числа и имеет обозначение y=ImZ.
Если x=0, z=0+iy=iy – чисто мнимое
Если y=0, z=x+io=x –обычно действительное
7) Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем комплексного числа IZI
8) Чтобы изобразить комплексное число на комплексной плоскости необходимо, в первую очередь, изобразить саму плоскость, представляющую из себя обычную координатную плоскость, но с осями Re (вместо ) и Im (вместо ), на первой оси отметить значение , на второй – значение . Пересечение перпендикуляров к этим точкам и есть КЧ .
9) Алгебраическая форма комплексного числа
Запись комплексного числа z в виде z=x+yi, где x и y -действительные числа, называется алгебраической формой комплексного числа.
Например. z=1−i
Тригонометрическая форма комплексного числа
Е сли - модуль комплексного числа а ϕ - его аргумент, то тригонометрической формой комплексного числа z называется выражение
Показательная форма комплексного числа
Показательной формой комплексного числа называется выражение
10)
Для нахождения arg существует правило => что
:
:
:
:
:
:
11) Сложение и вычитание комплексных чисел:
В алгебраической форме:
(аналогично с вычитанием)
В тригонометрической форме:
(аналогично с вычитанием)
12) Умножение комплексных чисел:
В алгебраической форме:
(простое раскрытие скобок)
В тригонометрической форме:
Деление комплексных чисел:
В алгебраической форме:
(раскрытие скобок с помощью домножения знаменателя на сопряженное)
В тригонометрической форме:
13) Возведение комплексного числа в степень .
Чтобы возвести КЧ в натуральную степень нужно модуль возвести в степень, а аргумент умножить на показательную степень.
в тригонометрической форме (формула Муавра):
в показательной форме:
14) Извлечение корня из комплексного числа
Чтобы извлечь корень из комплексного числа, в первую очередь, нужно представить его в тригонометрической форме. Количество корней есть значение, равное степени корня. То есть, извлекая корень 4-й степени из комплексного числа, мы получаем 4 корня.
Как и для возведения в целую степень, будет справедливо:
+ – степень извлекаемого корня, . Вычисляем извлеченные корни поочередно, в каждый из которых подставляем свое значение n. Важно помнить, что аргумент и должен находиться в диапазоне , следовательно, нужно не забыть вычесть нужное количество после всех операций вычисления.
Если комплексное число не равно нулю, то корни степени существуют всегда, и их можно изобразить на комплексной плоскости: они будут представлять собой вершины правильного -угольника, который вписан в окружность с центром в начале координат и радиусом .
15) Определителем или детерминантом второго порядка, равное разности произведений элементов стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на побочной диагонали (определитель обозначается илиdetA).
Определителем или детерминантом третьего порядка, называется число равное