Задание 8

СИМПЛЕКС – МЕТОД

ПОИСКА ОПТИМУМА

Цель задания – изучение и освоение экспериментального симплексного метода поиска технического оптимума объекта.

Задание: в процессе работы должна быть составлена программа, реализующая основные принципы симплексного метода и позволяющая найти оптимальные режимы объекта, то есть значения факторов, определяющие экстремизм выходной характеристики. Экспериментальный отклик объекта имитируется специальной подпрограммой по заданной модели.

Теоретическая часть

Симплексом называется выпуклая фигура в к-мерном пространстве, содержащая к+1 вершину. Симплекс называется правильным, если все его ребра равны. В нуль-мерном пространстве симплекс – точка. В одномерном пространстве симплекс отрезок прямой, в двумерном пространстве – треугольник, в трехмерном – тетраэдр. Суть симплексного метода заключается в следующем: в заданном пространстве к-факторов (Х1, Х2,…,Хк) задаются координаты к+1 вершины начального симплекса. При этом сам начальный симплекс может быть ориентирован в пространстве произвольно, произвольным является и его местонахождение в пространстве. Вершины начального симплекса можно рассматривать как план эксперимента. Координаты вершин подставляются в качестве входных данных подставляются в качестве входных данных в программу, реализующую модель объекта, и определяются значения входной характеристики в вершинах симплекса. Полученные (к+1) значений выходной характеристики сравниваются между собой и выбирается вершина с наихудшим значением . Эта вершина отображается симметрично относительно центра противоположной грани. Таким образом получается новая вершина, образующая с предыдущими (кроме наихудшей), новый симплекс. По координатам отображенной вершины нового симплекса определяется значение выходной характеристики и сравнивается со всеми предыдущими значениями, кроме «наихудшего». Затем выбирается «наихудшая» вершина, она вновь зеркально отображается, вновь сравниваются значения в вершинах и так далее цикл повторяется.

В итоге происходит движение симплекса к экстремуму функции . Такое движение в среднем оказывается близким к движению в направлении градиента функции .

При движении в области экстремальных значений симплекс начинает вращаться около одной из вершин. Это является признаком того, что координаты данной вершины и есть искомые оптимальные значения факторов.

Если в процессе поиска оптимума окажется, что отраженная «наихудшая» вершина в новом симплексе также оказывается «наихудшей», то следует отразить вторую по наихудшести вершину.

Так следует поступать и при попадании отраженной вершины за границы области из изменения факторов.

Пусть имеется К факторов и соответствующий им начальный симплекс в общем случае соответствует следующему симплексному плану.

			Х1			Х2			Х3			…….			Хк
1		Х11			Х21			Х31			…….			Хк1
2	Х21			Х22			Х32			…….			Хк2
3	Х13			Х23			Х33			…….			Хк3
.	.			.			.			.			.
.	.			.			.			.			.
	Х1			Х2			Х3						Хк
.	.			.			.			.			.
.	.			.			.			.			.
к+1	Х1к+1			Х2к+1			Х3к+1			…….			Хкк+1

В этом плане каждая строчка представляет собой совокупность координат, соответствующих определенной вершине симплекса.

Допустим, что в результате сравнения значений выходной характеристики в различных вершинах симплекса наихудшей оказалась i-вершина. Следовательно, её надо отобразить. При этом мы должны получить (к+2) вершину, то есть значения факторов соответствующих (к+2)-му опыту. Эти значения получаются по формулу:

x_ji – значение j-го фактора, соответствующего наихудшей вершине, x_jk+2 – значение j-го фактора в отраженной вершине.

Иными словами, чтобы найти значение фактора x_j в отраженной вершине, нужно величину (2/к) умножить на сумму всех значений фактора х во всех к+1 вершинах (опытах) за вычетом фактора х в наихудшей точке.

Это правило применяется и при нахождении значений факторов во всех последующих опытах.

Эксперименты на реальном объекте имитируются в лабораторной работе с помощью имитационной модели.

Порядок выполнения работы

1. Согласовать с преподавателем задание.

2. Изучить теоретический материал.

3. В соответствии с видом модели составить программу, реализующую графически построение линий равного уровня.

4. Реализовать программно движение симплексов из различных точек пространства в области оптимума.

5. Исследовать результаты применения симплекс метода и сделать вывод о его эффективности в каждой ситуации.

6. Составить отчёт.

Литература

1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. – М.: Высш.шк.,2005.

2. Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций. – СПб.:БХВ-Петербург, 2004.

3. Гусак А.А. Справочник по высшей математике. – Мн.: ТетраСистемс, 2004.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учебное пособие для вузов/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М.,2005.

5. Кетков Ю., Кетков А., Шульц М. MATLAB 7 программирование, численные методы. БХВ-Петербург, 2005.