Математические модели случайных сигналов: функция распределения вероятности и плотность распределения вероятности стохастического сигнала.

Сигнал, мгновенные значения которого нельзя заранее указать с вероятностью 1, называется стохастическим или случайным.

Случайный процесс X(t) является функцией времени, значения которой в любой фиксированный момент времени t_i представляет собой случайную величину x(t_i).

Функция распределения F(x) показывает вероятность нахождения случайной величины в пределах F(x)=F(X≤x). Безразмерна.

• Одномерная – F(х,t_i) = P(X(t_i)≤х)

• Двумерная – F₂ (х₁,х₂; t₁,t₂) = P(X(t₁)≤х₁; X(t₂)≤х₂;)

• Многомерная – F_N(х₁,х₂,…,х_N; t₁,t₂,…,t_N) = P(X(t₁)≤х₁; X(t₂)≤х₂;…; X(t_N)≤х_N;)

Взаимосвязь:

F(x) – неубывающая F(x₂)≥F(x₁).

Вероятность нахождения функции в пределах от x₁ до x₂ рассчитываются как: P(x₁≤X≤x₂) = F(x₂)-F(x₁).

При равномерном распределении:

Плотность распределения

P.S. В презентациях плотность обозначалась через р, у Щербатого была ω. Обозначайте как хотите, только в дальнейших вопросах не запутайтесь с другой ω.

• Одномерная -

• Двумерная – p(x₁, x₂)dx₁ dx₂ = P[x₁ < X(t₁) ≤ (x₁+dx₁); x₂ < X(t₂) ≤ (x₂+dx₂)]

• Многомерная – p(x₁, x₂,..,x_N)dx₁ dx₂...dx_N = P[x₁ < X(t₁) ≤ (x₁+dx₁); x₂ < X(t₂) ≤ (x₂+dx₂); …; x_N < X(t_N ) ≤ (x_N+dx_N)]

Взаимосвязь:

Плотность вероятности – неотрицательная функция ω(x)≥0.

Вероятность нахождения случайной величины между сечениями x₁ и x₂: .

При равномерном распределении:

Г истограмма в целом не гладкая, так как в каждом столбце подсчитывается % отсчетов, величина которых попадает в интервал конечной ширины столбца.

Чем меньше ширина столбца, тем более гладкой будет выглядеть кривая распределения.

В пределе, когда ширина столбца гистограммы стремиться к 0, получается зависимость, называемая плотностью распределения вероятности p_v(v).

Моментные числовые характеристики закона распределения вероятности: математическое ожидание. Дисперсия, автокорреляционная функция.

МОЖ – первый момент плотности распределения вероятностей; начальный момент первого порядка.

Физический смысл: среднее значение сигнала или постоянная составляющая сигнала, вокруг которой происходят случайные флюктуации сигнала.

Расчет МОЖ путем усреднения значений ансамбля N реализаций, N:

Расчет МОЖ путем усреднения по времени одной реализации, T:

Дисперсия – второй центральный момент плотности распределения вероятностей; центральный момент второго порядка.

Физический смысл: дисперсии заключается в том, что она является средней мощностью флюктуаций случайного сигнала, воздействующего на сопротивление в 1 ОМ.

Расчет дисперсии путем усреднения значений ансамбля N реализаций, N:

Расчет дисперсии путем усреднения по времени одной реализации, T :

Автокорреляционная функция (АКФ) – второй смешанный центральный момент двумерной плотности распределения вероятностей; центральный смешанный момент второго порядка.

P.S. В презентациях АКФ обозначается через R, на практиках Щербатого было B_X. Для себя обозначайте как больше нравится.

Некоторые свойства АКФ случайного процесса:

• R(0) = D(X(t))

• Абсолютные значения АКФ при любом τ не превышают ее значения при τ=0:

|R(τ)| ≤ R(0) = D(X(t))

• АКФ характеризует статистическую связь сечений случайного процесса (внутри процесса). Если связи между сечениями нет (сечения независимы), то R(t₁, t₂) = 0

• АКФ стационарного случайного процесса является четной R(τ) = R(-τ)